2026年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算

第34页（共34页）2026年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算一．选择题（共8小题）1．设A，B，C为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（）A．OM→=OA→-C．OM→+OA→2．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D，E分别在棱OA，BC上，且OD→=23OA→，A．-13a→+C．-23a→3．已知空间向量a→=(3，0，1)A．3 B．1 C．2 D．14．在三棱锥P﹣ABC中，G为△ABC的重心，PD→=λPA→，PE→=μPB→，PF→=12PC→，λ，A．12 B．23 C．1 D5．如图，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点A．12a→+1C．23a→+6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足PD→=DB→，PE→=2EAA．32 B．22 C．12 7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC的中点，AG→=2GEA．13AB→-2C．-13AB→8．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，0，3），C（3，2，1），则直线AB，AC所成角的余弦值为（）A．13 B．12 C．23 二．多选题（共4小题）（多选）9．给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若a→，b→为单位向量，则B．若向量a→是向量b→的相反向量，则C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD→D．若空间向量m→，n→（多选）10．在空间直角坐标系中，向量a→=(2，A．若a→∥b→，则B．若|a→|=6，则mC．若〈a→，D．若a→在b→上的投影向量为16b（多选）11．如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列说法正确的是（）A．AB→+BC→+C．AB→+12（多选）12．关于空间向量，下列说法错误的是（）A．对于任意的空间向量a→，bB．若空间向量a→，b→满足a→⋅C．若m→=(2，4，-2)是直线l的方向向量，nD．若直线l的方向向量为m→，平面α的法向量为n→，则“m→⊥n→”是三．填空题（共4小题）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，动点P满足CP→=xCD→+yCC1→．当x＝1时，B1P→⋅AC→=14．已知向量a→=(1，-2，1)，b→=(2，1，15．已知OA→=(5，1，3)，OB→=(-2，1，16．已知某正方体的棱长为2，均不重合的N，P，Q三点都在此正方体的棱上，则NP→⋅NQ→的取值范围是四．解答题（共4小题）17．在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．（1）求AA'（2）求证：AA'（3）求A′C的长．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设AB→=a→，（1）用{a→，b→，（2）求cos〈19．已知空间内三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求∠ABC的余弦值；（2）求以向量AB→，AC→为一组邻边的平行四边形的面积20．已知ABCD﹣A′B′C′D′是平行六面体．（1）化简12（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的34分点，设MN→=αAB→+

2026年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBACBDCB二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABCABCABCABD一．选择题（共8小题）1．设A，B，C为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（）A．OM→=OA→-C．OM→+OA→【考点】空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【解答】解：根据空间向量共面定理可知，OM→若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，其充要条件是x+y+z＝1，A选项，∵1﹣1﹣1≠1，∴A，B，C，M四点不共面，故A选项错误；B选项，∵15+75-35=1，∴A，C选项，根据题意可知，OM→+OA∵﹣1﹣1﹣1＝﹣3≠1，∴A，B，C，M四点不共面，故C选项错误；D选项，根据题意可知，MA→+MB即OM→=14OA→+14OB→+14OC→，故选：B．【点评】本题考查了四点共面的条件，属于基础题．2．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D，E分别在棱OA，BC上，且OD→=23OA→，A．-13a→+C．-23a→【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果．【解答】解：由题意可知，DE→故选：B．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．3．已知空间向量a→=(3，0，1)A．3 B．1 C．2 D．1【考点】空间向量的投影向量与投影．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】A【分析】先利用数量积的坐标运算和模的坐标运算求得a→⋅b【解答】解：因为a→=(3所以a→⋅b则a→在b→上的投影向量的模为故选：A．【点评】本题主要考查了投影向量模的定义，属于基础题．4．在三棱锥P﹣ABC中，G为△ABC的重心，PD→=λPA→，PE→=μPB→，PF→=12PC→，λ，A．12 B．23 C．1 D【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值．【解答】解：G为△ABC的重心，则PG→∴PM→∴PM→∵M，D，E，F四点共面，∴16λ+∵λ+μ=∴λ+μ的最小值为1．故选：C．【点评】本题主要考查空间向量的四点共面的定理，以及基本不等式的公式，属于基础题．5．如图，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点A．12a→+1C．23a→+【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算法则求解．【解答】解：MN→故选：B．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足PD→=DB→，PE→=2EAA．32 B．22 C．12 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．【答案】D【分析】设PA→=a→，PB→=b【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足PD→=DB→，设PA→=a→，PB→=bCE→DF→所以CE→故直线CE与DF所成的角余弦值为0．故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC的中点，AG→=2GEA．13AB→-2C．-13AB→【考点】空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】C【分析】依题意可得GE→【解答】解：因为AG→=2GE所以G=1=2故选：C．【点评】本题考查了空间向量的线性运算，是基础题．8．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，0，3），C（3，2，1），则直线AB，AC所成角的余弦值为（）A．13 B．12 C．23 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】B【分析】根据向量夹角的坐标公式，求直线夹角的余弦值．【解答】解：根据题意可知，点A（1，0，1），B（﹣1，0，3），C（3，2，1），则AB→=(-2，设直线AB，AC所成角为θ，cosθ=|故选：B．【点评】本题考查了向量夹角的坐标公式，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若a→，b→为单位向量，则B．若向量a→是向量b→的相反向量，则C．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD→D．若空间向量m→，n→【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形BDD1B1是矩形，进而判断C；举例判断D．【解答】解：对于选项A，由单位向量的定义可知，若a→，b→为单位向量，则对于选项B，由相反向量的定义可知，若向量a→是向量b→的相反向量，则|a对于选项C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为四边形BDD1B1是矩形，所以BD→=B对于选项D，若n→=0，则m→∥n故选：ABC．【点评】本题主要考查了单位向量，相反向量和相等向量的定义，考查了平行向量的性质，属于基础题．（多选）10．在空间直角坐标系中，向量a→=(2，A．若a→∥b→，则B．若|a→|=6，则mC．若〈a→，D．若a→在b→上的投影向量为16b【考点】空间向量的投影向量与投影；空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；结合空间向量的模长可判断B选项；分析可得a→⋅b→＜0且【解答】解：对于选项A，若a→∥b→，则2-4=对于选项B，若|a→|=6，则22+对于选项C，若〈a→，b→〉为钝角，则a→⋅b→=-8-2+4m=4m-对于选项D，a→在b→上的投影向量为：a→⋅b→|b→故选：ABC．【点评】本题考查了向量平行的坐标关系，根据向量坐标求向量长度的方法，投影向量的计算公式，是基础题．（多选）11．如图，已知四面体ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，下列说法正确的是（）A．AB→+BC→+C．AB→+12【考点】空间向量及其线性运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】ABC【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解．【解答】解：对于选项A，AB→+BC对于选项B，AB→+BC对于选项C，因为F是CD的中点，所以AB→+1对于选项D，AB→-AE故选：ABC．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．（多选）12．关于空间向量，下列说法错误的是（）A．对于任意的空间向量a→，bB．若空间向量a→，b→满足a→⋅C．若m→=(2，4，-2)是直线l的方向向量，nD．若直线l的方向向量为m→，平面α的法向量为n→，则“m→⊥n→”是【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；平面的法向量．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．【答案】ABD【分析】根据空间向量数量积公式判断AB，根据空间直线与平面的位置关系判断CD．【解答】解：A选项，a→⋅b→是一个数，(a→⋅a→与c→不一定共线，∴(aB选项，∵a→⋅b→=|a→||b→|C选项，根据题意可知，m→=(2，4，-2)且m→=-2n→，∴l⊥D选项，∵直线l的方向向量为m→，平面α的法向量为n若m→⊥n→，则l∥α或l⊂α，若l∥∴m→⊥n→是l∥故选：ABD．【点评】本题考查了空间向量数量积公式，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，动点P满足CP→=xCD→+yCC1→．当x＝1时，B1P→⋅AC→=0【考点】空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】0；[2，【分析】如图建立空间直角坐标系，根据正方体的性质和已知条件得出各点坐标，从而得出相应向量坐标，再利用向量乘法、加减法的运算法则及向量模长公式计算求解．【解答】解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，所以A（0，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），A1（0，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2），B1（2，0，2），所以CD→所以CP→因为当x＝1时，B1所以AC→因为CP→所以P（2﹣2x，2，2y），所以DP→所以DP→所以|DP当x=12，y当x＝1或x＝0，y＝1时，|DP→-所以|DP故答案为：0；[2，【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于中档题．14．已知向量a→=(1，-2，1)，b→=(2，1，【考点】空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】0．【分析】先求a→+b【解答】解：由a→则a→则(a故答案为：0．【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．15．已知OA→=(5，1，3)，OB→=(-2，1，【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】7．【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出x的值，进而可求出AB→的坐标，结合空间向量的模长公式可求出|【解答】解：根据题意可知，OA→⋅OB→=-10+1+3故OB→=(-2，故|AB故答案为：7．【点评】本题考查了向量垂直，属于基础题．16．已知某正方体的棱长为2，均不重合的N，P，Q三点都在此正方体的棱上，则NP→⋅NQ→的取值范围是[﹣1，【考点】空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】[﹣1，12）．【分析】根据数量积的性质可得NP→⋅NQ【解答】解：正方体的棱长为2，故正方体的体对角线长度为23故|NP|≤23，|又P，Q不重合，故等号无法取到，故NP→记正方体为ABCD﹣A1B1C1D1，以A为原点，AB→，AD→，AA1→为x建立空间直角坐标系，设N（x0，0，0），P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），因为正方体的棱长为2，且N，P，Q在正方体表面，所以x0，x1，x2，y1，y2，z1，z2的最小值为0，最大值为2，则NP≥（x1﹣x0）（x2﹣x0）＝﹣（x0﹣x1）（x2﹣x0）≥-(等号在x0＝1，x1=0x2=2，y1y2＝z1z2＝0时取到，或在x0＝1，x1=2x2=0，y1故NP→⋅NQ→的取值范围是[﹣故答案为：[﹣1，12）．【点评】本题考查空间向量数量积的运算，属中档题．四．解答题（共4小题）17．在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．（1）求AA'（2）求证：AA'（3）求A′C的长．【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数乘及线性运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）3；（2）证明：因为AA'＝3×2×cos60°﹣3×2×cos60°＝3﹣3＝0，所以AA'（3）A'【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可；（2）根据数量积为0得出垂直；（3）由A'C→【解答】解：（1）AA'（2）证明：因为AA'＝3×2×cos60°﹣3×2×cos60°＝3﹣3＝0，所以AA'（3）因为A'=4+4+9+0-2×2×3×1所以|A'C【点评】本题考查空间向量的综合应用，属中档题．18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设AB→=a→，（1）用{a→，b→，（2）求cos〈【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数乘及线性运算．【专题】数形结合；数形结合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）BD1→（2）66【分析】（1）求出BD1→，平方求模长即可得出（2）由AC→求出|AC→|=3【解答】解：（1）记AB→=a→，则|a→|＝|b→|＝|c→|＝1，＜a→，b→所以a→•b→=b→•cBD1→2=(b→+c→-a→)2=a→2+所以|BD1→|=2（2）AC→=a→+b→，所以AC→2=由（1）知BD1→=所以BD1→•AC→=（b→+c→-a→）•（=b所以cos〈【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，是基础题．19．已知空间内三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）．（1）求∠ABC的余弦值；（2）求以向量AB→，AC→为一组邻边的平行四边形的面积【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量线性运算的坐标表示；空间向量数量积的坐标表示．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）12（2）73【分析】（1）得到BA→、BC（2）得到AB→、AC→向量后借助空间向量夹角公式计算可得cos∠BAC，即可得sin∠【解答】解：（1）由点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），可得BA→=(2，则cos∠即∠ABC的余弦值为12（2）由（1）可得sin∠则S=|【点评】本题主要考查向量的夹角计算，考查计算能力，属于中档题．20．已知ABCD﹣A′B′C′D′是平行六面体．（1）化简12（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的34分点，设MN→=αAB→+【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量的数乘及线性运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．【答案】（1）EF→（2）α=【分析】（1）取AA′的中点为E，取F为D′C′的一个三等分点（D′F=23D′C′），由空间向量的运算法则可得（2）连结BD，则M为BD的中点，由空间向量的结论可得MN→=1【解答】解：（1）取AA′的中点为E，则12又BC→=A'D'→，AB→=D'C'→，取F为则D'∴12（2）连结BD，则M为BD的中点，MN→=12（DA→+AB→=12（-AD→+AB→）∴α=12，β=14【点评】本题考查空间向量的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

考点卡片1．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）结合律：λ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±2．空间向量的数乘及线性运算【知识点的认识】1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）结合律：λ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±【解题方法点拨】﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．【命题方向】﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算．3．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-32分析：利用共线向量的条件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．4．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λ（a（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=0不能推出【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），则分析：通过2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→•b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案为：﹣7．点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．5．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式设空间向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）当cos＜a→，b→＞（2）当cos＜a→，b→＞（3）当cos＜a→，b→＞2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→dA，B＝|AB→|=【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量AB→与ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由题意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，进而得到AB解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→⋅AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．6．空间向量的投影向量与投影【知识点的认识】﹣投影向量：向量a→在b→上的投影是﹣投影长度：投影的长度为|a【解题方法点拨】﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度．【命题方向】﹣向量投影：考查如何计算向量在另一个向量上的投影及其长度．7．空间向量线性运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y【解题方法点拨】空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；【命题方向】﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算．8．空间向量数量积的坐标表示【知识点的认识】空间向量的坐标运算规律：a→【解题方法点拨】空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．【命题方向】﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算．9．空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程【知识点的认识】1、直线的方向向量：空间中任意一条直线l