辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知，，且，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．113．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．，4．定义在上的偶函数满足，且时，，则（

）A． B． C． D．5．已知样本数据均为正数，其方差，则样本数据的平均数为（

）A．1 B． C．2 D．6．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（

）

A． B． C． D．7．已知复数，和满足，若，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．18．如图，在棱长均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平面，则（

）

A． B． C． D．二、多选题9．已知正数a，b满足，则（

）A．b的取值范围是 B．的最小值为C．的最小值为2 D．的最小值10．小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（

）A．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96B．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5C．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5D．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.511．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的平分线交于点，则（

）A．B．外接圆的面积为C．若，则为直角三角形D．若的内切圆的圆心为，则周长的最大值为三、填空题12．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为.13．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴．14．已知锐角的面积为，点分别在上，且对任意恒成立，则．四、解答题15．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数；16．已知函数（为常数，）．(1)当取何值时，函数为奇函数；(2)当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．17．如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．

(1)求和的值，并用表示；(2)若，，，求与夹角的余弦值．18．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求角C的值；(2)求的最大值；(3)若AB边上的中线CD长为，求的面积．19．已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面.(1)求证：平面；(2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值；(3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ABAACDBCABAD题号11答案ACD1．A【分析】先用列举法表示集合，再求两个集合的交集.【详解】因为，所以.故选：A2．B【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案.【详解】由，则，所以，当且仅当时，等号成立.故选：B.3．A【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断.【详解】函数，当时，单调递增区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；所以函数的单调递减区间为.故选：A.4．A【分析】由函数满足，可得函数的周期为4，，再根据是定义在上的偶函数，，代入利用对数的性质即可得答案．【详解】因为，所以是一个周期为4的周期函数.因为是定义在上的偶函数，∴所以.因为，所以所以.所以.故选：A.5．C【分析】根据方差的计算公式计算即可.【详解】设样本数据的平均数为，则方差，所以，即，因为样本数据均为正数，所以，故.故选：C.6．D【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解.【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，，，，设，则，且，，，因，当时，，当时，，故．

故选：D．7．B【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值.【详解】根据题意，得，当，，时，，此时，所以.故选：B.8．C【分析】取中点，先证明平面，进而得到，然后分析出要使平面，只需.通过计算得到，进而在中求出，即可得解.【详解】

如图所示，取中点，连接.是正三棱柱，为线段的中点，，，平面，平面，.,平面，平面，平面，.要使平面，只须.设三棱柱的棱长为，则，.在中，，，.故选：C9．AB【分析】对于A：根据题意可得，，运算求解即可；对于BCD：根据题意结合基本不等式分析判断，注意等号成立的条件.【详解】对于选项A：因为正数a，b满足，则，，解得，，故A正确，对于选项B：因为，整理可得，解得，或（舍去），当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；对于选项C：因为，则，所以2不是的最小值，故C错误；对于选项D：因为，则，且，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故D错误.故选：AB.10．AD【分析】根据分层抽样的平均数公式及方差公式计算判断.【详解】由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为，则他这两个月的30次训练成绩的方差为.故选：AD11．ACD【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式化简目标式求解出判断A，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，再结合圆的面积公式求出外接圆面积判断B，结合题意求出，再得到，利用余弦定理求出，，结合勾股定理得到为直角三角形判断C，作出符合题意的图形，结合内心的性质得到，再利用正弦定理得到，结合两角差的正弦公式表示出周长，最后利用正弦函数的性质求解最大值判断D即可.【详解】对于A，由题意得，由正弦定理得，可得，化简得，由两角和的正弦公式得，故，而，则，得到，解得，而，可得，故A正确，对于B，设外接圆的半径为，则由正弦定理得，解得，由圆的面积公式得外接圆的面积为，故B错误，对于C，如图，作出符合题意的图形，因为，所以，而的平分线交于点，则，得到，即，故，在中，由余弦定理得，解得，故，满足，则为直角三角形，故C正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，因为，所以，因为的内心为，所以，故，设，则，在中，由正弦定理得，，则，得到的周长为，因为，所以，则，可得，故D正确．故选：ACD12．9【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中心为，进而可得，结合乘“1”法求最值.【详解】对于函数，令，解得且，可知函数的定义域为，因为，可知函数的对称中心为，由题意可知：直线经过点，则，即，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.13．，【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴.【详解】由题意可得：，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变可得函数的图象，函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，所以，令，，解得：，，故答案为：，14．【分析】根据题意可推出，以及，，结合三角形的面积关系可得和，继而结合数量积的定义求解，即得答案.【详解】由题意知锐角的面积为，则，即得，表示直线上的一点到点D的向量，故表示直线上的一点到点D的距离，由于对任意恒成立，则的模即为D到直线的最短距离，则，同理可得，由于，则，即得，由，得，由锐角可知A为锐角，故为钝角，故，故，故答案为：15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法，求；（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数.【详解】（1）由，故此令，则，则.（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，则，所以，由得，所以，故，即，故此函数为R上增函数.16．(1)(2)【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可；（2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果.【详解】（1）若为奇函数，则，即，，，，解得：.（2）当时，，，，当时，，又在上单调递增，当时，，令，则方程在上有实根，在上有实根，又在上单调递增，，.17．(1)，，(2)【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示；（2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可.【详解】（1）因为，，，则，，所以，，所以，，因为，所以，解得，所以，；（2）因为，，，所以，，，因为，，所以．，．因为，所以与夹角的余弦值为．18．(1)；(2)；(3).【分析】(1)先根据正弦定理对进行边角互化，再根据余弦定理，即可得到值，进而得到角C的值；(2)利用正弦定理，将"求的最大值问题"转化为"求的最大值问题"，再转化为"求的最大值问题",最后利用辅助角公式可得结果；(3)因为为边上的中线，所以，两边平方可得到边的关系，结合(1)式结论，可求得的值，从而得到的面积.【详解】（1）因为，由正弦定理,可得，整理可得，由余弦定理得，所以,所以.因为在中，，所以.（2）因为，由正弦定理可得，可得，.因为,所以.,所以，其中.所以，当时，取得最大值，最大值为.（3）由题可知，，由(1)知，即，①因为为边上的中线，所以，两边平方得：，所以，②②①可得，可得，所以的面积．19．(1)证明见解析(2)(3)或【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明.（2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解.（3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长.【详解】（1）在四棱锥中，连接，，由平面，平面，得，由正方形，得，而，，平面，所以平面.（2）由正方形，得，而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，因