四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，则为（

）A．2 B．4 C．6 D．以上都不对2．以下一些说法，其中正确的有（

）A．一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是B．买彩票中奖的概率是0.001，那么买1000张彩票一定能中奖C．乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的D．昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水的概率为90%”是错误的3．圆与圆的位置关系是（

）A．内含 B．内切 C．外离 D．相交4．在平行六面体中，，，则的长为（

）A． B．C． D．5．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性别不同的概率为（

）A． B． C． D．6．若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知M，N分别是四面体的棱，的中点，点P在线段上，且，设向量，，，则（

）A． B．C． D．8．若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（

）A． B．C．或. D．或二、多选题9．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（

）A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色10．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，，若，则为钝角B．已知，，则向量在向量上的投影向量是C．若直线经过第三象限，则，D．已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面11．已知曲线，则（

）A．关于轴对称 B．C关于原点对称C．的周长为 D．直线与有个交点三、填空题12．在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=.13．已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点．14．某超市举行有奖答题活动，参加活动的顾客依次回答三个问题.不管答对或者答错，三题答完活动结束.规定每位顾客只能参加一次活动.已知每位顾客第一题答对的概率为，第二题答对的概率为，第三题答对的概率为，若答对两题，则可获得价值100元的奖品，若答对三题，则可获得价值200元的奖品，若答对的题数不够2题，则不能获奖.假设顾客是否通过每一关相互独立.现有甲，乙两名顾客参加该活动，则两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为.四、解答题15．已知空间三点，设.(1)求和的夹角的余弦值;(2)若向量与互相垂直，求的值.16．求满足下列条件的直线方程.(1)过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)已知，，两直线，交点为，求过点且与距离相等的直线方程.17．某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.(1)求的值；(2)求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18．图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.

(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值；(3)在（2）的前提下，求出直线与平面所成角的正弦值.19．已知圆与圆内切．(1)求的值．(2)直线与圆交于两点，若，求的值；(3)过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆相交，所得的弦为和，若，求实数的最大值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《四川省资阳市安岳中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ACDBDCCCABDBD题号11答案ABC1．A【分析】写出点关于平面的对称点的坐标，再求的值．【详解】空间直角坐标系中的点关于平面的对称点为，所以．故选：A．2．C【分析】对于A选项，先确定一名学生的生日，求出另外一名学生的生日与其相同的概率，对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，对于D选项概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生.【详解】对于A选项，先确定一名学生的生日，则另外一名学生的生日与其相同的概率为，故A错误；对于B选项，买彩票中奖的概率是0.001，这是中奖的可能性，不代表买1000张彩票一定能中奖，故B错误；对于C选项，抽签的先后顺序不影响概率大小，故C正确；对于D选项，概率是一种可能性，不代表事件是否一定发生，故D错误.故选：C.3．D【分析】结合两圆的圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【详解】圆，则圆心，半径，圆，则圆心，半径，则，由于，即，故圆与圆的位置关系为相交．故选：D．4．B【分析】根据向量运算求得正确答案.【详解】依题意，，所以.所以.故选：B5．D【分析】根据古典概型的概率计算公式，利用列举法，可得答案.【详解】两名男生标记为，，两名女生标记为，.从中随机选2名参加社会实践的事件有，，，，，，共计6种.其中两名同学性别不同的事件有，，，，共计4种，所求概率.故选：D.6．C【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解.【详解】由得，所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），直线过定点，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去），当直线过点时，直线斜率为，结合图形可得实数的取值范围是.故选：C.7．C【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.【详解】在四面体中，分别为的中点，且，所以.故选：C8．C【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点.【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与.又的圆心为，半径为，与相距.则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离.即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于.则或或.故选：C9．ABD【分析】列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.【详解】解：6张卡片中一次取出张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.10．BD【分析】取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确；【详解】对于A，当时，，，，此时为，故A错误；对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，令，则直线为，且经过第三象限，但此时，故C错误；对于D，因为，，所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确；故选：BD.11．ABC【分析】设点在曲线上，分别代入点与，可判断AB选项；分别确定曲线在各象限时的图形及其对应的曲线，可判断C选项与D选项.【详解】设点在曲线上，即，A选项：代入点，可知，即点在曲线上恒成立，所以曲线关于轴对称，A选项正确；B选项：代入点，得，即点在曲线上恒成立，所以曲线关于原点对称，B选项正确；C选项：当时，，当时，或，即过，，三点，当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分；当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第四象限的部分；当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第二象限的部分；当，时方程为，即，表示以点为圆心，为半径的圆在第三象限的部分；曲线在第一象限部分的方程为设圆心为，与轴的两个交点为，，则，所以第一象限内图形所表示弧长为，又曲线关于轴及原点对称，所以曲线的周长为，C选项正确；D选项：直线，过点，在曲线右半部分的内部，所以与曲线右半部分有个交点，且直线不过坐标原点，又直线当时，，即过点，在曲线左半部分的内部，所以直线与曲线左半部分有个交点，综上所述直线与曲线有个交点，D选项错误；故选：ABC.12．1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，，.故答案为：1.13．【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可.【详解】设,，易知由平面向量数量积的几何意义可知，所以有所以点在直线上故直线的方程为，过定点故答案为：14．【分析】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率即可求解.【详解】两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的事件为：甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答对2题且乙答对3题，或甲答对3题且乙答对2题，又每位顾客答对2题的概率为，每位顾客答对3题的概率为，所以两人最后获得奖品价值总和为300元奖品的概率为：.故答案为：15．(1)(2)2或【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得.（2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可.【详解】（1）由点，得，所以，所以和夹角的余弦值为（2）由（1）可得，因为向量与互相垂直，则，整理可得，解得或，所以的值为2或.16．(1)或(2)或【分析】（1）依题意，考虑截距相等包括均为0和相等且不为0两种情况分类求解；（2）先求得两直线的交点坐标，由题意，分别求与直线平行的直线方程和经过的中点的直线方程即可.【详解】（1）当直线过原点时，可得所求直线为，即，满足题意；当直线不过原点时，依题意可设直线的方程为，其中，代入，可得，解得，所以所求直线的方程为，即，综上，直线的方程为或.（2）由题意，联立方程组，解得，即得，当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率，故直线的方程，即；当直线过点和的中点时，因为，，可得，则，所以直线的方程，即，综上，满足条件的直线方程为或.17．(1)(2).【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.（2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解.【详解】（1）由题意得，解得.（2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，则，且彼此互斥.易得.，所以所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.18．(1)证明见详解(2)存在，(3)【分析】（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P的坐标，（3）根据（2）可得，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）取BE的中点F，连接AF，，

因为四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，所以均为等边三角形，故⊥BE，⊥BE，且，因为，所以，由勾股定理逆定理得：AF⊥，又因为，平面ABE，所以⊥平面ABED，因为平面，所以平面平面ABED；（2）以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，设，，，即，解得：，故，设平面的法向量为，则，则，令，则，故，其中则，解得：或（舍去），所以存在点，使得到平面的距离为，此时.（3）由（2）可得：，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)；(2)；(3).【分析】（1）由圆O与圆E内切以及圆E半径和圆心O与圆E的位置关系可得，进而得解.（2）设，联立圆与直线方程求出和即可由数量积计算得解.（3）分直线斜率不存在、斜率为0、斜率存在且不为0三种情况分类讨论，结合点到直线距离以及点斜式依次得和，接着分和结合对勾函数的单调