拓展03 圆锥曲线二级结论秒杀选填题（期中复习讲义核心8大题型）（原卷版）高二数学上学期人教版A版

3/3拓展03圆锥曲线二级结论秒杀选填题（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律通径公式掌握椭圆、双曲线、抛物线的通径公式.基础必考点，常出现在小题或者大题第一问双曲线焦点到渐近线的距离为b理解双曲线焦点到渐近线的距离为b，会自己推导.基础必考点，常出现在小题或者大题第一问椭圆、双曲线焦点三角形面积公式理解椭圆、双曲线焦点三角形面积公式，会自己推导.高频易错点，注意识记公式中点弦公式（点差法）掌握利用点差法推导椭圆、双曲线、抛物线的中点弦公式.基础必考点，常出现在小题或者大题第一问离心率秒杀公式掌握椭圆、双曲线的离心率秒杀公式.重难必考点，记住公式使用的条件椭圆的焦半径秒杀公式理解椭圆的焦半径公式.重难必考点，常出现在小题压轴双曲线的焦半径秒杀公式理解双曲线的焦半径公式.重难必考点，常出现在小题压轴抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式理解抛物线的焦半径公式，会自己推导.高频易错点，常出现在多选题压轴知识点01通径1、通径的定义（1）焦点弦过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.（2）通径与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.2、通径的性质【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.性质1、性质2的证明：①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.②对于双曲线，证明过程同椭圆.③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.知识点02焦点三角形1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）证明：设．2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）知识点03中点弦问题（点差法）秒杀公式1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．两式相减得，所以．中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得．2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则知识点04离心率秒杀公式1、椭圆（1）已知椭圆方程为,两焦点分别为,设焦点三角形,,则椭圆的离心率（2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外)为顶点,则（3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或2、双曲线（1）已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则（2）以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率（3）点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,注:或者而不是或（4）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.情形1.如图1.若,则图1图2如图2.若，则知识点05椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式1、椭圆的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：（1）；（2）（记忆：左加右减）【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质:①焦半径的表示坐标形态:,角参形态:,；②过焦点弦长；当且仅当时,,此时称为“通径”③焦半径之比.2、双曲线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：（1）；（2）（记忆：左加右减）【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质:①焦半径的表示坐标形态:,；角参形态:,②焦点弦长的表示角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径”③焦半径之比知识点06抛物线中的焦点弦、焦半径公式1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则①.②.③,.2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式①抛物线的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么.③若恒过定点.3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①以弦AB为直径的圆与准线相切．②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.题型一通径公式解｜题｜技｜巧椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.1．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆，过右焦点的直线交于两点，则的最小值为.4．过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是．5．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是．题型二双曲线焦点到渐近线的距离为b1．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（

）A． B．2 C． D．2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知F是双曲线的一个焦点，且点F到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．33．（24-25高二上·河北石家庄·期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线E的一条渐近线的垂线，垂足为P，若为焦距，设双曲线E的离心率为e，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（

）A． B．C． D．题型三椭圆、双曲线焦点三角形面积公式解｜题｜技｜巧1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）1．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（

）A．1 B． C．3 D．2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（

）A． B．2 C． D．43．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是.4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为．题型四中点弦公式（点差法）1．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北·期末）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆被直线方程截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则．6．椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是．题型五离心率秒杀公式1．已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（）A. B. C. D.22．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（

）A． B． C． D．3．设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______.题型六椭圆的焦半径秒杀公式1．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．（0，1）2．（多选题）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（

）A． B． C． D．3．已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为．4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则．5．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为.6．已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为．题型七双曲线的焦半径秒杀公式1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则.4．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．题型八抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式1．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（

）A． B．2 C． D．32．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，在上的射影分别为，则下列说法正确的是（

）A．以为直径的圆与准线相切B．C．D．若，则直线的斜率为3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，交准线于点，则下面结论正确的是：（

）A．以为直径的圆与轴相切 B．C． D．的最小值为4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则.5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为.期中基础通关练（测试时间：120分钟）1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（

）A． B．2 C． D．12．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线（，）的焦点到渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．53．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·北京·月考）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．-25．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（

）A． B． C． D．6．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（

）A． B． C． D．8．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．9．已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论：①C的离心率为2；

②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（

）A． B． C． D．11．（2024高二上·全国·专题练习）（多选题）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（）A． B．C． D．12．（24-25高二上·江苏南京·月考）（多选题）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为C． D．13．（24-25高二上·福建南平·期末）（多选题）已知直线经过拋物线：的焦点，且与交于，两点.记点为坐标原点，直线为的准线，则以下结论正确的是（

）A． B．以为直径的圆与相切C． D．的面积为14．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么．15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则．16．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是．17．（23-24高二下·广西南宁·期中）抛物线的焦点为，直线与交于两点，则.18．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为.20．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是.21．设是椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左、右焦点.若，则点的坐标为.22．（2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则.23．如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若