2025年国家公务员录用考试行测数量关系专题复习笔记

2025年国家公务员录用考试行测数量关系专题复习笔记（精华版）数量关系归纳分析 2数量关系解题方法 5数量关系解题技巧及题库 9最优化问题 18盈亏问题 20平均数问题 24植树问题 26抽屉原理 34工程问题典型题库 35方阵问题 59解题技巧—数学运算 63数量关系30题特训 68同余问题 70行程问题 74鸡兔同笼问题 79年龄问题 81利率与利息 82容斥问题 83工程问题 86整数的问题 91概率原理 109还原问题 119牛吃草问题 119练习一 120练习二 121练习三 123练习四 125练习五 126数字特性法 129公式汇集容斥原理:A个数+B个数－都含有的个数＝总数－都不含有的个数

剪绳问题核心公式:一根绳连续对折N次，从中M刀，则被剪成了(2N×M+1)段方阵终极公式

假设方阵最外层一边人数为N，则

一、实心方阵人数=N×N

二、最外层人数=（N－1）×4过河问题

来回数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]*2+1

次数=[（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）]+1盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数行程问题模块

平均速度问题

V=2XY/(X+Y)

比例行程问题

路程＝速度×时间（121212Svt=或或或）路程比＝速度比×时间比，S1/S2=V1/V2=T1/T2

运动时间相等，运动距离正比与运动速度

运动速度相等，运动距离正比与运动时间

运动距离相等，运动速度反比与运动时间在相遇追及问题中：

凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。

凡阻碍

相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。

从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差

从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和经验分享：在这里我想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。平时要多训练自己一眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。当然，有经济条件的同学，千万不要吝啬，花点小钱在自己的未来上是最值得的，多少年来耗了大量时间和精力，现在既然势在必得，就不要在乎这一刻。建议有条件的同学到这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给我帮助非常大的学习技巧，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）。其次，从选择的复习资料上来说，我用的是学习软件，不是一般的真题，我认为从电脑上面做题真的是把学习的效率提高了很多，再者这款软件集成最新题库、大纲资料、模拟、分析、动态等等各种超强的功能，性价比超高，是绝不可缺的一款必备工具，结合上速读的能力，如虎添翼，让整个备考过程效率倍增。到我推荐的这里就可以找到适合自己的科目（也给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后鼠标左键点击本行文字）数量关系归纳分析一、等差数列及其变式基本类型：⑴相邻两项之差成等差数列；⑵相邻两项之商成等差数列。1.60，30，20，15，12，（D）A.7B.8C.9D.102.23，423，823，（D）A.923B.1223C.1423D.10233.1，10，31，70，123（C）A.136B.186C.226D.256二、“两项之和（差）等于第三项”型及其变式基本类型：⑴两项之和（差）＝第三项；⑵两项之和（差）±某数＝第三项。4.-1，1，（B），1，1，2A.1B.0C.2D.-15.，，（C），，0，A.B.0C.D.三、“两项之积（商）等于第三项”型及其变式基本类型：⑴两项之积（商）＝第三项；⑵两项之积（商）±某数＝第三项。6.1944，108，18，6，（A）A.3B.1C.－10D.－877.2，4，2，（D），，A.2B.4C.D.四、平方数组成的数列及其变式基本类型：⑴；⑵。8.1，2，3，7，46，（A）A.2109B.12189C.322D.147五、立方数组成的数列及其变式基本类型：⑴；⑵。9.-1，0，-1，（C），-2，-5，-33A.0B.1C.-1D.-2六、升幂、降幂型数列及其变式10.24，72，216，648，（A）A.1296B.1944C.2552D.324011.，，1，2，（C），24A.3B.5C.7D.10七、质数数列及其变式12.，，，，（B）A.B.C.D.八、跳跃变化数列及其变式13.9，15，22，28，33，39，55，（B）A.60B.61C.66D.58十一、分母有∕无理化型14.，（D），，A.B.C.D.十二、分组数列（若干项组成一组，每组的关系式一致）15.2，9，1，8，（B），8，7，2A.10B.9C.8D.7十三、分数数列（分子、分母各成不相关的数列或分子、分母交叉看）16.，，，，（D）A.B.C.1D.17.，，，，（C），A.B.C.D.十四、阶乘数列18.1，2，6，24，（B），720A.109B.120C.125D.169十五、余数数列19.15，18，54，（C），210A.106B.107C.123D.112第二节数学运算一、利用“凑整法”求解的题型二、利用”尾数估算法”求解的题型三、利用“基准数法”求解的题型四、比例与比例分配问题1．古时候人们习东西时彩的是物物交换方式，假设交换的标准是20只兔子可以换2只羊，9只羊可以换3口猪，8口猪可以换2头牛，如果一个人用1头牛去换兔子，可以换多少只？（）A．100B．90C．120D．1102．游泳池中目前的男女比例为2：5。假如啬4个男人，则男女之间的比例为2：3，请问目前游泳池里有多少个男人？（）A．2B．4C．5D．63．一个游轮上的座位分成两部分，头等舱50个座位，普通舱150个座位，如果20%的头等舱和30%的普通舱座位坐满，那么整个游轮的座位空置率是（）。A．25.5%B．72.5%C．27.5%D．40.5%五、距离（行程）问题1.两个关系式：⑴路程＝速度×时间；⑵平均速度＝总路程÷总时间2.习题解析：4．般在流速为每小时1000米左右的河上逆流而上，行至中上12点整，有一乘客的帽子落到了河里。乘客请求船老大返回追赶帽子，这时船已经开到离帽子100米远的上游。船在静水中这只船的船速为每分钟20米。假设不计调头的时间，马上开始追赶帽子，问追回帽子应该是几点几分？（）A．12点10分B．12点15分C．12点20分D．12点30分5．姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走了80米后姐姐去追他，姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米，小狗追弟弟又转去找姐姐，碰上了姐姐又去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇才停下来。小狗跑了（）米。A．600B．800C．1200D．1600六、工程问题1.注意：此类题目存在解题技巧，应在观察的基础上给出解题技巧。2.习题解析（解题技巧）：6．一个工程甲组和乙组单独分别需要24天、32天，如果甲组先单独做若干天后休息，乙接着做，这样共用27天完成，问甲、乙各做了几天？（）A．15，20B．13，14C．15，12D．11，167．一项工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要12天完成，现由两个共同完成，后来由于意外，甲中途休息一天，他们需要多少天做完？（）A．4B．5C．6D．8七、植树问题（四种情况：线路两端都植树、两端都不植树、只有一端植树；环状植树）八、对分问题（考虑三等分、四等分、五等分等情况）九、跳井问题注意：考虑题目条件的变化。十、鸡兔同笼（介绍两种简便算法：皆为鸡头的情况；皆为兔头的情况。）十一、年龄问题恒等关系式：年龄差恒等十二、求浓度问题（明确三个概念“溶液、溶质、溶剂”之间的关系）十四、握手问题8.在一宴会上，凡出席宴会的每一个人都要跟其他所有的人握手一次，已知握手次数一共是136次，那么共有多少人出席此次宴会？A．15B．16C．17D．19十五、星期问题9．已知2001年3月1日是星期四，那么2001年5月1日是星期几？（）A．星期二B．星期三C．星期五D．星期天10．今天是星期天，50个55天后是星期（）。A．星期一B．星期二C．星期六D．星期五十六、整除问题11．如果六位数1803a6能被12整除，那么数字a是多少？（）A．3或9B．3或4C．3或6D．以上几项皆不对十七、其他问题12．的值是（）A．B．C．D．13．下面这个数列中哪一项与众不同？（）11985131127A．19B．1C．8D．514．在某班48个学生中，每个学生至少会打乒乓球或羽毛球中的一种。其中有7/12的学生会打乒乓球，有1/4的学生两种都会。那么会打羽毛球的学生有多少人?()A．42B．36C．40D．32数量关系解题方法一、数字推理如2006年A类的考题中有这样一道题：-2，-8，0，64，（）A.-64B.128C.156D.250该题考核的知识点为相邻3项之间的关系，即：-8=(-2)^3-0,0=(-8)^2-6464=(0)^1-(-64)故，括号中数为-64。该题笔者认为是历年来考题中，做起来最为艰难的一道题。常用的数列规律不外乎下面几种：质数数列。即除了1和本身不能被其他数整除的数2，3，5，7，11，13，17，19…等差数列。即后项减前一项所得的差为常数。包括奇数列：1、3、5、7、9偶数列：0、2、4、6、8……5的倍数列：5、15、20、25……等比数列。即后一项除以前一项所得的商为一常数。像：3、6、12、24、48二级等差和二级等比。即后一项减（除以）前一项得到的差（商）所组成的数列为一个等差或等比数列。比如：2000年的第四题-2，-1，1，5，13，29。后项减前一项得到数列1，2，4，8，16。为一等比数列，因此原数列为二级等比数列2002年A类第一题2，6，12，20，30，42。后项减前一项得到的数列4，6，8，10，12。为一个等差数列，因此原数列为二级等差数列。调和数列。即从第三项开始，后一项等于前两项的和或积。比如2002年A类第四题1，3，4，7，11，18。4=1+3，7=3+4，11=4+7。。。2003年B类第三题1，3，3，9，27，243。3=1*3，9=3*3，27=3*9。。。平方数列。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121立方数列。1，8，27，64，125，216，343幂级数数列。包括底升幂降，和N^n两类。比如2006年A类第二题1，32，81，64，25，6，1分别是1^6,2^5,3^4,4^3,5^2,6^1,7^02003年A类第三题1，4，27，256，3125分别是1^1,2^2,3^3,4^4,5^5三项相关的数列。如前面所说的2006年A类的考题。其他的数列理论上或规律上原形都是上述这些数列，具体表现为两种或三种规律的混合或者是形式上的变化，如隔项相关数列和分数数列。尽管考试中出现的数列规律已经知道了，但很多同学在具体的做题过程中尤其在考场上如何判断数列的规律，这主要取决计算的速度和一些做题的技巧。技巧方法：观察数列的变化趋势。数列根据变化的趋势可以分为以下三种。1、单调上升或下降的数列。2、波动性的数列。3、先升后降的数列。面对单调上升或下降的数列，个人建议采用“先减加，再除乘，平方立方增减项”的方法。一般情况下，第一步首先要做的就是做差，得到差数列。看差数列是否符合上面所说数列的规律；如果差数列未见明显的规律，则考虑两项相加和第三项进行比较，看看是否符和调和数列；如果尚未发现规律，而且数列中有明显的倍数关系，则需要做商，后项比前项，看得到的结果如何；如果没有明显规律，考虑平方和立方数列，最后考虑是否有增减项数和前后项的问题。这些是做数字推理题最基本的方法。对于单调上升和下降的数列，你可以通过数列的上升或下降的速度来判断该数列的基本规律，前面所述的9种数列中，前四种数列的上升速度相对较缓，而5，6，7三种数列上升速度则要快的很多。比如取以1为首项的等差数列，等比数列，平方数列和立方数列为例项数等差等比平方立方11111232483549274781664591625125611323621671364493438151286451291725681729从图上可以明显地看出，等差和平方数列的陡峭度较平缓，上升的趋势比较慢。而等比数列和立方数列的曲线则要陡峭的多。由于考试的时候主要通过前几项200以内的数字变化判断规律，因此可以通过上图中几种数列的变化速度来大致的判断数列的变化规律，确定加减乘除的优先顺序；通览全题，看看是否有明显的倍数关系，则优先考虑除。如果题干大部为偶数，而中部出现奇数，优先考虑减，或者是三项之间关系；如果题干中出现负数的，则优先考虑减或相邻项之间的关系。此时若用除，商数列会出现正负交错的现象，规律不明显；出现1，n，n，这样的数列，优先考虑乘法调和；出现1，1，n，这样的数列优先考虑除或者三项相关，有相同数的数列，千万不要简单地后项减前项。尽量避免变化后的新数列出现0；如果题干首项为0，则0=1^n-1，题干中间有0的优先考虑三项之间的关系；出现单个1的数列，优先考虑减或三项相关；题干主体为分数的，优先考虑隔项相关，其次换成同底或约分，最后考虑分子分母的调和性。由一位数字增加到三位数字的，考虑n的三次方，一般110-130左右的数为5^3项；由个位数增长到60左右的，考虑n的平方项；数列第一项就很大，而后上升或下降不是很快的，优先考虑减；仅第一项为分数的，优先用除；关于本身项数的变形有如下几类n^3-n^2,n^2-2n……；三项相关的部分关系：分别用A，B，C表示第一项，第二项，第三项C=A*B+n，C=A^2+B，C=A+B^2，C=A*2+B，C=A+B*2数字趋势有波动性的数列。这样的数列隔项间的关系比较明显，有的还有两个空格。隔项相关。例：2005A类3题，2002A类5题，2005B类7题中间项为前项变形减去后项的变形。2006A类3题先上升后下降的数列。这样的数列一般是底数上升，指数下降的幂级数数列。这类数列比较好辨认，就是最后一项为分子为1的分数，倒数第二项为1。1、1^6,2^5,3^4,4^3,5^2,6^1,7^0,8^-1,即1，32，81，64，25，6，1，1/8；2、1^5,2^4,3^3,4^2,5^1,6^0,7^-1,即1，16，27，16，5，1，1/7。例：数学应用数字应用部分主要是考察考生对解决数学问题的能力和技巧，考察的形式主要是小学时所常见的应用题，但涉及的内容方方面面，具体可概括如下：快速计算；比例分配问题；路程问题；工程问题；植树问题；多米诺骨牌问题；年龄问题；排列组合问题；集合问题；鸡兔同笼问题；利息税率问题；溶液浓度问题；星期问题。下面以结合真题，对各种问题的典型解法和解题技巧进行分析快速计算。主要应用的是凑整法，尾数法和基准数法，还有就是分配律和结合律的多次使用。尾数法尾数法主要是通过算式的个位数字来进行快速计算。例：2005年A类38题173*173*173-162*162*162=（）A、926183B、936185C、926187D、926189。这道题是典型的通过尾数进行计算的问题。前项尾数为3个3相乘，为7，后项尾数为3个2相乘，为8，因此答案的尾数应该为17-8=9，故选择D、926189。通过尾数作的题，有一个必要的条件就是四个选项尾数不同，如果难度进一步加大，则是选项的后两个数字不一样，而不仅仅是尾数。例：3543278*2221515=（）A、7871445226160B、7871445226180C、7871445226150D、7871445226170上题由于两个乘数比较大，临场计算几乎是不可能的。读选项，利用简便算法直接选答案。注意每个选项的最后位，由于都是0，所以容易给经常用尾数法做题的同学造成迷惑。实际上，本题是一道典型的尾数法计算的题。注意每个选项后两位，60，80，50，70，可知通过后两位能够判断出正确答案。由于积的后两位仅与乘数的后两位有关，因此本题只需计算78*15=1170，可知，答案后两项为70，因此正确答案为D。此外尾数法的使用还有另外一类比较重要的考点就是尾数的循环例：2005年B类38题1999^1998的末尾数字是多少？A、1B、3C、7D、9上题这种高次幂的题，只要掌握了下面的表，就能迎刃而解，而且方便快捷。123456789111111111122486248623397139713446464646455555555556666666666779317931788426842689919191919通过上面的表得知，自然数高次幂的尾数最多是4次幂一个循环，也有2次和1次就循环的，对1999来说，尾数2次一个循环，而1998恰巧是2的倍数，所以1999的1998次幂尾数应该为1。凑整法“凑整法”也是简便运算中最常用的方法，方法是利用分配率、交换律和结合律，把数字凑成整数，再进行计算。基准数法当存在多个数相加且他们的值相近时，可以找一个中间数作为基准，然后再加上每个加数与基准的差，从而求得他们的和。例：1997＋1998＋1999＋2000＋2001=（）A.9993B.9985C.9995D.10005解：上题是基准数法最典型的一道题，就是通过题面可得，各个加数都在2000左右，因此取2000位基准数，计算各数与2000的差，分别为-3，-2，-1，0，1和为-5，因此答案为2000*5-5=9995。实际上上题是这样一个过程（2000-3）+（2000-2）+（2000-1）+（2000-0）+（2000+1）=2000*5+（-3-2-1+0+1）=9995也是结合率的应用。基准数法还有引申的一种用法就是比较大小。例：2005年B类36题分数4/9、17/35、101/203、3/7、151/301中那一个最大？A.4/9B.17/35C.101/203D.151/301解：上题中，各个数相互之间比较需要通分，计算困难。但是如果以1/2为基准，就很容易解决了。4/9=1/2-0.5/9，17/35=1/2-0.5/35101/203=1/2-0.5/203151/301=1/2+0.5/301可见151/301是最大的数。比例分配问题此类问题是数学应用中，最常见的问题，也是占比最多的问题，更是拉开分数的题。例：2005年B类40题某市现有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口增加4.8%，那么这个市现有城镇人口（）。A．30万B．31.2万C．40万D.41.6万解：标准做法：几乎所有的比例问题都可以用列方程的方法来做，上题也不例外。设现在城市人口X万人，则农村人口70-X万人，X*（1+4%）+（70-X）*（1+5.4%）=70*（1+4.8%）解方程，X=30，选A。推荐方法：5.4-4.8=0.6（城市人比重）4.8-4=0.8（农村人比重）70*（0.6/1.4）=30结合起来就是70*（5.4-4.8）/（5.4-4）=30万人例：2005年B类42题甲、乙、丙三人沿着400米长的跑道进行800米比赛，当甲跑一圈时，乙比甲多跑1/7圈，丙比甲少跑1/7圈。如果他们的速度不变，那么当乙到达终点时，甲在丙前面（）米。A．85B．90C．100D．105推荐做法：甲、乙、丙的速度比为7：8：6，若乙跑800米，则甲跑700米，丙600米，甲、丙相差100米。例：2005年B类43题推荐做法：顺流21-12=9千米所用的时间与逆流7-4=3千米所用的时间相同。所以顺水船速时逆水船速的3倍。数量关系解题技巧及题库一、数量关系的解题方法1．心算胜于笔算。2．先易后难。3．运用速算方法。二、数量关系的实例(一)数字推理规律举例1．容易的规律(1)自然数数列：4，5，6，7，()A．8B．6C．10D．11(2)奇数数列：各个数都是奇数(单数)，不能被2整除之数。1，3，5，7，()A．11B．9C．13D．15(3)偶数数列，即各个数都是偶数(双数)，能被2整除之数。2，4，6，8，()A．12B．10C．11D．13(4)等差数列：相邻数之间的差值相等。1，4，7，10，()A．11B．13C．16D．12(5)等比数列：相邻数之间的比值相等。2，4，8，16，()A．21B．28C．32D．36(6)加法数列：1，0，1，1，2，()，5A．4B．3C．5D．7(7)减法数列：5，3，2，1，()，0A．1B．-1C．-2D．-3(8)乘法数列：1，2，2，4，8，()A．12B．15C．30D．32(9)除法数列：8，4，2，2,1，()A．3B．4C．5D．2(10)平方数列：数列中的各数为一个数列的平方。1，4，9，16，()A．23B．24C．25D．26(11)立方数列：数列中的各数为一个数列的立方。1，8，27，64，()A．100B．115C．120D．125(12)质数系列：只能被本身和1整除的整数，也叫素数。2，3，5，7，（）A．8B．9C．10D．11(13)题中出现的大数数列：3，7，47，2207，()A．4414B．6621C．8828D．4870847(14)纯数字数列：9，98，987，9876，()A．9875B．98765C．98764D．98763(15)分数数列：1／9，1／11，1／13，1／15，()A．1／12B．1／14C．1／17D．1/16(16)隔项自然数列：6，9，7，10，8，11，()A．12，9B．9，12C．12，12D．13，14(17)分数立方数列：１，１／8，1／27，1／64，()A．1／123B．1／124C．1／125D．1／1262．较难的规律(1)二级等差数列：2，3，5，8，()A．8B．9C．15D．12(2)等差数列变式：3，4，6，9，()，18A．11B．13C．12D．18(3)二级等比数列：1，3，18，216，()A．1023B．1892C．243D．5184(4)等比数列的变式：3，5，9，17，()A．23B．33C．43D．25(5)暗的平方数列：2，3，10，15，26，35，()A．40B．50C．55D．60(6)暗的立方数列：3，10，29，66，()A．123B．124C．126D．127(7)质数的变式：20，22，25，30，37，()A．40B．42C．48D．50(8)双重数列：分为单数项与双数项(或奇数项与偶数项)。257，178，259，173，261，168，263，()A．275B．279C．164D．163(9)数量递增的差数列：2，4，8，14，22，()A．30B．31C．32D．33(10)正负数间隔等比数列：-2，4，-8，16，()A．31B．-32C．33D．-34(11)差数列变式：.3，4，6，9，()，18A．12B．13C．14D．15(12)整数与小数数列：1.1，2.2，4.3，7.4，11.5，()A．15.5B．15.6C．15.8D．16.63．难的规律：即混合型数列，由上述两种以上的规律组成的数列。(1)差与平方数列：1，2，6，15，31，()A．45B．50C．56D．60(2)分数与公比数列：1/19，38，1／76，152,1／304，()A．380B．608C．719D．1216(3)乘法加加法数列：6，14，30，62，()A．85B．92C．126D．250(4)除法加加法数列：5，17，21，25，()A．30B．31C．32D．34(5)减法加等比数列：4，7，16，43，124，()A．367B．248C．372D．496(6)加法加等比数列：3，6，21，60，()A．183B．189C．190D．243(7)立方加加法数列：2，9，28，65，()A．128B．124C．126D．129(8)双重数列加加法数列：1，28，4，65，9，126，16，()A．215B．216C．217D．218(9)平方与加1减1数列：5，8，17，24，37，()A．49B．63C．80D．48(10)偶数项是奇数项的倍数数列：23，46，48，96，54，108，99，()A．200B．199C．197D．198(11)分子第一位数是后两位数差的倍数数列：20/9，4/3,7/9,4/9,1/4,()A．5／36B．1／6C．1/9D．1/1444．数字推理补充题(1)2，1，4，3，()，5A．1B．2C．3D．6(2)22，35，56，90，()，234A．167B．156C．108D．145(3)1，8，9，4，()，1／6A．3B．2C．1D．1／3(4)6，24，60，132，()A．140B．210C．212D．276(5)-2，1，7，16，()，43A．25B．28C．31D．35(6)()，36，19，10，5，2A．77B．69C．54D．48(7)5／7，7／12，12／19，19/31，()31/49B．1／39C．31/50D．50／31(8)O，4，18，48，100，()A．170B．180C．190D．200(9)√2，√3，2，()，√6A．√4B．√5C．√7D．√8(10)√25，√16，()，√4A．√2B．√3C．3D．√6(11)2，12，36，80，150，()A．250B．252Ｃ．253D．254(12)16，27，16，()，1A．5B．6C．7D．8(13)1.16，8.25,27.36，64.49,()A．65.25B．125.64C．125.81D．125.01(14)4，11，30，67，()A．126B．127C．128D．129(15)12，36，8，24，11，33，15，()A．30B．35C．38D．45(16)8，8，6，2，()A．-4B．4C．0D．-2(17)12，2，2，3，14,2,7，1，18，1，2，3，40，10，()，4A．4B．2C．3D．1(18)4，3，1，12，9,3，17，5，()A．12B．13C．14D．15数字推理参考答案容易的规律：1．A2．B3．B4．B5．C6．B7．A8．D9．Ｄ10．C11．D12．D13．D14．B15．C16．B17．C较难的规律：D2．B3．D4．B5．B6．D7．C8．D9．C10．B11．B12．D难的规律：C2．B3．C4．B5．A6．A7．C8．C9．Ｄ10．Ｄ11．A补充题：1．D2．D3．C4．D5．B6．B7．C8．B9．B10．C11．B12．A13．B14．C15．D16．A17．Ｄ18．A(二)数学运算举例1．容易的规律：凑整法①小数凑整法：52+13.6+3.8+6.4的值：A．29B．28C．30D．29.2②乘法凑整法：49×25的值：A．1240B．1250C．1225D．1220③分数凑整法：20-13/4-22/5-0.75-2.60A．13B．12C．9D．8观察尾数法①1111+6789+7897的值：A．15797B．24798C．25698D．25798②89的平方是多少?A．7921B．7923C．7925D．7927(3)未知法1111+6789+7879的值：A．25797B．24798C．25698D．未给出利用“基准数法”1997+1998+1999+2000+2001：A．9993B．9994C．9995D．9996（5）求等差数列之和2+4+6……20+22+24之和：A．151B．152C．153D．156(6)求自然数列之和从1到100各数之和：A．5000B．5100C．5050D．5060(7)利用“互补数法”①3972×69÷1986=A．138B．136C．134D．132②543-61-39=A．441B．443C．445D．447③525÷(25×7)=A．10B．8C．3D．1(8)快速心算法①做—面彩色旗需要4种颜色的布，做4面同样颜色的彩旗需用多少种颜色的布?A．16种B．12种C．8种D．4种②甲是乙的—倍，甲是100，乙是多少?A．200B．100C．150D．502．较难的规律(1)“+1与-1”法①“+1”法一条长廊长20米，每隔2米放—盆花，问共需多少盆花?A．10B．11C．12D．13②“-1”法张佳住三层，每层楼之间梯级数都是15，那么张佳每次回家要爬多少级楼梯?A．20B．30C．40D．45(2)“青蛙跳井”青蛙在井底向上爬，井深10米，青蛙每次爬上5米，又滑下4米，问青蛙需要几次方可爬上井?A．5B．9C．10D．6(3)大小数判断法请判断0，-1，90，6-1的大小关系A．6-1>0>-1>90B．90>6-1>0>-1C．0>-1>6-1>90D．0>-1>90>6-1(4)余数相加法计算星期几：假如今天是星期二，那么再过45天，应该是星期几?A．3B．4C．5D．6②计算月日：今天是2003年2月1日，那么再过65天是几月几日?A．2004年2月3日B．2004年2月4日C．2004年2月5日D．2004年2月6日③计算特殊生日：小王每四年过一次生日，问他生在哪月哪日?A．1月31日B．2月28日C．2月29日D．3月30日比例分配法：一所学校—、二、三年级学生总人数是450人，三个年级学生比例为2：3：4。问人数最多年级人数是多少人?A．100B．150C．200D．250(6)计算倍数：甲是乙的两倍，乙是丙的1/4，甲是丙的几分之几?A．3／4B．1／2C．1／3D．I／8(7)计算面积：—个长16m，宽8m的长方形，如果长宽都减少1／4，那么原面积减少了多少m2?A．32B．48C．54D．563难的规律(1)工程计算：①一件工程，甲队单独做15天完成，乙队单独做10天完成，问两队合作几天完成?A．5B．6C．7D．8②一件工程，甲独立做15天完成，乙独立做10天完成，甲独立做3天后，两人合作，还需几天才能完成?A．5天B．10天C．6天D．4.8天③一个游泳池有两个水管，一根进水，一根排水。如单开进水管16小时灌满水，如单工排水管，8小时可把一池水放完。现在池子是空的，如果两管同时开放，问需开多少小时可把游泳池灌满?A．20B．22C．24D．25(2)里程计算甲，乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时走46.5公里，乙车每小时比甲车多走8.5公里，两车相对开2.4小时后(两车还未相遇)相距30公里，问两地相距多少里?A．273.6B．547.2C．303.6D．607.2(3)人数计算：一车间女工是男工的90％，因生产任务的需要又调入女工15人，这时女工比男工多20%。问此车间男工有多少?A．150B．120C．50D．40(4)只数计算：鸡兔同笼一笼中的鸡和兔共有200条腿，已知鸡数是兔数的两倍，问笼中共有多少只鸡?A．20B．30C．40D．504．数学运算补充题(1)大于4/5且小于5/6的数是：6/7B．21/30C．49/60D．47/61(2)19881989+19891988的值的个位数是：A．9B．7C．5D．3(3)今年父亲的年龄是儿子年龄的10倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，问今年父子各多少岁?A．60，6B．50，5C．40，4D．30，3(4)一种收音机，连续两次降价10%后的价格是405元，问原价是多少?A．490B．500C．520D．560(5)（1+1）2+（1.2）2+(1.3)2+(1.4)2的值是：A．5.04B．5.49C．6.06D．6.3(6)如下图，一个正方形分成5个相等的长方形，每个长方形的周长都是36米，问这个正方形的周长是多少?A．40B．50C．60D．70(7)求10+15+20+……+55+60的值：A．365B．385C．405D．425因式分解题①222-100-112的值：A．366B．363C．263D．266②如果N＝2×3×5×7×121，则下列哪一项可能是整数?A．79N/110B．17N/38C．N/72D．11N/49(9)老张藏书14000册，老马藏书18000册。如果老张想使自己的藏书成为老马现藏书的3倍，问他还需购进多少册书?A．30000B．40000C．45000D．50000(10)某剧团男女演员人数相等，如果调出8个男演员，调进6个女演员后，女演员是男演员人数的3倍，问该剧团原有女演员多少人?A．20B．15C．30D．25(11)一棍长３米的绳子，每次都剪掉绳子的2/3，那么剪了三次之后还剩多少米?A．1/7B．1/9C．8/27D．1/27▲数学运算参考答案容易的规律：(1)①-③ACC(2)①-②AA(3)D(4)C(5)D(6)C(7)①-③ABC(8)①-②DB较难的规律：(1)①-②BB(2)D(3)B(4)①-③CBC(5)C(6)B(7)D难的规律：(1)①-③BDC(2)B(3)C(4)D补充题：（1）~（7）CADBDCB（8）①C②A（9）~（11）BBB题库某校在原有基础(学生700人，教师300人)上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几?A.7％B.8％C.10.3％D.11％假设地球是一个正球形，它的赤道长4万千米。现在用一根比赤道长10米的绳子围绕赤道一周，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，请问绳子距离地面大约有多高?A.1.6毫米B.3.2毫米C.1.6米D.3.2米1\A:[(300+75)*2-700]/7002\c:设地球半径为r,绳圈的半径为R:2∏R-2∏r=10>2∏(R-r)=10>R-r=10/2∏50.一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：A.5个B.6个C.7个D.8个除以9余7，9n+7;除以5余2，5(n-1)+7;除以4余3，4(n-1)+7;即9，5，4的公倍数＋7187，367，547，727，907一、数量关系练习题之一和解析(一)数量关系练习题之一数字推理练习题之一1235，242，249，256，()A261B262C263D26420，3，8，15，()A23B24C25D2636，10，7，12，8，14，()，()A9，16B9，13C10，11D11，1443，4，6，9，()，18A11B13C15D1754，28，9，65，16，126，25，()A214B215C216D217数学运算练习题之一15214+4369+3786+2631A13B14C15D16285×89A7564B7565C7665D786532345+5432+4532+3254A15562B15563C15564D2556348999-2345-1655A4999B3999C4998D498955958×69÷1986A135B207C141D1446求22+24+26+……+42的和。A348B350C352D3547一条街长200米，每隔5米栽一棵树，问共需栽多少棵树?A40B41C42D438假如今天是2003年的12月1日，那么再过75天是2004年的几月几日?A2月13日B2月14日C2月15日D2月16日9一件工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，问甲、乙合作几天完成?A10B11C12D1310甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行50公里，乙车每小时行40公里，两车开2小时后还相距30公里，问两地间的距离有多少里?A210B420C310D520(二)数量关系练习题之一解析数字推理练习题之一解析1题解析：本题是一个等差数列题，公差为7。所以，()内应为256+7=263。故本题正确答案为C。2题解析：本题的差数不等，为3、5、7，但差数为奇数列，下个差数应为9。所以，()内应为15+9=24。故本题正确答案为B。3题解析：本题可按单数项与双数项数列解析。单数项为6、7、8，第一个()内之数应为9；双数项为10、12、14，是等差为2的数列，第二个()内之数应为14+2=16。故本题正确答案为A。4题解析：本题由三组不同的数字组成，其中第一组数字的差为1，第二组数字的差为3，可见是奇数规律，那么，第三组数字的差数应该是5，本题已给出被减数为18，那么减数应该为18-5=13。故本题正确答案为B。5题解析：本题由四组不同的数字组成，其中每组数字的第一个数为4、9、16、25，分别为22、32、42、52。第二个数为33+1=28，43+1=65，53+1=126，那么，63+1=217。故本题正确答案为D。数学运算练习题之一解析1题解析：本题为小数凑整法。找其规律，小数点后面的数字相加可以变成整数。0214+0786=1，0369+0631=1，那么，前面整数为5+4+3+2=14，总和为16。故本题的正确答案为D。2题解析：本题是乘法凑整法。85×90-85=7565。故本题的正确答案为B。3题解析：本题是大数字连加，可用观察尾数法。先将个位数相加，5+2+2+4=13，所以，选择尾数为3的数字，四个选项中B、D尾数为3，再观察首数，将2+5+4+3=14，首数为1。故本题的正确答案为B。4题解析：本题利用互补数法。可先将2345+1655=4000，然后再用8999-4000=4999。故本题正确答案为A。5题解析：本题可用互补数法。先用1986去除5958，得3，再用3×69=207。故本题的正确答案为B。6题解析：本题所用公式为(首项+末项)÷2×项数，项数=(末项-首项)÷公差+1，所以，本题的项数=(42-22)÷2+1=11，答案为(22+42)÷2×11=352。故本题的正确答案为C。7题解析：本题可用加“1”法。因为种树时开头应种一棵，所以，所种的树为200米÷5+1=41棵。故本题的正确答案为B。8题解析：本题是计算月日的。首先，公历的12月与1月均为31天，本题中12月已经过了一天，还剩30天，一月为31天，加起来为61天。75-61=14，即是2月14日。故本题的正确答案为B。9题解析：本题为工程计算题，其公式为1÷(1/甲用天数+1/乙用天数)，所以，甲乙合作所用天数为1÷(120+130)=12(天)。故本题的正确答案为C。10题解析：本题可用里程计算法，公式为两地距离=两车已行距离+车距。两车已行的路程为(40+50)×2=180(公里)，车距为30公里。两地距离为180+30=210(公里)。但应试者需注意，本题给的是公里而所求之数为里，这是出题人耍花样，切勿“上当”，不然就会选错答案的。1公里=2里，所以，本题问的两地距离多少里，应该是210×2=420(里)。故本题的正确答案为B。(三)数量关系练习题之一参考答案数字推理1C2B3A4B5D数学运算1D2B3B4A5B6C7B8B9C10B最优化问题例1:货轮上卸下若干只箱子，总重量为10吨，每只箱子的重量不超过1吨，为了保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3吨的汽车？[分析]因为每一只箱子的重量不超过1吨，所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨，否则可以再放一只箱子。所以，5辆汽车本是足够的，但是4辆汽车并不一定能把箱子全部运走。例如，设有13只箱子，所以每辆汽车只能运走3只箱子，13只箱子用4辆汽车一次运不走。因此，为了保证能一次把箱子全部运走，至少需要5辆汽车。例2:用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？[分析]一个10尺长的竹竿应有三种截法：（1）3尺两根和4尺一根，最省；（2）3尺三根，余一尺；（3）4尺两根，余2尺。为了省材料，尽量使用方法（1），这样50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，还差50根4尺的，最好选择方法（3），这样所需原材料最少，只需25根即可，这样，至少需用去原材料75根。例3:一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米？[分析]因为三角形三边是三个连续偶数，所以它们的个位数字只能是0，2，4，6，8，并且它们的和也是偶数，又因为它们的个位数字的和是7的倍数，所以只能是14，三角形三条边最大可能是86，88，90，那么周长最长为86+88+90=264厘米。例4:把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。[分析]先从较小数形开始实验，发现其规律：把6拆成3+3，其积为3×3=9最大；把7拆成3+2+2，其积为3×2×2=12最大；把8拆成3+3+2，其积为3×3×2=18最大；把9拆成3+3+3，其积为3×3×3=27最大；……这就是说，要想分拆后的数的乘积最大，应尽可能多的出现3，而当某一自然数可表示为若干个3与1的和时，要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其积37×22=8748为最大。例5:A、B两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后两人返回出发点）？如果可以将部分食物存放于途中以备返回时取用呢？[分析]设A走X天后返回，A留下自己返回时所需的食物，剩下的转给B，此时B共有（48-3X）天的食物，因为B最多携带24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回时用，所以B可以向沙漠深处走16天，因为每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。如果改变条件，则问题关键为A返回时留给B24天的食物，由于24天的食物可以使B单独深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B两人往返一段路，这段路为24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是说，其中一个人最远可以深入沙漠360千米。例6:甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服，现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？[分析]根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为2:3；因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比为2:3；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是3:4；，由于，所以甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣，由于乙厂生产月生产1200件上衣，那么乙厂全月可生产上衣1200÷=2100件，同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子900÷=2250条。为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这需要2100÷2250=月，然后甲厂再用月单独生产西服900×=60套，于是，现在联合生产每月比过去多生产西服（2100+60）-（900+1200）=60套例7今有围棋子1400颗，甲、乙两人做取围棋子的游戏，甲先取，乙后取，两人轮流各取一次，规定每次只能取7P（P为1或不超过20的任一质数）颗棋子，谁最后取完为胜者，问甲、乙两人谁有必胜的策略？[分析]因为1400=7×200，所以原题可以转化为：有围棋子200颗，甲、乙两人轮流每次取P颗，谁最后取完谁获胜。[解]乙有必胜的策略。由于200=4×50，P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式（k为零或正整数）。乙采取的策略为：若甲取2，4k+1，4k+3颗，则乙取2，3，1颗，使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数，此时甲总不能取完，而乙可全部取完而获胜。[说明]（1）此题中，乙是“后发制人”，故先取者不一定存在必胜的策略，关键是看他们所面临的“情形”；（2）我们可以这样来分析这个问题的解法，将所有的情形--剩余棋子的颗数分成两类，第一类是4的倍数，第二类是其它。若某人在取棋时遇到的是第二类情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一类情形，若取棋时面临第一类情形，则取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以，谁先面临第二类情形谁就能获胜，在绝大部分双人比赛问题中，都可采用这种方法。例8有一个80人的旅游团，其中男50人，女30人，他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间，男、女分别住不同的房间，他们至少要住多少个房间？[分析]为了使得所住房间数最少，安排时应尽量先安排11人房间，这样50人男的应安排3个11人间，2个5人间和1个7人间；30个女人应安排1个11人间，2个7人间和1个5人间，共有10个房间。[练习]1、十个自然数之和等于1001，则这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少？（不包括0）2、在两条直角边的和一定的情况下，何种直角三角形面积最大，若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为多少？3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟，如果只有一个水龙头适当安排他们的打水顺序，就能够使每个人排队和打水时间的总和最小，那么这个最小值是多少分钟？4、某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满。若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲乙两管全放最少需要多少小时？5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在该公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规则是禁止写黑板上已写过的数的约数，不能完成下一步的为失败者。问：是先写者还是后写者必胜？如何取胜？[习题参考答案及思路分析]1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13为公约数,这样这十个正整数可以是,91×2，它们的最大公约数为91。2、对于直角三角形而言，在直角边的和一定的情况下，等腰直角三角形的面积最大。若两直角边的和为8，则三角形的最大面积为×4×4=8。3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小，有两种方法：（1）排队的人尽量少；（2）每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水，才能保证开始排队人多的时候，每个人等待的时间要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分钟）。4、由于甲、乙单独开放都不可能在10小时注满水池，因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少，应尽量开放甲管（速度快），这样甲开10小时注满水池的，余下只能由乙注满，需。因此甲乙两管全放最少需要4小时。5、此问题我们可以从最简单问题入手，寻找规律，从而解决复杂问题，最后集合地点应在中间地点。6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6，乙仅可写4，5，7，8，9，10中的一个，把它们分成数对（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙写数对中的某个数，甲就写数对中的另一个数，则甲必胜。盈亏问题人们在分东西的过程中经常会遇到多了（盈）或者少了（亏）这样的情况，数学来源于生活，根据分东西的这一过程编成的应用题就是盈亏问题．解题的基本步骤为先恰当设定单位，然后通过比较而求出一个单位对应的具体数值。【经典例题】1．少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？【分析】：解这道题的关键在于条件的转换，把“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”转换成“每人挖6个树坑，还差2×（6－4）个树坑。”则本题成为“一盈一亏”的盈亏问题；对比两个条件，因为每人多挖（6－5）一个；所以就要多挖［3＋2×（6－4）］个，这样就可求出人数，继而求出树坑数。在这里我们把两个条件中每人挖的差（6－5）叫分差，因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。本题中：总差÷分差＝人数；推广可得：两次分配的差叫分差，总差分3种：一盈一亏中：盈＋亏＝总差；在双盈或双亏中：大数－小数＝总差；总差÷分差＝份数份数在不同的题目中表示不同的意思。解：［3＋2×（6－4）］÷（6－5）＝7（人）7×5＋3＝38（个）--树坑数2．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？【分析】：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数解2：都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--圆珠笔的价钱13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数3．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？【解答】：关键在于条件的理解，每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏，我们只能认为至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）；每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，我们也只能认为至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）；根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。（至少取大数，至多取小数，）4．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问第二组有多少人？【解答】：因分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。说明第一组的人数不到48÷4＝12人，多于（48÷5＝9…3）9个人，即10到11人；同理，第二组不到48÷3＝16人，又多与48÷4＝12人，即13到15人，因15－10＝5（人）；由此可知：第一组是10人，第二组是15人。5．用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？【分析】：绳三折，井外余2米，说明绳子比井深的3倍多（3×2）6米；绳四折，还差1米不到井口，说明绳子比井深的4倍少（4×1）4米，总差：（因多1折，就差）；（3×2）＋（4×1）；分差：（4－3）；这样可求出井深。解：［（3×2）＋（4×1）］÷（4－3）＝10÷1＝10（米）--井深10×3＋2×3＝36（米）--绳长6．有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？【分析】：条件可以这样理解，每条船坐6人，多6人；每条船坐9人，差9人。解：（9＋6）÷（9－6）＝5（条）；5×6＋6＝36（人）7．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？【分析】：根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个；原来各买一份要：30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；现在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每买30＋30＝60个球，就可以少花1元钱，那么小明一共就买了4×60＝240个球。解：假设1份球数是30个；4÷［（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2］＝4（份）（30＋30）×4＝240（个）答：小明共买了240个球。练习1、老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。问参加栽树的有多少名同学？原有树苗多少棵？2、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？3、学校安排学生到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，那么剩下48人没有坐；若每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。问听报告的学生有多少人？4、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？5、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？6、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？7、幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？8、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问第二组有多少人？9、在若干盒卡片，每盒中卡片数一样多。把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7张，但若都分8张则还缺少5张。现在把所有卡片都分完，每人都分到60张，而且还多出4张。问共有小朋友多少人？10、用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？11、有两根同样长的绳子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段长2米。原来每根绳子长多少米？12、有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？13、张宇上午7时20分从家里出发到校上课。如果每分钟走50步，离上课还有7分钟；如果每分钟走35步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。14、"六一"儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？15、苹果和梨各有若干只。如果5只苹果和3只梨装一袋，苹果还多4只，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只。那么苹果和梨共有多少只？练习答案1、老师拿来一批树苗，分给一些同学去栽，每人每次分给一棵，一轮一轮往下分，当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。问参加栽树的有多少名同学？原有树苗多少棵？【分析】：当分剩下12棵时不够每人分一棵了，如果再拿来8棵，那么每个同学正好栽10棵。通过这一句话，我们可以知道参加种树的同学一共有12+8=20人，加上再拿来的8棵，一共有20*10=200棵。所以，原有树苗=200-8=192棵。解答：有同学12+8=20名，原有树苗20*10-8=192棵。2、少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？分析：这是一个典型的盈亏问题，关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑”统一一下。即：应该统一成每人挖6个树坑，形成统一的标准。那么它就相当于每人挖6个树坑，就要差（6-4）*2=4个树坑。这样，盈亏总数就是3+4=7，所以，有少先队员7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个坑。解答：盈亏总数等于3+（6-4）*2=7，少先队员有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38个树坑。3、学校安排学生到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，那么剩下48人没有坐；若每5人坐一条长椅，则刚好空出两条长椅。问听报告的学生有多少人？分析：典型盈亏问题。盈亏总数48+5*2=58，所以，长椅的数量就等于58/（5-3）=29条。那么，听报告的人数等于29*3+48=135人。解答：长椅有（48+5*2）/（5-3）=29条，听报告的学生有29*3+48=135人。4、钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？分析：在盈亏问题中，我们得到的计算公式是指同一对象的。而现在分别是圆珠笔和钢笔两种东西。因此，我们要利用盈亏问题的公式计算就必须将它转化成为同一对象--钢笔或者圆珠笔。小明带的钱买5支钢笔差1元5角，我们可以将它转化成买5支圆珠笔，因为我们知道钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，把买5支钢笔改买5支圆珠笔，就要省下6元钱，也就是比原来差1元5角，反而可以多出6元-1元5角=4元5角。这样我们就将原来的问题转化成了：小明带的钱买5支圆珠笔多4元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？那么，盈亏总数=4元5角-6角=3元9角，每支圆珠笔价钱=3元9角/（8-5）=1元3角。所以，小明共有8*1元3角+6角=11元。解答：买5支钢笔差1元5角，相当于买5支圆珠笔多4元5角，每支圆珠笔的价钱=（4元5角-6角）/8-5）=1元3角。小明带了8*1元3角+6角=11元。5、幼儿园将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果共有多少个？分析：与上一题类似，需要转化成两次对同一对象。解答：分给大班的小朋友每人5个则余10个，大班比小班多3个小朋友，相当于分给小班的小朋友每人5个则余10+3*5=25个，盈亏总数=25+2=27，小班人数=27/（8-5）=9人，苹果有9*5+25=70个。6、某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？分析：如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室，那么人数肯定多于32*8=256人，但不超过33*8=264人；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，即如果每个寝室安排6个人，要用43个寝室，那么人数肯定多于42*6=252人，但不超过43*6=258人；两次比较，人数应该多于256人，不超过258人。所以，这批学生可能有257或258人。解答：8*32=256，6*42=252，256>252，人数超过256人；8*33=264，6*43=258，258<264，人数不超过258人。这批学生可能有257或258人。7、幼儿园老师给小朋友分糖果。若每人分8块，还剩10块；若每人分9块，最后一人分不到9块，但至少可分到一块。那么糖果最多有多少块？分析：最后一人分不到9块，那么最多可以分到8块，即若每人分9块，还差1块。根据盈亏计算公式，人数有（1+10）/（9-8）=11人，糖果最多有9*11-1=98块；最后一人分不到9块，但至少可分到一块，即最少是最后一人差8块，根据盈亏计算公式，人数有（8+10）/（9-8）=18人，糖果最多有9*18-8=154块；所以，这批糖果最多有154块。解答：9-1=8，人数最多有（10+8）/（9-8）=18人，糖果最多18*9-8=154快。8、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给