2025年高三数学高考数据分析能力模拟试题

2025年高三数学高考数据分析能力模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.数据特征分析某学校高三年级1000名学生的数学模拟考试成绩（满分150分）服从正态分布$N(105,10^2)$，下列说法正确的是（）A.成绩在115分以上的学生约有159人B.成绩的中位数为105，众数为100C.若从全体学生中随机抽取100人，必有50人的成绩在95~115分之间D.成绩的第84百分位数约为115分解析：正态分布$N(\mu,\sigma^2)$中，$\mu=105$，$\sigma=10$。根据3σ原则，$\mu+\sigma=115$，对应的概率为$P(X>115)=\frac{1-0.6827}{2}\approx0.1586$，人数约为$1000\times0.1586\approx159$，A正确；正态分布的均值、中位数、众数相等，均为105，B错误；随机抽样不保证必然结果，C错误；第84百分位数对应$\mu+\sigma=115$，D正确。2.统计图表应用某电商平台2024年各季度的销售额（单位：万元）如下表所示，若用折线图展示数据趋势，下列说法错误的是（）季度第一季度第二季度第三季度第四季度销售额320450580620A.销售额呈逐季度递增趋势B.第三季度销售额环比增长率高于第二季度C.全年总销售额为1970万元D.折线图中第四季度对应的点的斜率最大解析：环比增长率=（本季度-上季度）/上季度×100%。第二季度增长率为$(450-320)/320\approx40.6%$，第三季度为$(580-450)/450\approx28.9%$，B错误；全年销售额$320+450+580+620=1970$，C正确；折线图斜率反映增长速度，第三季度销售额增长130万元，斜率最大，D错误。3.回归分析某农场研究施肥量$x$（单位：kg/亩）与水稻产量$y$（单位：kg/亩）的关系，收集10组数据并建立线性回归方程$\hat{y}=2.5x+300$。下列说法正确的是（）A.施肥量每增加1kg/亩，产量平均增加300kg/亩B.若施肥量为100kg/亩，预测产量为550kg/亩C.回归直线必过样本点的中心$(\bar{x},\bar{y})$D.相关系数$r$的取值范围是$[0,1]$解析：回归方程中$x$的系数为2.5，故施肥量每增加1kg/亩，产量平均增加2.5kg/亩，A错误；当$x=100$时，$\hat{y}=2.5\times100+300=550$，B正确；回归直线必过样本中心，C正确；相关系数$r\in[-1,1]$，D错误。4.概率与统计综合某工厂生产的零件合格率为90%，现采用随机抽样的方法抽取100个零件进行检验，用$X$表示不合格零件数，则$X$服从（）A.二项分布$B(100,0.1)$B.正态分布$N(10,9)$C.泊松分布$P(10)$D.超几何分布解析：独立重复试验中，不合格零件数$X$服从二项分布$B(n,p)$，其中$n=100$，$p=0.1$，A正确；当$n$较大且$p$较小时，二项分布可近似为正态分布$N(np,np(1-p))=N(10,9)$，但精确分布为二项分布，B错误。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）5.分层抽样某校高三年级有男生600人，女生400人，现按性别分层抽样抽取50人调查数学学习情况，则应抽取男生______人，女生______人。答案：30，20解析：抽样比为$50/(600+400)=0.05$，男生抽取$600\times0.05=30$人，女生抽取$400\times0.05=20$人。6.方差计算一组数据$2,4,5,6,8$的方差为______。答案：4解析：均值$\bar{x}=(2+4+5+6+8)/5=5$，方差$s^2=\frac{1}{5}[(2-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2]=\frac{1}{5}(9+1+0+1+9)=4$。7.独立性检验为研究“是否喜欢数学”与“性别”的关联性，调查100名学生得到列联表，经计算$\chi^2=3.841$，则有______%的把握认为两者相关（临界值：$\chi^2\geq3.841$对应$P=0.05$）。答案：95解析：$\chi^2=3.841$时，对应的显著性水平为0.05，故有95%的把握认为两者相关。8.随机变量分布设随机变量$X$的分布列为$P(X=k)=c\cdot(\frac{1}{2})^k$（$k=1,2,3$），则常数$c=$______。答案：$\frac{4}{7}$解析：由分布列性质$\sumP(X=k)=1$，得$c(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=1$，解得$c=\frac{8}{7}$？（修正：应为$c(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=c\cdot\frac{7}{8}=1$，$c=\frac{8}{7}$）三、解答题（本大题共3小题，共60分）9.数据可视化与分析（15分）某中学为了解学生每天的体育锻炼时间，随机抽取200名学生进行调查，得到如下频率分布表：锻炼时间（分钟）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频率0.10.30.40.150.05（1）绘制频率分布直方图，并估计该校学生每天锻炼时间的中位数；（2）若锻炼时间不少于60分钟为“良好”，估计全校3000名学生中“良好”的人数；（3）从锻炼时间在[0,20)和[80,100]的学生中分层抽样抽取6人，再从这6人中随机选2人，求两人锻炼时间在同一区间的概率。解答：（1）直方图中各组的纵坐标为频率/组距，组距为20，故纵坐标分别为0.005、0.015、0.020、0.0075、0.0025。中位数位于累计频率0.5处，前两组频率和为0.4，故中位数在[40,60)内，设为$x$，则$0.4+(x-40)\times0.020=0.5$，解得$x=45$分钟。（2）“良好”频率为$0.15+0.05=0.2$，人数约为$3000\times0.2=600$人。（3）[0,20)的学生人数为$200\times0.1=20$人，[80,100]为$200\times0.05=10$人，抽样比为$6/(20+10)=0.2$，故分别抽取4人和2人。记[0,20)的学生为A,B,C,D，[80,100]的为a,b，从6人中选2人的基本事件共15种，两人在同一区间的事件有$C_4^2+C_2^2=6+1=7$种，概率为$7/15$。10.回归模型与预测（20分）某公司为研究广告费用$x$（万元）与月销售额$y$（万元）的关系，收集了近6个月的数据：$x$123456$y$102025354050（1）绘制散点图，判断$x$与$y$是否线性相关；（2）求$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；（3）若7月份计划投入广告费用8万元，预测销售额；并计算当$x=4$时的残差。解答：（1）散点图中各点大致分布在一条直线附近，线性相关。（2）计算得$\bar{x}=3.5$，$\bar{y}=30$，$\sumx_i^2=91$，$\sumx_iy_i=790$，$\hat{b}=\frac{\sumx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-n\bar{x}^2}=\frac{790-6\times3.5\times30}{91-6\times3.5^2}=\frac{790-630}{91-73.5}=\frac{160}{17.5}\approx9.14$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=30-9.14\times3.5\approx30-32.0=-2.0$，回归方程为$\hat{y}=9.14x-2.0$。（3）当$x=8$时，$\hat{y}=9.14\times8-2.0=71.12$万元；当$x=4$时，$\hat{y}=9.14\times4-2.0=34.56$，残差为$35-34.56=0.44$万元。11.概率综合应用（25分）某工厂生产的产品分为A,B,C三个等级，合格率分别为98%、95%、90%，且三个等级的产量占比为3:5:2。现从该厂产品中随机抽取一件：（1）求该产品为合格品的概率；（2）若已知该产品为合格品，求其为A等级的概率；（3）若随机抽取10件产品，用$Y$表示合格品数，求$Y$的数学期望和方差。解答：（1）设事件$A,B,C$分别表示产品为A,B,C等级，事件$D$表示合格，则$P(A)=0.3$，$P(B)=0.5$，$P(C)=0.2$，$P(D|A)=0.98$，$P(D|B)=0.95$，$P(D|C)=0.90$。由全概率公式$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.3\times0.98+0.5\times0.95+0.2\times0.90=0.294+0.475+0.18=0.949$。（2）由贝叶斯公式$P(A|D)=\frac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\frac{0.294}{0.949}\approx0.310$。（3）每件产品合格的概率$p=0.949$，$Y\simB(10,0.949)$，故$E(Y)=10\times0.949=9.49$，$D(Y)=10\times0.949\times(1-0.949)\approx0.484$。四、开放探究题（本大题共1小题，20分）12.数据分析与决策某市政府为优化交通拥堵状况，收集了市中心某路段早高峰（7:00-9:00）的车流量数据（单位：辆/小时），连续10天的记录如下：520,580,600,550,630,590,650,570,610,560。（1）计算该路段车流量的均值、方差，并判断数据是否服从正态分布（可通过绘制QQ图或观察数据分布特征）；（2）若车流量超过600辆/小时需启动交通疏导预案，估计未来3天内至少有1天启动预案的概率；（3）结合数据分析，为市政府提出两条缓解交通拥堵的建议。解答：（1）均值$\bar{x}=600$辆/小时，方差$s^2=\frac{1}{10}\sum(x_i-\bar{x})^2=1400$，标准差$s\approx37.42$。数据中最大值650，最小值520，极差130，且大致围绕均值对称分布，可初步判断近似服从正态分布$N(600,37.42^2)$。（2）车流量超过600的概率为$P(X>600)=0