湖北省丹江口市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖北省丹江口市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知，，则（

）A． B．C． D．2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，若，则实数的值为（

）A．1 B．3 C． D．4．（

）A． B． C． D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则6．已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．7．在三棱柱中，平面．若所有的棱长都是2，则异面直线与所成的角的正弦值为（

）．A． B． C． D．8．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（

）

A．8 B．12 C．32 D．16二、多选题9．已知，，则（）A． B．的共轭复数是C．的虚部是 D．是纯虚数10．已知向量，，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与夹角是 D．11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形C．存在唯一的点，使得D．与平面所成的角为定值三、填空题12．已知，若为纯虚数，则.13．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为．14．如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是四、解答题15．设复数．(1)若是实数，求；(2)若是纯虚数，求．16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；17．已知函数f（x）＝sinxcosxcos2x+1（1）求f（x）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x的集合；（2）将f（x）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g（x）是偶函数，求φ的最小值.18．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.《湖北省丹江口市第二中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案ADBABCACACDBCD题号11答案AC1．A【分析】由并集的运算直接求解．【详解】因为，，则．故选：A．2．D【分析】由复数的除法运算化简得，再结合复数的概念与几何意义即可得答案.【详解】复数，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3．B【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.【详解】因为，，，所以，则.故选：B4．A【分析】利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求解.【详解】.故选：A.5．B【分析】根据空间线面位置关系依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；对于B选项，若，，则，故B选项正确；对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；对于D选项，若，，则或，故D选项错误；故选：B6．C【分析】由求出，再利用向量的夹角公式可求得结果.【详解】因为为单位向量，且，所以，得，所以，因为，所以.故选：C7．A【分析】由题可知，即为所求或所求角的补角，利用余弦定理即可求得结果.【详解】如图，连接，∵//，∴就是异面直线与所成的角．在中，,,∴．∴．∴异面直线与所成的角的正弦值为．故选：A．【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，涉及余弦定理，属综合基础题.8．C【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.故选：C9．ACD【分析】对于A，根据复数的加法运算及复数的模的计算公式求解即可；对于B，根据复数的减法运算及费轭复数的概念即可求解；对于C，根据复数的乘法运算即可求出，连而可求虚部；对于D，根据复数的除法运算即可求出，进而判断是不是纯虚数.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，，的共轭复数为，故B错误；对于C，，的虚部为3，故C正确；对于D，，故为纯虚数，故D正确.故选：ACD10．BCD【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为向量，，则，且，则，解得，故A错误；因为，，则，故B正确；因为，则，故C正确；因为，则，故D正确；故选：BCD11．AC【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D.【详解】因为是线段上的动点，而且，所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值，，所以三棱锥的体积是定值，A正确；过作分别交，的延长线于，，连接，，如图，为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误；在上运动，当时，，而为中点，所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确；由，平面，平面，则平面，所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化，故与平面所成的角不为定值，D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解.12．【分析】根据为纯虚数求出的值，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】因为为纯虚数，则，则..故答案为：.13．【分析】由题意，分别计算出向量与的模及两者的数量积，代入公式即可求得两向量夹角的余弦，从而得出两向量的夹角．【详解】，同理，，，由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.故答案为：14．/【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【详解】取的中点，连接、，如下图所示：，为的中点，则，且，，，因为，为的中点，可得，又因为所以，则二面角的平面角为，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值为.故答案为：.15．(1)；(2).【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.【详解】（1）由，得，而是实数，于是，解得，所以．（2）依题意，是纯虚数，因此，解得，所以．16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，交于点，连接，即可证明，从而得证；（2）依题意可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，证得，即可得证.【详解】（1）

连接，交于点，连接，∵是正方形对角线交点，∴为的中点，由已知为线段的中点，∴，又平面，平面，∴平面；（2），为线段的中点，，∵平面，平面，，在正方形中，，又，平面，平面，又平面，，又，平面，平面；17．（1）最小正周期为Tπ，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）＝sin（2x）+1，由此可得最小正周期及最大值，由当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值，解出x的集合；（2）通过平移变换可得g（x）=sin（2x+2φ）+1，若函数g（x）是偶函数，运用三角函数的诱导公式，令，k∈Z即可，从而得到φ的最小值．【详解】（1）f（x）＝sinxcosxcos2x+1sin2xcos2x+1＝sin（2x）+1，所以函数f（x）的最小正周期为Tπ，当且仅当2x2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为2，此时x的集合为{x|x＝kπ，k∈Z}.（2）g（x）＝f（x+φ）＝sin（2x+2φ）+1，因为g（x）是偶函数，所以2φkπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z，所以φ的最小值为.【点睛】本题主要考查了利用公式化简三角函数，求三角函数的周期、最值、极值点和三角函数的图像和性质等，需要特别注意集合的书写规范，属于基础题.18．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.19．(1)证