专题02 空间向量及其应用（原卷版）高二数学上学期人教A版

3/3专题02空间向量及其应用（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律用空间向量研究直线、平面的位置关系理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养.基础必考点，常出现在大题第（1）问用空间向量研究距离问题1、掌握应用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线间、相互平行的平面间的距离问题,培养逻辑推理的核心素养.2、体会向量方法在研究立体几何问题中的作用,提升数学运算的核心素养.高频易错点，常出现公式记忆混淆的问题用空间向量研究夹角问题掌握应用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的大小,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.重难必考点，常出现在大题第（2）问，探索性问题是难点知识点01用向量表示点、直线、平面的位置1、用向量表示点的位置：在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.2、直线的方向向量如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①或②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.知识点02平面的法向量及其应用1、平面法向量的概念如图，若直线，取直线的方向向量，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．2、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面的法向量为选向量：选取两不共线向量列方程组：由列出方程组解方程组：解方程组赋非零值：取其中一个为非零值（常取)得结论：得到平面的一个法向量.知识点03有理数的概念空间中直线、平面的平行和垂直1、设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔2、设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔知识点04点到线面距离1、点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.知识点05用向量法求空间角1、用向量运算求两条直线所成角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则①②.2、用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）3、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分别为面，的法向量①②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；题型一用空间向量解决线面（面面）平行、垂直问题解｜题｜技｜巧1、平面的法向量的求解方法(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)依据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组n·a(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量,由于一个平面的法向量有无数多个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.2、用向量法证明线线平行的思路要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证明a∥b即可.坐标法:根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.3、利用空间向量证明线面平行(1)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.(2)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.4、用向量法证明面面平行的三种思路(1)证明两个平面的法向量共线.(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.5用向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种.(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0.用向量法证明线面垂直的两种方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.6、用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明两个平面的法向量垂直.(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.1．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面．2．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，，分别为棱，的中点，.用向量法证明：平面平面.3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点.(1)求证：；(2)若平面，证明：平面.4．（25-26高二上·全国·课后作业）吴老师发现《九章算术》有“刍甍”这个五面体，于是她仿照该模型设计了一个探究题，如图1，点分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接后就得到一个“刍甍”，如图2所示．若是四边形对角线的交点，试用向量方法证明：平面．5．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.

(1)求证：平面平面.（使用向量方法）(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.题型二用空间向量解决异面直线所成角问题解｜题｜技｜巧利用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系.(2)求出两直线的一个方向向量u,v.(3)代入公式cosθ=|u注意:两条异面直线所成角的取值范围是(0,π21．（25-26高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·吉林·月考）在如图所示的多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·江西·月考）已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AP⊥平面ABCD，，，E为PB的中点，点F满足，则异面直线EF，CD所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二下·湖南·月考）如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．题型三线面角及其探索性问题解｜题｜技｜巧求线面角的两种方法(1)设直线PA的方向向量a,平面α的法向量为n,直线PA与平面α所成的角为θ(θ∈[0,π2]),a与n的夹角,则sinθ=|cos|=|a·(2)设直线PA的方向向量a,直线PA在平面α内的投影向量为b,则直线PA与平面α所成的角θ满足cosθ=|cos<a,b>|.1．如图，已知多面体中，均垂直于平面,，，.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线与平面所成的角的正弦值.2．如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）.(1)若，求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.3．（24-25高二上·吉林松原·期末）如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，.(1)证明：平面平面；(2)若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小.4．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．(1)证明：直线平面；(2)求直线PB与平面所成的角的正切值．5．（24-25高二上·浙江·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，点为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)若为线段上一点，且，为何值时，直线与平面所成角的正弦值为?题型四二面角（面面角）及其探索性问题解｜题｜技｜巧利用向量方法求两个平面的夹角的大小时,多采用法向量的方法,即求出两个平面的法向量,然后通过法向量的夹角得到两个平面的夹角的大小,这种方法思路简单,但运算量大,所以求解时需特别注意仔细运算.1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点．(1)当为棱的中点时，证明：平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．2．（24-25高二下·云南曲靖·期末）四棱锥底面为菱形，底面，点在上，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．3．（24-25高二下·云南保山·月考）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，F，分别是，AD，的中点，为矩形的中心.(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的正弦值.4．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中．(1)求证：；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．5．（24-25高二下·福建龙岩·期末）如图，在三棱锥中，，，平面.(1)求证：平面平面；(2)若，为线段的中点，点为线段的动点，且二面角的余弦值为，求.题型五点到线、点到面的距离问题解｜题｜技｜巧1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的一个单位方向向量u.(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.(4)利用公式d=a22、利用向量法求点到平面的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求出该平面的一个法向量.(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.1．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，点为棱DF的中点.(1)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值；(2)求点到平面ACP的距离.2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到直线的距离.3．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．4．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点．(1)求证：平面；(2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．题型六用空间向量解决其他距离问题解｜题｜技｜巧(1)求线线距离可以转化为求直线上任意一点到另一直线的距离,利用求点到直线的距离的方法求解即可.(2)求线面距离、两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点，求平面到平面的距离.

2．（23-24高二上·山东淄博·月考）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．(1)求直线与所成角的余弦值；(2)求直线到平面的距离．3．（24-25高二下·河南开封·期末）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直．(1)证明：；(2)证明：与是异面直线；(3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离．题型七折叠问题解｜题｜技｜巧解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。一般步骤：①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；③利用判定定理或性质定理进行证明。1．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）.

(1)求证：平面；(2)若直线上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，求的值.2．（24-25高二下·广西南宁·期末）如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．3．（23-24高二上·河北·期中）如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥．(1)证明：．(2)若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值．4．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为.(1)当时，求证：平面；(2)当时，（i）求点到底面的距离；（ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值.5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．(1)若，证明：；(2)若二面角的余弦值为，求的值．题型八夹角、距离中的最值（范围）问题1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．

(1)若，证明：面面；(2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值．2．（24-25高二上·河北保定·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，，为的中点，是线段上一点.(1)证明：平面平面.(2)是否存在点M，使得平面？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由.(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值.3．如图，在直四棱柱中，，，，，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值．4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．

(1)证明：；(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围．题型九空间向量中的新文化、新定义问题解｜题｜技｜巧数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点.1．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C．2 D．33．（23-24高二上·山东菏泽·月考）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·辽宁·期中）《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，，为棱的中点，为棱的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值.5．（24-25高二上·吉林长春·月考）已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点，．

(1)求的长；(2)若为的中点，求二面角的正弦值；(3)若为线段上一点，且满足，求．6．（24-25高二上·山西·月考）已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集．(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；(2)已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由．期中基础通关练（测试时间：60分钟）1．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知正四棱锥的各棱长均相等，点E是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（

）．A． B． C． D．2．（24-25高二上·安徽·月考）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山东泰安·月考）（多选题）已知正方体的棱长为1，点E，O分别是，的中点，点P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（

）A．BE与所成角的正弦值是 B．点O到平面的距离是C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为4．（24-25高二下·江苏常州·期中）（多选题）如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（

）A．异面直线和所成的角为B．平面和平面有相同的法向量C．异面直线和的距离为D．二面角的余弦值为5．（多选题）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则下列结论正确的是（

）A．存在点、使得、、、四点共面B．存在点，使C．存在点，使得直线与平面所成角为D．存在点，使得直线与直线所成角的余弦值6．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点，利用向量法证明：(1)平面；(2)平面平面．7．（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，.(1)求两点间的距离；(2)求证：平面；(3)求证：平面平面.8．（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．(1)求证：平面；(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．9．（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.

(1)求证：；(2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.10．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，已知等腰梯形中，，，，是的中点，，将梯形沿着翻折成，使.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值；11．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图：等边三角形的边长为3，，．将三角形沿着折起，使之成为四棱锥．点满足，点在棱上，满足．且．(1)求到平面的距离；(2)求面与面夹角的余弦值；(3)点在面的正射影为点，求与平面夹角的正弦值．12．（24-25高二上·福建泉州·期中）如图，在圆锥SO中，高，底面圆O的直径，C是OA的中点，点D在圆O上，平面平面．(1)证明：．(2)若P是圆O上的动点，求平面SCD与平面SOP所成角余弦值的取值范围．13．如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.14．（24-25高二下·江苏南京·期中）如图，在四棱锥中，平面平面，M为棱PC的中点.(1)证明：平面；(2)若（i）求二面角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.15．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）图①平面四边形中，，，，以BE为轴将