专题04 椭圆（期中复习讲义核心13大题型）（解析版）高二数学上学期人教版A版

3/3专题04椭圆（期中复习讲义）核心考点复习目标考情规律椭圆的定义理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养.基础必考点，常出现在小题椭圆及其标准方程掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养.基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键椭圆的简单几何性质1、掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养.2、尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养.高频易错点，常出现在小题，特别是离心率的求法是高频考点直线与椭圆的位置关系掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养.基础必考点，常出现在大题椭圆的弦长公式、中点弦问题初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题知识点01椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合.知识点02椭圆的标准方程1、椭圆标准方程的推导图1图1（1）怎样建立适当的直角坐标系？以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1．（2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，又设M与的距离的和等于常数．由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}因为，，所以（3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？即两边平方得，整理得再平方并整理得，两边同除以得考虑,应有，故设，就有．2、椭圆的标准方程对比焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系3、椭圆标准方程的求解（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤=1\*GB3①定位：确定焦点在那个坐标轴上；=2\*GB3②定量：依据条件及确定的值；=3\*GB3③写出标准方程．【常用结论】①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．知识点03点与椭圆的位置关系1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论：点P在椭圆内部；点P在椭圆上；点P在椭圆外部．2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：点在椭圆外；点在椭圆内；点在椭圆上；知识点04椭圆的焦点三角形1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．2、两个性质知识点05椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：.（）当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当时，图形为圆，方程为【常用结论】①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2），，；（3）,，；知识点06直线与椭圆的位置关系1、位置关系的判断直线与椭圆的位置关系联立消去y得一个关于x的一元二次方程．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．=2\*GB3②根与系数的关系法：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；（5）代入求解．知识点07中点弦问题与点差法1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，证明：设，，则椭圆两式相减得．题型一椭圆的定义及其辨析解｜题｜技｜巧（1）对椭圆定义的三点说明①椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.②定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.③常数2a必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.（2）椭圆定义的两个应用①若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0),则动点M的轨迹是椭圆.②若点M在椭圆上,则|MF1|+|MF2|=2a.1．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆的两焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案.【详解】由于椭圆，故椭圆长半轴长为，故，故选：D2．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（

）.A．椭圆 B．线段C．双曲线 D．抛物线【答案】A【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果.【详解】因为为平面内两个不同定点，且，，则动点的轨迹是以为焦点的椭圆.故选：A3．（25-26高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形【答案】D【分析】结合椭圆的定义求解即可.【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和，即，因为，所以，所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形．故选：D.4．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（

）A． B．8 C． D．16【答案】C【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果.【详解】由题意知，，由椭圆的定义知，四边形的周长为.故选：C5．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别，，点在上，，则内切圆半径为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出的面积，进而求出其内切圆半径.【详解】椭圆：的长轴长，焦距，则，由，得，则，设内切圆半径为，由，得，所以.故选：B题型二判断方程是否表示椭圆解｜题｜技｜巧1、根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数取值范围时,考虑含x2,y2项对应的分母都大于0,然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大小.2、由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标或求参数的值(或取值范围).（1）求椭圆的焦点坐标时,若方程不是标准方程,则应先将其化为标准方程,确定a2,b2的值和焦点所在的坐标轴,再利用关系式a2=b2+c2求出c,即可写出焦点坐标.（2）已知方程求参数的值(或取值范围)时,需注意:对于方程x2m+1．（23-24高二上·云南昆明·月考）方程表示椭圆的充要条件是（

）.A． B．或C． D．【答案】B【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可.【详解】若表示椭圆，则，解得或.故选：.2．（25-26高二上·江苏南通·月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解.【详解】椭圆方程，上式表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故选：D.3．（2025高二上·全国·专题练习）“”是“曲线表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可.【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且，所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B．4．（24-25高二上·河南漯河·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，利用椭圆方程的标准形式，即可求解.【详解】由，即，由题有，所以，故选：A.5．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，的一组可能取值是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据椭圆的方程类型列不等式求解的关系即可得结论.【详解】方程转化为，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以，则，的一组可能取值是，.故选：B.题型三点与椭圆的位置关系解｜题｜技｜巧根据椭圆的标准方程判断点P(x0,y0)与椭圆[以x2a2+y2b（1）直接利用下面的结论:①点P(x0,y0)在椭圆外⇔x02a②点P(x0,y0)在椭圆上⇔x02a③点P(x0,y0)在椭圆内⇔x02a（2）先由椭圆的标准方程求出a,c,再利用下面的结论:①|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内;②|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上;③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外.1．（23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（

）A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定【答案】B【分析】将点代入椭圆即可求解.【详解】由于，所以在内，故选：B2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可.【详解】由点在椭圆的内部，可得：，且，解得：或，所以实数的取值范围为，故选：B3．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（

）A．在椭圆内 B．在椭圆外C．在椭圆上 D．不确定【答案】A【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系.【详解】直线与圆没有公共点，圆心到直线的距离，即，，又，点在椭圆内部.故选：A.4．（24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是．【答案】【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，又因为点在椭圆内部，则，解得，所以的取值范围是．故答案为：.5．（24-25高二上·四川南充·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点，因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且，所以，实数的取值范围是.故答案为：.题型四椭圆的标准方程解｜题｜技｜巧椭圆标准方程的求解1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤=1\*GB3①定位：确定焦点在那个坐标轴上；=2\*GB3②定量：依据条件及确定的值；=3\*GB3③写出标准方程．2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．1．（23-24高二上·河南开封·期中）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆上的点及椭圆的长短轴关系即可求得椭圆方程.【详解】由题可知，所以，且椭圆C的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为.故选：A.2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：B.3．（24-25高二上·江西·月考）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆：的离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出椭圆的离心率，设椭圆的标准方程为，根据已知列方程即可.【详解】设焦点在轴上的椭圆：，由已知得，即①，又椭圆：的离心率为，所以②，①②联立解得，，所以椭圆的标准方程为.故选：C.4．（23-24高二上·广东江门·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，面积为，且两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，则椭圆的标准方程为（

）A． B．，或C． D．，或【答案】B【分析】由题意，焦点的位置进行分类讨论设出椭圆的方程，由题意列出方程求出，然后得到椭圆的方程即可.【详解】由题意，当椭圆的焦点在轴上时，可设椭圆的方程为，因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成直角三角形，所以.又，所以①.由椭圆的面积为，可得，即②，联立①②，解得所以椭圆的标准方程为，当椭圆的焦点在轴上时，同理，可得椭圆的标准方程，综上，椭圆的标准方程为或.故选：B5．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解.【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，所以，，设，则，可得，则，解得，所以椭圆C的方程，故选：A.6．已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解.【详解】设点、，则的中点为，则，可得.若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；故直线的斜率存在，且，由于A、两点都在椭圆上，则，两式相减得，即，因为在直线AB上，故，故，即，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：C.题型五椭圆中的焦点三角形问题解｜题｜技｜巧焦点三角形的求解思路1、关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义式求解椭圆的焦点三角形的常用方法；2、在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等．1．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（

）A． B．8 C． D．16【答案】C【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果.【详解】由题意知，，由椭圆的定义知，四边形的周长为.故选：C2．（25-26高二上·四川·期中）已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆方程，得：，则.由椭圆的定义得，，所以的周长为.故选：A.3．（24-25高二上·四川成都·期末）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．若点的横坐标为，则的面积为（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】有题意点的横坐标为，代入椭圆方程即可计算点的纵坐标，由即可得解.【详解】因为，所以，又因为点的横坐标为，所以，所以点的纵坐标为，所以.故选：C.4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据题意可知，可得，然后可求.【详解】，，又椭圆，则，.故选：D.5．若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（

）A． B．3 C．4 D．1【答案】A【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可.【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以，又因为，即，因为，在，根据余弦定理可得，即，又因为，所以，所以，故选：A6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且的内切圆半径为，若在第一象限，则点的纵坐标为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的定义得，进而得的周长，设的内切圆半径为，利用等面积法即可求解.【详解】如图，不妨令分别为椭圆的左、右焦点，由，得，所以，所以．设的内切圆半径为，因为，所以，得．故选：C.7．（24-25高二上·甘肃·期末）设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积.【详解】由椭圆的性质可得，又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即，∴，C选项正确；故选：C题型六椭圆的轨迹方程求法解｜题｜技｜巧如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．“相关点法”求轨迹方程的基本步骤（1）设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；（2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．1．（24-25高二上·重庆·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两点间距离公式可得已知方程的几何意义，结合椭圆的定义可求得轨迹方程.【详解】由两点间距离公式知：的几何意义是点到与的距离之和为，，点轨迹是以为焦点的椭圆，设其长轴长、短轴长、焦距分别为，则，，，，，点轨迹方程为：.故选：B.2．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用动点转移可求的轨迹方程.【详解】设，则，因在曲线上，故即，故选：A.3．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.【详解】设，因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，所以，即，整理得，故选:C.4．（24-25高二上·福建莆田·期末）在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，M是线段上的点，且，当点P在圆上运动时，则点M的轨迹方程是（）A．+=1(y) B．+=1(y)C．+=1(y) D．+=1(y)【答案】A【分析】设点，，则，因点在圆上，利用相关点法即可求得点M的轨迹方程.【详解】

如图，设点，，则，因点在圆上，则（*），又因轴，且M是线段上的点，，则，则得，即，将其代入（*），即得是点M的轨迹方程.故选：A.5．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求．【详解】连接，圆的圆心坐标为，半径为4．因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，所以，所以点的轨迹方程为．故选：A．6．（2025高二·全国·专题练习）已知圆内有一点，为圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段交于点，则动点的轨迹方程为．【答案】【分析】本题根据中垂线的性质可得点的轨迹是椭圆【详解】连接，因为圆，所以圆心为，半径，由垂直平分线的性质可知，则，而，故点的轨迹是焦点为，的椭圆，且，即，则，因此，点的轨迹方程为．7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为．【答案】【分析】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程；【详解】由已知得，圆半径为9，圆半径为1，设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内，故，所以，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，则，所以，所以曲线的方程为.故答案为：题型七椭圆中的距离最值问题解｜题｜技｜巧解决椭圆最值问题的最常见思路1、与焦半径（椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径）乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件；2、与，（为椭圆上一点，，为椭圆的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．1．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（

）.A．8 B．5 C．3 D．2【答案】D【分析】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值.【详解】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为.故选：D2．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可.【详解】椭圆，故，故，当且仅当时，等号成立.故选：C3．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（

）A．1 B．5 C．7 D．【答案】C【分析】根据两点间距离公式求解最大值.【详解】依题意，，，则，，设，所以：，又因为：，所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确.故选：C．4．（23-24高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】求出椭圆左焦点的坐标，结合椭圆的定义转化为求的最小值，再求出点到直线的距离得解.【详解】椭圆C的左焦点为，则，于是，当且仅当Q，P，三点共线，且P在线段上时，取得最小值，最小值为点到直线的距离，所以的最小值为1.故选：A5．（23-24高二上·天津滨海新·期中）已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为.【答案】11【分析】通过解析式求出椭圆的的值，做出图像后知道圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义可知为定值，所以当三点共线时最大，求出最大值.【详解】如图：

由椭圆可知，，在椭圆中，又因为圆心为，所以当三点共线时（如图），最大，此时，故答案为：11.题型八椭圆的简单几何性质解｜题｜技｜巧（1）由椭圆方程讨论其几何性质的步骤:①化椭圆方程为标准形式,确定焦点在哪个坐标轴上;②由标准形式求出a,b,c,写出其几何性质.（2）椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系:①椭圆的焦点决定椭圆的位置;②椭圆的范围决定椭圆的大小;③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度;④对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.1．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据椭圆方程求得椭圆的焦点在轴上，且，即可求得焦点坐标.【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且，，则，故椭圆焦点的坐标为，．故选：D2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的短轴长为4，则（

）A．2 B．4 C．8 D．2或4【答案】B【分析】根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解.【详解】由的短轴长为4，得，即，则．若，则，显然矛盾；若，则．故选：B.3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆的离心率为，则的值为（

）A． B． C．4或 D．或【答案】D【分析】根据给定条件，按焦点位置及椭圆离心率的意义分类求解.【详解】当的焦点在轴上时，，易知，则，解得；当的焦点在轴上时，，易知，则，解得，所以的值为或.故选：D4．（23-24高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断【详解】由，得，所以椭圆的标准方程为，则，因为点在椭圆上，所以．故选：C5．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点作直线轴交椭圆于点，则（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】解法1：设，利用椭圆的定义得，结合轴，利用勾股定理求解即得；解法2：利用椭圆的通径公式和椭圆的定义即可求得.【详解】解法1：由题意知，设，则由可得，在中，，即，解得．解法2：由题意知椭圆的长轴长，短轴长是椭圆通径长的一半，所以，则．故选：C.6．（24-25高二上·湖南·月考）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据离心率求出，进而可求，当点A在椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大.【详解】由题可知椭圆的焦点在轴上，，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，此时的最大面积为，故选：B.7．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（

）A．10 B．16 C．20 D．12【答案】C【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解.【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得，设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性，可得，所以.故选：C.8．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（

）A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80]【答案】C【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围.【详解】若是左焦点，连接，又关于原点对称，

所以为平行四边形或为左右顶点，则，由，则，故，则，开口向上且对称轴为，又，所以.故选：C题型九椭圆的离心率问题解｜题｜技｜巧1、求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式,具体如下:（1）若已知a,c,可直接代入e=ca（2）若已知a,b,则使用e=1-b（3）若已知b,c,则求a,再利用（1）或（2）求解.（4）若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围).2、求椭圆离心率的取值范围的方法（1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有:①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．（2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解．1．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由椭圆离心率的公式计算.【详解】椭圆满足，则该椭圆的离心率.故选：B.2．若椭圆的焦距为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得.【详解】由得，又，所以，，得，所以．故选：A．3．（24-25高二下·山西·期中）已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】数形结合得到，结合，求出离心率即可.【详解】由题意得，故，又，则E的离心率为.故选：B4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知椭圆，过的右焦点作轴的垂线交于两点，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代入焦点横坐标，可得到点坐标，代入条件即得答案.【详解】将代入椭圆方程得，整理得，由，得，代入上式，，因此，点和的坐标分别为和，弦长为，由已知，有，，离心率，其中，代入，因此：.故选：B

5．（23-24高二上·天津·期末）已知，是椭圆：的左、右焦点，以为直径的圆与椭圆C有公共点，则C的离心率的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆与椭圆有交点得，即，可得，即可求解.【详解】由题意知，以为直径的圆的方程为，要使得圆与椭圆有交点，需，即，得，即，由，解得，所以椭圆的离心率的最小值为.故选：C6．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围；解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围.【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等，而，于是，即，结合得又，故．解法二：设点，则有，即，解得，又因为，所以有，两边同时除以，可以解得．故选：D.7．（24-25高二下·重庆渝中·月考）椭圆的左右焦点分别是，，过的直线交椭圆于A，B两点，且，．则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，得到，在直角中，利用勾股定理，列出方程，求得，且，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.【详解】如图所示，不妨设，则，因为，所以是直角三角形，可得，解得，则，所以，解得，可得，即椭圆的离心率为.故选：B.8．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，由椭圆的定义求出，再由勾股定理求出，又由，即可求出答案.【详解】设，由椭圆的定义可得：，所以，因为，所以，所以，所以，化简可得：，解得：，所以，又因为，所以，所以.故选：D.题型十直线与椭圆的位置关系（含弦长和相切）解｜题｜技｜巧1、判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ<0⇔直线与椭圆相离.2、求弦长的两种方法（1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长.（2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式:|ab|=1+=1+1k2(y1+y21．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围．【详解】直线代入椭圆方程消去y得：；∵直线与椭圆有公共点，方程有解，∴；解得，即m的取值范围为.故选：A2．（2025高二·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将表示成的函数即可求解.【详解】设直线的方程为，由，得，由，得，则，所以，当时取到最大值，此时直线的方程为．故选：B．3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数，直线与焦点在轴上的椭圆至少有一个交点，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解.【详解】直线，即，直线恒过定点，直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上．所以，即，又，故．故答案为：.4．已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为．【答案】/【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标．【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0，设切线的方程为：，，由于过点可得：，①联立直线与椭圆的方程，整理可得：，则，可得②，由①②可得：，，所以切线方程为：；可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得，即切点，所以直线的方程为：，切点的坐标．故答案为：5．（23-24高二上·全国·课后作业）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数.【答案】答案见解析【分析】联立直线与椭圆方程，消元，求出，再分、、三种情况讨论，即可得解.【详解】由，消去并整理得③，此方程的实数解的个数由它的判别式决定，，当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交.当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切.当或时，，方程③没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点，即它们相离.综上，可得：当时，直线与椭圆有两个公共点；当或时，直线与椭圆有一个公共点；当或时，直线与椭圆没有公共点.6．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点.(1)求椭圆C的方程；(2)求弦的长度.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由短轴长和离心率列式求出即可得解.（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式即可计算求解.【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为.（2）联立，故，设，则，所以.所以弦的长度为.7．已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；(2)求证：直线与椭圆C相切；【答案】(1)，左焦点(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点；（2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】（1）由椭圆，可得，则，所以椭圆的离心率为，左焦点为.（2）由椭圆，可得，即当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切；当时，联立方程组，可得，即，则，所以直线与椭圆相切，综上可得，直线与椭圆相切.8．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程．【答案】【分析】分别讨论直线斜率不存在于存在两种情况，当存在时设出点斜式，再与椭圆方程联立，根据弦长公式求斜率.【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，显然被椭圆截得的弦长为，不是，不合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为．设，则A，B的坐标为方程组的解，消去y得，，所以，代入弦长公式得，解得，所以直线AB的方程为．题型十一椭圆中的面积问题解｜题｜技｜巧1、三角形面积问题直线方程：2、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.1．（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程；（2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积.【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得，将点代入，得，所以椭圆C的标准方程为.（2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为，联立椭圆方程，得，，设，，所以，，则，点到直线的距离，故.2．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点.(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；(2)若直线的倾斜角为，求的面积.【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为(2)【分析】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案；（2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积.【详解】（1）由已知方程得到，所以，，由得，故焦距为，短轴长为，离心率.（2）由（1）知焦点坐标为，设，由已知得直线的方程为，即，与联立消去得，则，故，所以的面积为.3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为．(1)求椭圆的离心率；(2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率；（2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程.【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、，依题意，整理得（*），因点在椭圆上，则，即，代入（*），化简得：，又，所以，则椭圆的离心率；（2）

如图，设、，由（1）已得，则由，消去并整理得，此时，解得，由韦达定理得，，所以，又原点到直线的距离，所以的面积，解得，故椭圆的方程为．4．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）已知椭圆的长轴长为且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)不经过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积最大时直线l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据条件列出关于的方程求解即可；（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出面积的表达式，利用基本不等式求出最大值，进而得出答案.【详解】（1）由已知，即．又由可得，所以，则椭圆C的方程为．（2）由题直线l与椭圆C有两个交点A和B，设，．联立，得，即，∴且，．由直线l不过原点可得且．利用弦长公式，且点O到直线l的距离．∴，当且仅当，即，此时直线．5．（24-25高二下·安徽·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过作直线交于，两点，的最小值为4.(1)求的方程；(2)若，过作与关于轴对称的直线交于C，D两点，求四边形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据焦距得的值，根据椭圆的几何性质知当轴时，的值最小，从而解得的值，进而得椭圆的标准方程；（2）设，与椭圆方程联立，可得，再由得，从而解得的值，进而根据几何性质求面积即可.【详解】（1）设半焦距为，由，得，当轴时，的值最小，将代入，得，所以，解得，，故的方程为：.（2）由题意得，直线的斜率存在且不为0，且不与椭圆上下顶点重合，设，联立，整理得.易知，设，，则，由得，代入（*），得，，解得.由对称性可知，四边形为等腰梯形，其面积为：，所以四边形的面积为.6．（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程；（2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值.【详解】（1）由题意可得：，解得，由椭圆过点，得，联立解得，，所以椭圆的方程为.（2）由题意可设，因点在第一象限，则，设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，当时，，所以，，所以，，，直线的一般式方程：，所以，，所以，所以，当时，有最大值为.题型十二椭圆中的中点弦问题解｜题｜技｜巧解决椭圆中点弦问题的三种方法（1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.（2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.（3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为a(x,y),则另一个交点为b(2x0-x,2y0-y),则x两式作差即得所求直线方程.1．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解．【详解】设，，，则，，，所以，所以，将，两点坐标代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，所以，则，故选：D2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用点差法求解即可.【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点,设，线段中点为,∴，∵两点在椭圆上，∴且，两式相减得，即，∴，∴，即，故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为.故选：C.3．（23-24高二上·湖北·月考）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程.【详解】如图，由题意，点，，直线的斜率为，因，故，设点，则，两式相减，可得：（*），因的中点为，则，且，代入（*），化简可得：①又②，联立①②，解得：，故该椭圆的方程为.故选：B.4．已知椭圆，过点的直线与椭圆C交于A，B两点且AB的中点为P，则坐标原点O到直线AB的距离为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】代入点差法公式，求直线的斜率，再代入点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设，，则，两式相减得，由条件可知，，，即，并且由对称性可知，，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以原点到直线的距离.故选：B5．（24-25高二上·内蒙古兴安盟·期中）已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知点为的中点，利用点差法可得出直线的斜率，进而可求得该直线的方程.【详解】由题意可得，解得，所以，椭圆方程为，因为，则点在椭圆内，设点、，因为直线过点且与椭圆交于、两点，若，则为的中点，所以，，，若直线轴时，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，因为，这两个等式作差可得，即，可得，因此，直线的方程为，即.故选：B.6．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标.【详解】设点、，线段的中点为，则，由题意，椭圆的离心率为，可得，因为、关于直线对称，且直线的斜率为，则，将点、的坐标代入椭圆方程可得，上述两个等式作差可得，可得，即，即，即，①又因为点在直线上，则，②联立①②可得，故线段的中点为.故选：C.题型十三椭圆中的定值、定点问题解｜题｜技｜巧解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得.1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)记直线的斜率分别为，证明是定值；【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程；（2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论.【详解】（1）因为椭圆过点和，代入椭圆表达式可得；所以椭圆的标准方程为.（2）证明：设，直线的斜率一定存在，设为，如下图所示：

联立，消去得到，易知，可得；且，，故是定值.2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线l与交于P，Q两点，且．（ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积；（ⅱ）证明：l过定点．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程，（2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可.【详解】（1）（1）设，，则直线AM，AN的斜率分别为，，且，依题意有，所以，所以的方程为．（2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以，又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为，联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去），所以，所以，所以，所以的面积为．（ⅱ）设，，由题意，l斜率存在，设l：，联立的方程，消去y化简得，，，，，由题意得，所以所以，即，解得或，时，l：点A，不符合题意，所以，此时，所以l过定点．3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知点，动点到直线的距离等于，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在定点【分析】（1）设出，根据题意列出等量关系，化简后得到轨迹方程；（2）先假设存在这样的定点，设直线方程，和曲线方程联立，利用韦达定理化简，对表达式是否可以为定值进行分析即可判断.【详解】（1）设点，故，而点到直线的距离为，由已知得，化简得，所以动点的轨迹的方程为．（2）若存在定点满足题意，当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，联立方程，消去化简得，则，则，又，所以，将代入化简得：，若为定值，不妨设为，则，即，亦即有，，解得，所以存在定点，使得．当过的直线垂直轴时，此时，则，满足条件．所以在轴上存在定点，使得为定值．4．（24-25高二下·云南曲靖·月考）已知椭圆：（）的长轴长为4，焦距为.(1)求的方程.(2)若，分别为的左、右顶点，过点的直线与交于与，不重合的，两点.①求四边形面积的最大值.②设直线，，的斜率分别为，，，判断是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)①；②是，【分析】（1）根据长轴长及焦距求出即可得解；（2）①由题意设：，联立椭圆方程，消元后的一元二次方程，可得根与系数的关系，利用分割法求出面积，化简后由均值不等式求最值；②由斜率公式写出直线的斜率，计算，转化为关于的式子后，化简得解.【详解】（1）由题意得得则，所以的方程为.（2）由（1）可知，，易得直线的斜率不为零，设：，，.

由得，得①四边形的面积为，当且仅当，即时，等号成立.故四边形面积的最大值为.②是定值，该定值为.，，.，，所以.5．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点.(1)求椭圆的方程；(2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点.【答案】(1)(2)直线恒过轴上的一个定点【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，根据椭圆上的点列式解出的值，即可得方程；（2）设直线方程为.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出的关系.设直线与轴交于点，有，代入求解得出的值，即可得出定点坐标.【详解】（1）由双曲线可得，可知所求椭圆的焦点坐标为，则，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知，，且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点.设直线方程为，，则，联立方程化简整理得，则.设直线与轴交于点，则三点共线，于是，即，则，可得，即，解得，所以，直线恒过轴上的定点.6．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的左焦点为，短轴长为，点在椭圆上且的最大值是最小值的倍.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据短轴长求出，再结合的最值关系求出和，从而得到椭圆方程；（2）设出直线方程和交点坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理和斜率公式求出直线所过定点.【详解】（1）已知短轴长为，根据椭圆的性质，.设椭圆的半焦距为，已知的最大值是最小值的倍，即.展开可得，即.又因为，把代入可得.即，解得，那么.所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，,.因为，在椭圆上，代入可得，.已知，则，，.把代入得，其值不为，所以直线的斜率存在.设直线的方程为，，.联立直线与椭圆方程，得.展开可得，整理得.根据韦达定理，，.因为，所以，，.即，.展开得.将，代入上式并化简可得.即，解得或.当时，直线的方程为，经过原点.当时，直线的方程为，所以直线恒过定点，不合题意.综上所得，直线恒过定点原点.7．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)（i）求的最小值；（ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值.【答案】(1)；(2)；证明见解析．【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程；（2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明．【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即，又椭圆离心率为，所以，则，所以椭圆C的方程为：（2）（i）由椭圆方程得，，设，因为点M在椭圆C上，所以，即，所以，所以，当，即M为椭圆上下顶点时，，所以求的最小值为；（ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：，联立，消去x得，方程的判别式，设，，则由韦达定理得，则，注意到，即，所以，所以期中基础通关练（测试时间：120分钟）1．（24-25高二上·陕西汉中·月考）已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根据椭圆的定义计算可得.【详解】椭圆，则，又是椭圆上的一点，所以.故选：A2．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（

）A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线【答案】B【分析】根据椭圆的定义求解即可.【详解】表示平面内到点，的距离之和为的动点的轨迹，由于，所以点的轨迹是椭圆.故选：B.3．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程中表示椭圆的特征列式求解.【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得，所以m的取值范围是.故选：B4．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意求得，然后由公式可得.【详解】由题意得，，所以，．故选：D．5．（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段【答案】D【分析】由基本不等式可得，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，当时，，而，此时点的轨迹是线段；当时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆.综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.故选：D6．（24-25高二上·四川眉山·月考）若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆方程及焦点位置有，即可求参数范围.【详解】由题设，可得.故选：A7．（24-25高二上·广西北海·期中）已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据概念得到，即可得到结果.【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则，故的标准方程为，故选：A．8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断.【详解】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点.故选：D9．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.【详解】因为的最小值为1，所以．因为的周长为34，所以，所以．因为，所以，所以椭圆C的标准方程为．故选：C.10．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先设点的坐标，再应用面积公式计算参数即可.【详解】设，由题知，，所以，又，所以，将其代入1，解得，所以，故选:B.11．（24-25高二上·重庆秀山·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案.【详解】设，，则，，因为，所以，可得，所以有.故选：B.12．（23-24高二下·云南保山·月考）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】设，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程联立求出点坐标，代入三角形面积公式即可求解.【详解】设，则满足，取，因为，所以，即，联立，解得，则的面积，故选：C13．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解．【详解】由椭圆的对称性可得，因为为直角三角形则，则不妨设，将点的坐标代入得：，所以，所以的离心率．故选：B.14．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长.【详解】如图：由题，不妨设，直线斜率存在，设直线方程，联立，，，解得，故，故选：D.15．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案.【详解】椭圆的焦距为，则，由，的面积为，得，即，又，所以，即，，又，则，则椭圆的标准方程为．故选：D．16．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则的周长为（

）A． B． C．6 D．8【答案】B【分析】结合椭圆的图象，由椭圆的定义可得的周长为【详解】由题可知：，所以.如图：.所以的周长为.故选：B.17．（24-25高二上·山东烟台·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为，则椭圆的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距．【详解】因为是的中点，而是中点，所以，所以的周长是周长的一半，又的周长为，所以周长是，即，得，又，所以，．故选：B．18．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且为直角.若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，则，则，在中，是直角，可得，再根据离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，设，则，由椭圆的定义，得，因为是直角，所以在中，由勾股定理，得，即，所以椭圆的离心率.故选：B19．（2025高二·全国·专题练习）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】通过焦半径的取值范围得到关于，的不等关系，进而可求离心率范围．【详解】因为线段的中垂线恰好过焦点，所以，由焦半径的范围可知，即，则且，解得.故选：B．20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，利用勾股定理求出，求出，然后在中应用余弦定理可求出该椭圆离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，设，则，因为，由勾股定理可得，即，解得，故，所以，由余弦定理可得，即，因为，故，故选：A.21．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选题）点在椭圆的内部，则的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值.【详解】由题意知，解得．故选：BC22．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选题）已知两椭圆和，则（

）A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等C．两椭圆有4个公共点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心【答案】BD【分析】化为标准方程，求出焦点，离心率，公共点依次分析选项即可【详解】设椭圆，则；设椭圆，则．对于A，椭圆的焦点分别在x，y轴上．故A不正确；对于B，的离心率的离心率．故B正确；对于C，联立，解得，所以与有2个公共点．故C不正确；对于D，两椭圆都关于x，y轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，故D正确.故选：BD23．（24-25高二上·浙江·期中）（多选题）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D.【详解】，，，，，设，，则，，A．，范围是，故A正确；B．设，则，故B错误；C．设为原点，则；故C正确；D．和的最大值为，最小值为，所以的最大值为，最小值为，，故D正确.故选：ACD24．（24-25高二下·上海·期末）椭圆的短轴的长是.【答案】6【分析】方程化为椭圆的标准方程，即可得出，求解即可.【详解】由可得，所以，即，，所以椭圆的短轴的长为，故答案为：625．（25-26高二上·全国·课后作业）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为．【答案】（其中）（答也对）【分析】设点的坐标为，直接利用条件建立关系式，进而求解即可.【详解】设动点，由题意得，即，整理得，由，可令，所以点的轨迹方程为（其中）．故答案为：（其中）.26．已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是．【答案】【分析】设，利用两点间的距离公式求解.【详解】解：设，，，，当时，取得最大值，故答案为：27．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）过椭圆内一点引一条直线与椭圆相交于两点．若是线段的中点，则直线的斜率．【答案】/【分析】根据点差法，结合斜率公式即可求解.【详解】设,则，相减可得，故答案为：28．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为，最大值为．【答案】713【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解.【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，设两圆半径分别为，，则，.∴，|，，|，故的最小值为；的最大值为.

故答案为：7；1329．已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由椭圆短轴长、离心率、可得答案；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理判断可得答案.【详解】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为，可知，，解得，所求椭圆的方程为；（2）由可得，，当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点；当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点；当即或时，直线与椭圆相离，无公共点；综上所述，当时，直线与椭圆只有一个公共点；当时，直线与椭圆有两个公共点；当或时，直线与椭圆无公共点.30．（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可；（2）联立方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式计算可得.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：．（2）联立，消去后，得关于的一元二次方程，化简得，则，，，所以.31．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程与离心率；(2)当直线l的倾斜角是时，求的面积．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）设出椭圆的标准方程，再由给定条件列出方程求解，进而求出离心率.（2）求出直线的方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出三角形面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为：，依题意，，解得，所以椭圆的标准方程为：，离心率.（2）依题意，直线的方程为，设，由消去得，，，所以的面积.32．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积．【答案】(1)(2)周长为8，面积为【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而得到，得到椭圆方程；（2）根据椭圆的定义求出三角形的周长，得到，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，结合点到直线距离公式得到三角形面积.【详解】（1）由题意可知：，则，，，椭圆（2）根据椭圆的定义，的周长为；其中，直线的斜率为，直线，联立方程组得，显然，设，则，，点到直线的距离，.33．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S．(1)当，时，求S；(2)当，时，求直线AB的方程；(3)求S的最大值．【答案】(1)(2)(3)最大值是1【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案；（2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案；（3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案.【详解】（1）设，．由得，解得，，可得下图：则．因此．（2）由得．由，可得，，由，得．又，代入，得，解得，．直线AB的方程是．（3）．由基本不等式得，当且仅当，等号成立．由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1．34．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．求四边形的面积的最大值；【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据给定条件，结合离心率计算公式求出，即可求椭圆方程；（2）求出，联立直线与椭圆方程，再结合韦达定理表示出四边形的面积，进而求出面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由椭圆过点，得，由椭圆的离心率为，得，则，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，，则，设直线的方程为，，由消去并整理得，，，，四边形的面积，当且仅当时取等号，所以四边形的面积的最大值为.35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在圆上运动，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)设与轴交于两点（A在点左侧），直线交于两点（均不在轴上），设直线的斜率分别为，若，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用垂直平分线的性质及椭圆的定义计算即可；（2）设方程及坐标，联立椭圆方程，利用韦达定理及两点斜率公式化简计算即可.【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为4