高三数学平面向量多选题专项训练单元提高题学能测试试题

高三数学平面向量多选题专项训练单元提高题学能测试试题一、平面向量多选题1．题目文件丢失！2．在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为.下列有关的结论，正确的是（）A．B．若，则C．，其中为外接圆的半径D．若为非直角三角形，则答案：ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【解析：ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【详解】对于A，∵，∴，根据余弦函数单调性，可得，∴，故A正确；对于B，若，则，则，即，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，在为非直角三角形，，则，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．3．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（）A．△ABC的外接圆面积是； B．bcosC＋ccosB＝7；C．b＋c可能等于16； D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7.答案：ABD【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；对于B，根据正弦定解析：ABD【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．【详解】对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．对于C，，故C错误．对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．故选：ABD.【点睛】本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．4．在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（）A． B．C． D．答案：AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，,A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心解析：AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，,A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.5．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（）A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解答案：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.6．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A．已知A、B、C是平面中三点，若不能构成该平面的基底，则A、B、C共线B．若且，则C．若点G为ΔABC的重心，则D．已知，，若，的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为答案：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共点，所以A、B、C共线，即正确；由平面向量的数量积可知，若，则，所以，无法得到，即不正确；设线段的中点为，若点为的重心，则，而，所以，即正确；，，若，的夹角为锐角，则解得，且与不能共线，即，所以，故D错误；故选：AC．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．在中，，，，则=（）A． B． C． D．答案：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.8．下列命题中，结论正确的有（）A．B．若，则C．若，则A､B､C､D四点共线；D．在四边形中，若，，则四边形为菱形.答案：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若，则，所以，，故，即B正确；对于C，，则或与共线，故C错误；对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确；故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.9．给出下列命题正确的是（）A．一个向量在另一个向量上的投影是向量B．与方向相同C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D．若向量与向量是共线向量，则点必在同一直线上答案：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B，两边平方化简；对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.【详解】A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B，两边平方化简；对C，根据向量相等的定义判断；对D，根据向量共线的定义判断.【详解】A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A错误；B中，由，得，得，则或或，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，与方向不一定相同，B错误；C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确；D中，由共线向量的定义可知点不一定在同一直线上，D错误.故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.10．设为非零向量，下列有关向量的描述正确的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D正确.故选：ABD解析：ABD【分析】首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.【详解】表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确，，所以D正确.故选：ABD【点睛】本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解表示与向量同方向的单位向量.11．（多选题）下列命题中，正确的是（）A．对于任意向量，有；B．若，则；C．对于任意向量，有D．若共线，则答案：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，，故选项B错误；因为，故选项C正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A正确；当时，，故选项B错误；因为，故选项C正确；当共线同向时，，当共线反向时，，所以选项D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.12．（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使D．若存在实数，，使，则答案：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当时，这样的有无数个，故C说法不正确.故选：BC【点睛】若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.13．如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．答案：BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可；【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误；等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确；故选：.【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.14．已知的面积为,且,则()A．30° B．60° C．150° D．120°答案：BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．已知，，，(m，).存在，，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为（）A． B． C． D．解析：A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值.当运动到时且反向时，取得最小值得解.【详解】，,易得设，中点为，中点为则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形,，所在直线方程为因为恒成立，,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)即求最小值.三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点，的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆.又在直线方程为上运动，当运动到时且反向时，取得最小值此时到直线的距离故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．17．已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A．2 B．-2 C．4 D．-4解析：D【分析】将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则三点共线如下图所示：与反向共线本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.18．在矩形中，，点在边上，若，则的值为（）A．0 B． C．-4 D．4解析：C【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图所示，．以为原点建立平面直角坐标系，为轴，为轴，则，因此，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.19．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为A． B．C． D．解析：A【分析】先化简已知得，再化简，利用三角函数的图像和性质求其范围.【详解】由可得，即，所以，所以，，所以，又，，所以，所以，所以，故的取值范围为．故选A．【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A的范围，不是.20．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为()A．(－8,1) B．C． D．(8，－1)解析：B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以，解得，即，故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.21．已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A．2 B． C．3 D．解析：B【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22．在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于（）A． B． C． D．解析：C【分析】利用同角三角函数基本关系式可得，进而可得，再利用正弦定理即可得出．【详解】解：，．，．．由正弦定理可得：，．故选：．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．在中，则的值等于（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故选A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.24．在中，，，且，，则点P的轨迹一定通过的（）A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心解析：A【分析】设，则，再利用平行四边形法则可知，P在中线上，即可得答案；【详解】如图，，∴，，由平行四边形法则可知，P在中线上，P的轨迹一定通过的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.25．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，与交于E点.若，则的长为（）A． B． C． D．解析：A【分析】由条件求得∠BCD＝150°，∠CBE＝15°，故∠ABE＝30°，可得∠AEB＝105°．计算sin105°，代入正弦定理，化简求得AE．【详解】由题意可得，AC＝BC＝CD＝DA，∠BAC＝45°，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+60°＝150°．又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE＝15°，故∠ABE＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC＝75°，∠AEB＝105°．再由sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°，△ABE中，由正弦定理可得，∴，∴AE），故选．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．26．在中，设，则动点M的轨迹必通过的（）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心解析：D【分析】根据已知条件可得，整理可得，若为中点，可知，从而可知在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】设为中点，则为的垂直平分线轨迹必过的外心本题正确选项：【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.27．在中，为中点，且，若，则（）A． B． C． D．解析：B【分析】选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.【详解】，，，，，.故选：B.【点睛】本题考