专题02 直线与圆的方程（期中知识清单）（原卷版）-2026学年高二数学上学期人教选修一

5/5专题02直线与圆的方程（4知识&17题型&4易错）【清单01】直线的方程1、直线的倾斜角（1）倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角．（2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下：2、直线的斜率（1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即．（2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为．3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．【清单02】两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．（2）两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．2、两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2)．（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．【清单03】圆的方程1、圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2eq\a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：（1）当F＝0时，圆过原点．（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．【清单04】直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系（1）直线与圆位置关系的判断方法①eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))②eq\x(几何法)eq\o(→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\do7(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))（2）圆的切线与切线长=1\*GB3①过圆上一点的圆的切线过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．=2\*GB3②过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0．=3\*GB3③切线长从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F)．两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq\f(2ar,d)．【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．（3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法=1\*GB3①几何法：因为半弦长eq\f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).=2\*GB3②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|．2、圆与圆的位置关系（1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．（2）两圆公切线的条数位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线【题型一】直线的倾斜角与斜率1、求直线倾斜角的方法及关注点（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角．（2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论．2、求直线斜率的方法（1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解．（2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解．（3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果．【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（

）A．3 B． C．2 D．1【变式1-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）平面直角坐标系中，直线的方向向量为，则的倾斜角为.【题型二】直线与线段相交求范围问题利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意（1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）；（2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理．【例2】（24-25高二上·广东中山·月考）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【变式2-1】（24-25高二上·福建三明·月考）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A． B．C． D．【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2-3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.【题型三】五种直线方程的求解（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程．【例3】（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（

）A． B．C． D．【变式3-1】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为．【变式3-2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求：(1)边AC上的中线所在直线的方程；(2)边AC上的高所在直线的方程；【变式3-3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线．(1)求直线所过定点；(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．【题型四】两条直线平行与垂直关系由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【例4】（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（

）A． B． C．1 D．2【变式4-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（

）A． B． C．或1 D．或1【变式4-2】（24-25高二下·江西上饶·期中）（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（

）A． B．1 C． D．5【变式4-3】（24-25高二上·山东济宁·月考）已知直线，若，则（

）A． B．C． D．【题型五】两条直线的交点问题求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．【例5】（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）直线和的交点坐标为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（

）A． B． C．1 D．【变式5-3】（25-26高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（

）A．无论k、M、N如何，总是无交点B．存在k、M、N使之无交点C．无论k、M、N如何，总是唯一交点D．存在k、M、N使之有无穷多交点【题型六】直线的距离公式及应用点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【例6】（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（

）A． B． C． D．【变式6-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【变式6-2】（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是.【变式6-3】（24-25高二上·山东济南·月考），函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．【题型七】直线的对称关系及应用1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．【例7】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【变式7-2】（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（

）A． B． C． D．【变式7-3】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【题型八】圆的标准方程与一般方程1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【例8】（24-25高二上·湖南长沙·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式8-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【变式8-2】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【变式8-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为．【题型九】直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．【例9】（24-25高二上·天津·期中）直线l：与圆C：的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能【变式9-1】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离【变式9-2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）（多选）直线：与圆：的公共点的个数可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式9-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交【题型十】由直线与圆的位置关系求参数根据直线与圆位置关系求参数问题步骤第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式．第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法．第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围．（1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式；（2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集．【例10】（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式10-1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是.【变式10-2】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______________．【变式10-3】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（

）A． B． C．或 D．或【题型十一】直线与圆的相交弦长问题1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|．【例11】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于M、N两点，则（

）A．1 B． C． D．【变式11-1】（24-25高二下·湖南·期中）已知直线与圆相交于两点，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式11-2】（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（

）A． B． C． D．【变式11-3】（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是.【题型十二】圆的切线与切线长问题1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．【例12】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．【变式12-1】（24-25高二下·湖南常德·开学考试）已知圆C:,过点P（3,1）作圆C的切线，则切线方程为．【变式12-2】（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为．【变式12-3】（24-25高二上·吉林·月考）若过点作圆的切线，切点为，则．【题型十三】圆与圆的位置关系可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系：（1）几何法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断；（2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．【例13】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【变式13-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．外离【变式13-2】（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆，圆，则圆的位置关系为（

）A．内含 B．外切 C．内切 D．相交【变式13-3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【题型十四】两圆的公共弦问题公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．（2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．【例14】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【变式14-1】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式14-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（

）A． B． C． D．【变式14-3】（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为.【题型十五】两圆的公切线问题两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．【例15】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【变式15-1】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（

）A．3 B．5 C． D．4【变式15-2】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（

）A． B．C． D．【变式15-3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：.【题型十六】圆的轨迹问题1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．【例16】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式16-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式16-2】（25-26高二上·河北保定·月考）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点．(1)求圆的方程；(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹．【变式16-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，则点的轨迹为圆，设其圆心为，已知直线：经过定点，则的面积的最大值为