2024年中国科学技术大学创新班营（一）数学考试真题（含解析）_第1页
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答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页2024年中国科学技术大学创新班营（一）数学考试真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率.2．，求所有的，使得中有无穷多项为正整数.3．求所有的，使对恒成立.4．是次多项式，，求.5．，求的值.《2024年中国科学技术大学创新班营（一）数学考试真题》参考答案1．【分析】利用互斥事件的概率加法公式及条件概率公式，结合全概率公式即可求解.【详解】可分为两类：中有时和中无时，由题意可得：中有，中无.若中含9，则；若中无9的情况下：，此时；所以.2．【分析】利用数学归纳法，结合，，分别结合数列的单调性可得不符合题意，根据为常数列可求解.【详解】解：由题可知，若，则，即；若，则，即；①当时，可用数学归纳法证，若，则，则数列递减，不存在无穷多项为正整数.②当时，同①可用数学归纳法证：且递增.则不存在无穷多项为正整数.③当时，，同②可用数学归纳法证：且递增，则不存在无穷多项为正整数.④当时，为常数列，符合要求.综上，时，存在无穷多项为正整数.3．【分析】根据题意分析可知没有零点，可得，在分和两种情况，根据恒成立问题结合基本不等式分析求解；【详解】若有零点，则，解得，若时，则，解得，但在时不成立，不合题意；可知不存在零点，则在上恒成立，则，解得，可得，当，则，整理得，因为，则，可知，解得；当，则，整理得，因为，当且仅当，即时，等号成立，可得，解得；综上所述：的取值范围为.4．【分析】假设为的一个复数根，推导出且也为的一个根，即可得到，令，根据复数的模求出，即可得解.【详解】若为的一个复数根，则，即也为一个复数根，那么均为的根.若，则均不同，则有无穷根，矛盾.由，故也为的一个根，所以，令，则有，解得，所以仅有一个解（重根）.综上，可得.5．【分析】令，，得到，，利用柯西不等式得到，结合，求出.【详解】令，，则，，有，柯西不等式：，相加得，（一个圆盘），同时，（一个圆环），令，即，两边平方得，解得：，数形结合得.【点睛】方法点睛：复数模长为载体的轨迹问题，相比复

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