重难点培优03 平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理秒杀应用（复习讲义）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）

重难点培优03平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理

秒杀应用

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01知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1

02题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5

题型一重心（★★★★★）........................................................................................................................5

题型二外心（★★★★★）........................................................................................................................6

题型三内心（★★★★★）........................................................................................................................7

题型四垂心（★★★★★）........................................................................................................................8

题型五奔驰定理（★★★★）....................................................................................................................9

03实战检测・分层突破验成效........................................................................................................11

检测Ⅰ组重难知识巩固.................................................................................................................................11

检测Ⅱ组创新能力提升...............................................................................................................................14

一、三角形的重心

1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

在平面向量的应用：（1）设点G是△ABC所在平面内的一点，则当点G是△ABC的重心时，有

1

GAGBGC0或PG(PAPBPC)（其中P为平面内任意一点）；

3

（2）在向量的坐标表示中，若G、A、B、C分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G(x,y)、

xxxyyy

A(x,y)、B(x,y)，C(x,y)，则有G(123,123).

11223333

二、三角形的外心

1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个．

3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

在平面向量的应用：若点O是△ABC的外心，则|OA||OB||OC|或

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC0；

三、三角形的内心

1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心

2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等

②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

3、内切圆

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形

在平面向量的应用：若点I是△ABC的内心，则有|BC|IA|CA|IB|AB|IC0

四、三角形的垂心

1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

在平面向量的应用：若H是△ABC的垂心，则HAHBHBHCHCHA或

222222

HABCHBACHCAB

五、奔驰定理

、奔驰定理：是△内一点，且，则

1OABCxOA+yOB+zOA=0,SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+xOA=0,，则：

①S∆BOC：S∆AOC:S∆AOB=x:y:z

SxSySz

②∆BOC=||;∆AOC=||;∆AOB=||

S∆ABCx+y+zS∆ABCx+y+zS∆ABCx+y+z

由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.

3、奔驰定理的证明

奔驰定理：是，且，则

OABC内一点xOAyOBzOC0SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：

OABCBOC,AOC,AOBSASBSC

SAOASBOBSCOC0

BDSSSSS

法一证明：延长OA与BC边相交于点D则ABDBODABDBODC

DCSACDSCODSACDSCODSB

SS

ODDCOBBDOCBOBCOC

BCBCSBSCSBSC

ODSSSSSS

BODCODBODCODAODAOA

OASBOASCOASBOASCOASBSC

SBSC

SSS

AOABOBCOC

SBSCSBSC

SBSC

SAOASBOBSCOC0

法二证明：延长到，到到使得，为△

OAOA1OBOB1,OCOC1OA1xOA,OB1yOB,OC1zOC,OA1B1C1

的重心.

1

|OA||OB|sinAOB

SAOB1

2

SAOB1xy

11|OA||OB|sinAOB

21111

1

|OA||OC|sinAOC

SAOC1

2

SAOC1xz

11|OA||OC|sinAOC

21111

SA1OB1xySAOB，

SA1OC1xzSAOC，

xySAOBxzSAOC，

SAOBz

SAOCy

得证.

4、三角形四心与奔驰定理的关系及证明

①是△的重心：．

OABCS△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得

S△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

②是△的内心：

OABCSBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0

111

证明：Sar，Sbr，Scr（r为ABC内切圆的半径），所以

BOC2COA2AOB2

，再由奔驰定理可得

SBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0

③是△的外心：．

OABCS△B0C:S△COA:S△AOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0

1

证明：SOBOCsinCOB，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得COB2A，所以

BOC2

11212

SOBOCsin2ARsin2A（R为ABC外接圆的半径），同理可得SRsin2B，

BOC22COA2

12

SRsin2C，所以S:S:Ssin2A:sin2B:sin2C，再由奔驰定理可得

AOB2BOCCOAAOB

sin2AOAsin2BOBsin2COC0

④是△的垂心：

PABCSBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0

PDPD

证明：如图P为△ABC的垂心，则有tanA，tanB，所以BD:ADtanA:tanB，所以

ADBD

11

S:SCPBD:CPADBD:ADtanA:tanB，同理可得

BPCAPC22

，所以，再由奔驰定理可得

SAPC:SAPBtanB:tanCSBPC:SAPC:SAPBtanA:tanB:tanC

SBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0

题型一重心

【技巧通法·提分快招】

设G是ABC的重心，P为平面内任意一点.

（）

1GA+GB+GC=0

1111

（2）PG=（PA+PB+PC），AG(ABAC)，BG(BABC)，CG(CACB)

3333

（3）若AG=（AB+AC),[0,+），则G点的轨迹一定经过三角形的重心.

（4）动点P满足OPOA(ABAC)，(0，)，则P的轨迹一定通过△ABC的重心

ABAC

（5）动点P满足OPOA，（0，），则动点P的轨迹一定通过△ABC的

ABsinBACsinC

重心

1．（2025·吉林·二模）在VABC中，点D为AB的中点，点O为VABC的重心，则OAOB（）

A．COB．ODC．2COD．2DO

1

2．（24-25高三下·湖南长沙·月考）空间内有五点A，P，Q，S，T，则“AQAPASAT”是“Q为PST

3

重心”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件

3．设G为ABC的重心，且7GAsinA3GBsinB37GCsinC0，则角B的大小为（）

A．30oB．45C．60oD．90

4．已知VABC，O为平面内任意一点，动点P满足5OP2OA2OB12OC，则点P的

轨迹一定经过（）

A．VABC的内心B．VABC的垂心

C．VABC的重心D．VABC的外心

S△APQ

5．已知G为VABC的重心，过G的直线分别与边AB,AC交于点P,Q，则的最小值为（）

S△BGC

43

A．B．

32

55

C．D．

43

6．已知VABC为等边三角形，点G是VABC的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交

11

于点E．设，AEAC，则．

ADAB

题型二外心

【技巧通法·提分快招】

222

（1）|OA||OB||OC|OAOBOC

（2）(OAOB)AB(OBOC)BC(OAOC)AC0

OBOCABAC

（3）动点P满足OP，(0，)，则动点P的轨迹一定通过△ABC

2

ABcosBACcosC

的外心；

1．设P是VABC所在平面内的一点，若AB(CBCA)2ABCP，且|AP||CP|，则点P是VABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

2．已知在VABC中，BC6,G,O分别为VABC的重心和外心，且OGBC6，则VABC的形状是（）．

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．上述三种情况都有可能

π

3．在VABC中，AB4，AC3，A，点O为VABC的外心，若AOABAC，，R，则

3

π

4．在锐角VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A，O为其外心.若VABC外接圆半径为R，且

3

cosBcosC1

ABACmAO，则m的值为.

cb2R

21

5．已知O是VABC的外心，若AOABAC，则cosA．

55

b2c2

6．如图，已知O为VABC的外心，内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若COABBOCA，则．

a2

7．（24-25高三上·天津河北·期中）已知VABC中，点G,O分别是VABC的重心和外心，且

AGAO4,AG2，则边BC的长为.

8．记VABC的三个内角A,B,C，且AB4，AC6，若O是VABC的外心，AD是角A的平分线，D在

线段BC上，则AOAD.

题型三内心

【技巧通法·提分快招】

（1）|AB|PC|BC|PA|CA|PB0（或aPAbPBcPC0）

其中a,b,c分别是ABC的三边BC、AC、AB的长

ABAC

（2）AP(),(0,)，则P点的轨迹一定经过三角形的内心

|AB||AC|

ABAC

（注：向量()(0)所在直线过ABC内心(是BAC角平分线所在直线)）

ABAC

ABAC

（3）动点P满足OPOA，[0,),则P的轨迹一定通过△ABC的内心

|AB||AC|

ACABBCBACACB

（4）OAOBOC0

|AC||AB||BC||CA||CB|

BA

1．设G为VABC的内心，AB2，AC4，CB3，AGxAByBC，则xy.

2．已知VABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足aPAbPBcPC0，则P为三角形的（）．

A．外心B．内心C．重心D．垂心

3．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是ABC所在平面上的一点，

cbc2cac2

PAPBPAPCPAPBPCPB，则点P是ABC的（）

bbaa

A．重心B．外心C．内心D．垂心

4．在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为VABC的内心，若acosBbcosAcb，且

3

AIIBIC，则的值为（）

33

A．33B．3C．33D．23

5．（24-25高三上·河南驻马店·月考）（多选题）已知VABC是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点

O，下列说法正确的是（）

A．BO在AB方向上的投影向量的模为2

B．ABAO83

43

C．BOAO

3

D．若P为VABC外接圆上任意一点，则PAPBPC43

6．（多选题）VABC的内心为P，外心为O，重心为G，若ABAC5，BC6，下列结论正确的是

（）

3

A．VABC的内切圆半径为rB．6PA5PB5PC0

2

11

C．6OA5OB5OC0D．OG

24

题型四垂心

【技巧通法·提分快招】

（）

1OAOBOBOCOCOA

（）

2|OA|2|BC|2|OB|2|CA|2|OC|2|AB|2

ABAC

（）动点满足OPOA，，，则动点的轨迹一定通过△的垂心

3P(0)PABC

ABcosBACcosC

（4）tanAOAtanBOBtanCOC0.

1．已知平面上四个点A,B,C,D，其中任意三个不共线．若ABADACAD，则直线AD一定经过三角形

ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

uuruuuruuuruuur

2．已知点O是非等边VABC的外心，P是平面ABC内的一点且OAOBOCOP，则P是VABC的（）

A．垂心B．重心C．内心D．外心

3．（23-24高三上·河北·月考）若H是VABC的垂心，2HA2HB3HC0，则tanC的值为（）

2110

A．5B．C．22D．

22

4．（多选题）已知Pi(i1,2,3,4)是平面上的四点，任何三点不共线，且满足P3P1P1P2P4P1P1P3P4P1P1P2，

则下列结论正确的是（）

△

A．P1是P2P3P4的垂心

B．P2是△P1P3P4的垂心

C．P3P1P3P2P3P2P3P4P3P4P3P1

．

DP4P1P4P2P4P30

11

5．已知H是VABC的垂心，满足AHABAC，且AH1，则HBHC．

42

6．（24-25高三上·宁夏银川·月考）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，

指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外

心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且OP∥BC，动点M在直线OP上，且AM2xAByAC，

则xy的最大值

题型五奔驰定理

【技巧通法·提分快招】

三角形四心与奔驰定理的关系

①是△的重心：．

OABCS△BOC:S△COA:S△A0B1:1:1OAOBOC0

②是△的内心：

OABCSBOC:SCOA:SAOBa:b:caOAbOBcOC0

③是△的外心：．

OABCS△B0C:S△COA:S△AOBsin2A:sin2B:sin2Csin2AOAsin2BOBsin2COC0

④是△的垂心：

PABCSBPC:SCPA:SAPBtanA:tanB:tanCtanAPAtanBPBtanCPC0

1．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已

V

知M是ABC内一点，△BMC，AMC，AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SAMASBMBSCMC0.

若M为VABC的垂心，3MA4MB5MC0，则cosAMB（）

6666

A．B．C．D．

3663

2．（23-24高三上·河北保定·月考）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定

理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是VABC内一

VV

点，BOC，AOB，△AOC的面积分别为SA，SB，SC，则SAOASBOBSCOC0．设O是ABC

内一点，ABC的三个内角分别为A，B，C，BOC，△AOC，VAOB的面积分别为SA，SB，SC，若

3OA4OB5OC0，则以下命题错误的有（）

A．SA:SB:SC3:4:5

B．O有可能是VABC的重心

C．若O为VABC的外心，则sinA:sinB:sinC3:4:5

D．若O为VABC的内心，则VABC为直角三角形

3．（23-24高三上·江西新余·期末）（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量

中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体

内容是：如图所示，已知M是VABC内一点，△BMC，AMC，AMB的面积分别为SA,SB,SC，且

SAMASBMBSCMC0．以下命题正确的有（）

A．若SA:SB:SC1:1:1，则M为VABC的重心

B．若M为VABC的内心，则BCMAACMBABMC0

V

C．若BAC45,ABC60，M为ABC的外心，则SA:SB:SC3:2:1

uuuruuuruuuurr

D．若M为VABC的垂心，3MA4MB5MC0,则tanBAC:tanABC:tanBCA3:4:5

4．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角

形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若P是VABC内一点，

V

BPC,APC,APB的面积分别为SA,SB,SC，则有SAPASBPBSCPC0.已知O为ABC的内心，且

1

cosBAC，若AOmABnAC，则mn的最大值为.

3

检测Ⅰ组重难知识巩固

1．（24-25高三下·江西·月考）设G为VABC的重心，AB3,AC4，则AGCB（）

7557

A．B．C．D．

3333

ACABBCBA

2．（2024·四川南充·三模）已知点P在VABC所在平面内，若PA()PB()0，

|AC||AB||BC||BA|

则点P是VABC的（）

A．外心B．垂心C．重心D．内心

222222

3．已知在同一个平面上有VABC和一点O，且满足关系式：OABCOBCAOCAB，则O为

VABC的（）．

A．外心B．内心C．重心D．垂心

4．已知点O为VABC的外心，且向量AOAB(1)AC，R，若向量BA在向量BC上的投影向量为

1

BC，则cosB的值为（）

4

35251

A．B．C．D．

2552

5．设O为VABC的内心，ABAC13，BC10，AOmABnACm,nR，则mn（）.

131355

A．B．C．D．

36181836

6．（24-25高三上·辽宁·期中）设VABC的外心为O，重心为G，并且满足OAsin2Asin2Bsin2C，则

当OG最大时，VABC的外接圆半径为（）

3333

A．B．C．D．

4422

7．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为VABC内的一点，BOC，△AOC，VAOB的面积分别

为SA，SB，SC，则SAOASBOBSCOC0．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已

知O为VABC的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知a3，b23，c5，则BOAC（）

A．238B．2C．67D．329

8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）在VABC中，ABAC5,BC6,P为VABC内的一点，

APxAByAC，则下列说法正确的是（）

1

A．若P为VABC的重心，则xyB．若P为VABC的外心，则

2PBBC18

75

C．若P为VABC的垂心，则xyD．若P为VABC的内心，则xy

168

9．（24-25高三上·吉林松原·月考）（多选题）已知点P在VABC所在的平面内，R，则下列命题正确

的是（）

A．若PAPBPBPCPCPA，且ABAC2，则APAC2

B．若PAPBABPBPCBC0，则PAPBPC

ABAC

C．若AP，则动点P的轨迹经过VABC的内心

ABsinBACsinC

11

D．若APABAC，则动点P的轨迹经过VABC的外心

22

ABcosBACcosC

10．（2025·陕西咸阳·三模）（多选题）如图，已知O是VABC内一点，三角形BOC、AOC、AOB的面

VV

积分别为SA、SB、SC，则SAOASBOBSCOC0．若O是锐角ABC内的一点，A，B，C是ABC

的三个内角，且O点满足OAOBOBOCOCOA，则下列说法正确的是（）

A．O是VABC的垂心

B．|OA|:|OB|:|OC|cosA:cosB:cosC

C．BOCAπ

D．tanAOAtanBOBtanCOC0

11．（多选题）如图.P为VABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为a,b,c，总有优美等式

成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理则以下命题是真命

SPBCPASPACPBSPABPC0.

题的有（）

A．若P是VABC的重心，则有PAPBPC0

B．若aPAbPBcPC0成立，则P是VABC的内心

21

C．若APABAC，则S△:S△2:5

55ABPABC

π

D．若P是VABC的外心，A，，则mn2,1

4PAmPBnPC

12．（多选题）边长为1的正三角形ABC的内心为O，过O的直线与边AB,AC交于P、Q，则（）

113AO3

A．B．当AOPQ时，此时

APAQ2BC3

1111

C．22的最大值为18D．22的最小值为15

OPOQOPOQ

13．（2024·四川南充·模拟预测）已知点O是VABC的重心，OA2，OB3，OC3，则

OAOBOAOCOBOC．

14．在VABC中，I为VABC的内心，若3IA4IB5IC0，则C.

15．设O,H分别为VABC的外心和垂心，OHOAOBOC，AH1，BH2，CB3，则

S△OBA:S△OBC:S△OAC．

16．（2024高三·江苏·专题练习）在VABC中，AB2,ACB45，O是VABC的外心，则ACBCOCAB

的最大值为

ABAC

17．由三角形内心的定义可得：若点O为VABC内心，则存在实数，使得AO.在VABC

|AB||AC|

中，tanBAC22，若点O为VABC内心，且满足AOxAByAC，则xy的最大值为.

18．（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位

于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在VABC中，

π

AB6，AC2，且B，设VABC的外心为O，重心为G，垂心为H，若OGOAOBOC，

4

则实数；OH．

检测Ⅱ组创新能力提升

1

1．在四面体PABC中，Q为VABC的重心，E,F,G分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若PEPA，

3

21PD

PFPB，PGPC，PQ与平