2026年高考数学复习新题速递之幂函数、指数函数、对数函数

第35页（共35页）2026年高考数学复习新题速递之幂函数、指数函数、对数函数一．选择题（共8小题）1．若1＜a＜3，则|aA．2a﹣4 B．4﹣2a C．2 D．a﹣42．17世纪初，约翰•纳皮尔发明了对数，大大简化了运算．根据科学记数法，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z）的形式，若两边取常用对数，则有lgN＝n+lga．给出部分常用对数值（如下表），则可以估计51000的最高位的数值为（）真数x56789lgx0.698970.778150.845100.903090.95424A．6 B．7 C．8 D．93．(12)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f(12)=0，则不等式f（log4（）A．x|x＞2 B．{xC．{x|0＜x5．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣4m﹣3）x2m+1是定义域上的增函数，则m＝（）A．-23或2 B．23 C．2 6．已知函数f(x)=(12)x-x的零点为a，b＝ea，cA．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a7．已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为N=me8t，其中m是正常数，若经过时间t0，该物质的能量由N0减少到NA．N04 B．N08 C．N8．某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn（g/m3）满足函数模型rn=2.25-0.04×30.25(n-1)（n∈N*），其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3A．14次 B．15次 C．16次 D．17次二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝ln|x﹣a|，则（）A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为R C．f（x）在（a，+∞）上单调递增 D．f（x）的图象关于直线x＝a对称（多选）10．已知函数f（x）＝xa的图象经过点（3，13A．f（x）的图象经过点（9，19）B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）在定义域上单调递减 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）（多选）11．已知实数a、b、c满足：2aA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a（多选）12．下列结论正确的是（）A．函数y＝log2（x+1）是对数函数 B．函数y=log32|C．若lgm＞lgn，则m3＞n3 D．函数y＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，3）三．填空题（共4小题）13．log327-lo14．已知log53＝a，b＝log57，若用a，b表示log521，则log521＝．15．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，满足f（a）＝f（b），且a≠b，则a+4b的最小值为．16．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a，b满足2a+3b＝m，求3a+2b的最小值四．解答题（共4小题）17．（1）已知a=3-23+2，b=3（2）先化简，再求值：(x+2x18．已知集合A＝{y|y＝|x﹣a|﹣|x+1|}，B={（1）当a＝1时，求∁R（A∩B）；（2）若A∪B＝A，求a的取值范围．19．已知幂函数f(x)=x4m-m2（m∈Z）的图像关于y（1）求m的值及函数f（x）的解析式；（2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），若函数f（x）在区间[1，4]上的最大值与最小值之和为2．（1）求函数f（x）解析式，并求出关于x的不等式f(（2）求函数g(x)=f(x4)•f（2x），

2026年高考数学复习新题速递之幂函数、指数函数、对数函数（2025年10月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CDBCCCCC二．多选题（共4小题）题号9101112答案BCDADABCBCD一．选择题（共8小题）1．若1＜a＜3，则|aA．2a﹣4 B．4﹣2a C．2 D．a﹣4【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据题意可得a﹣3＜0，1﹣a＜0，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可．【解答】解：因为1＜a＜3，所以a﹣3＜0，1﹣a＜0，|a-3|+1-2a+a2=3﹣a+|1﹣a|＝3故选：C．【点评】本题考查根式的计算，属于基础题．2．17世纪初，约翰•纳皮尔发明了对数，大大简化了运算．根据科学记数法，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z）的形式，若两边取常用对数，则有lgN＝n+lga．给出部分常用对数值（如下表），则可以估计51000的最高位的数值为（）真数x56789lgx0.698970.778150.845100.903090.95424A．6 B．7 C．8 D．9【考点】对数的运算性质．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】D【分析】通过对数的运算性质和查表得到lg51000的近似值，由数的小数部分通过查表得知最高位a的范围，从而得解．【解答】解：设51000＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），则lg51000＝n+lga，∵lg51000＝1000lg5≈698.97＝698+0.97，∴lga≈0.97，由题设条件中的表格可知，lg9＝0.95424，lg10＝1，而0.95424＜0.97＜1，故9＜a＜10，∴51000的最高位的数值为9．故选：D．【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．(12)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】指数函数图象特征与底数的关系；必要不充分条件的判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．【答案】B【分析】根据两者的推出关系可得条件关系，从而可得正确的选项．【解答】解：若(12)a＜(12)b，结合指数函数y=(12)故(12)若a＞b，则a＞b≥0，而y=(1故a＞b能推出故(12)故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象及性质，是基础题．4．已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f(12)=0，则不等式f（log4（）A．x|x＞2 B．{xC．{x|0＜x【考点】对数函数的单调性与最值；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【答案】C【分析】由题意得，f（-12）＝f（12）＝0，f（x）在[0，+∞）上是增函数，f（x）在（﹣∞f（log4x）＞0即log4x＞12或log4x【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（-12）＝f（12又f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．所以，f（log4x）＞0即log4x＞12或log4x解得x＞2或0＜x＜1故选：C．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，函数的特殊点，关键是把f（log4x）＞0化为log4x＞12，或log4x5．已知幂函数f（x）＝（3m2﹣4m﹣3）x2m+1是定义域上的增函数，则m＝（）A．-23或2 B．23 C．2 【考点】求幂函数的解析式．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】利用幂函数的定义，结合单调性列式求出m值．【解答】解：f（x）＝（3m2﹣4m﹣3）x2m+1，由幂函数f（x）是定义域上的增函数，得3m2-4m经检验m＝2，符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题．6．已知函数f(x)=(12)x-x的零点为a，b＝ea，cA．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】根据对数函数的性质即可求解．【解答】解：f(0)=(12)0-0=1根据零点存在定理，函数在（0，1）上有零点，所以0＜a＜1，对于b＝ea，指数函数y＝ex在R上单调递增，当0＜a＜1时，e0＜ea＜e1，即1＜b＜e，对于c＝lna，对数函数y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，当0＜a＜1时，lna＜ln1＝0，即c＜0，综上可得c＜a＜b．故选：C．【点评】本题考查了对数值大小的比较，属于基础题．7．已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为N=me8t，其中m是正常数，若经过时间t0，该物质的能量由N0减少到NA．N04 B．N08 C．N【考点】指数函数的实际应用．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】设t1的能量为N0，则N0=me8【解答】解：设t1的能量为N0，则N0则N0所以2=e则再经过时间3t0时，该物质的能量为N=故选：C．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数幂的运算性质，属于中档题．8．某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn（g/m3）满足函数模型rn=2.25-0.04×30.25(n-1)（n∈N*），其中n为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3A．14次 B．15次 C．16次 D．17次【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】C【分析】依题意列出不等式，利用指数函数性质及对数运算解不等式即可求得答案．【解答】解：rn=2.25-0.04×30.25(n-1)，由rn≤0.25，得30.25（n得n≥4(2-lg2)lg3+1≈15.17，又n故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．故选：C．【点评】本题主要考查对数的运算性质，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝ln|x﹣a|，则（）A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为R C．f（x）在（a，+∞）上单调递增 D．f（x）的图象关于直线x＝a对称【考点】求对数型复合函数的值域；求对数函数的定义域．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】BCD【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用f（﹣x+2a）＝f（x）即可求解D．【解答】解：由|x﹣a|＞0可得x≠a，值域为R，A错误，B正确；由于y＝|x﹣a|在（a，+∞）单调递增，在（﹣∞，a）单调递减，而y＝lnx为（0，+∞）上的单调递增函数，因此f（x）在（a，+∞）上单调递增，C正确；由于f（﹣x+2a）＝ln|﹣x+2a﹣a|＝ln|x﹣a|＝f（x），故f（x）的图象关于直线x＝a对称，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了函数定义域，值域的求解，函数单调性及对称性的判断，属于基础题．（多选）10．已知函数f（x）＝xa的图象经过点（3，13A．f（x）的图象经过点（9，19）B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）在定义域上单调递减 D．f（x）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞）【考点】幂函数的单调性与最值；幂函数的概念．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】AD【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论．【解答】解：函数f（x）＝xa的图象经过点（3，13将点(3，13)的坐标代入f（x）＝xa则f(x)=1x，f(x根据幂函数的图象与性质可得B，C错误，D正确，故选：AD．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．（多选）11．已知实数a、b、c满足：2aA．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【考点】对数的运算性质．【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．【答案】ABC【分析】画出函数草图，数形结合，可判断a、b、c的关系．【解答】解：设2a画函数y＝2x，y=(13)x，当y＝t在位置①时，b＜0＜a＜c，故A可能成立；当y＝t在位置②时，a＜0＜b＜c，故B可能成立；当y＝t在位置③时，a＜0＜c＜b，故C可能成立；D没有可能成立．故选：ABC．【点评】本题主要考查了指数及对数函数图象的应用，属于基础题．（多选）12．下列结论正确的是（）A．函数y＝log2（x+1）是对数函数 B．函数y=log32|C．若lgm＞lgn，则m3＞n3 D．函数y＝ax+1+2（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，3）【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数的图象．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】BCD【分析】由对数函数的定义判断A；直接根据对数函数的单调性判断B；先根据对数函数的单调性可得m＞n＞0，再结合幂函数的性质判断C；根据指数函数的定点求解判断D．【解答】解：由对数函数的定义知函数y＝log2（x+1）不是对数函数，故A错误；当x＞0时，∵32＞1，∴y=log3∵y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，∴当lgm＞lgn时，有m＞n＞0，又y＝x3在（0，+∞）上单调递增，∴m3＞n3，故C正确；∵指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，1），令x+1＝0，得x＝﹣1，此时y＝a0+2＝3，∴原函数的图象必过定点（﹣1，3），故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查对数函数的定义、对数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的性质、指数函数的定点求等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．填空题（共4小题）13．log327-lo【考点】对数运算求值．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】﹣3．【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值．【解答】解：log327-log32log23﹣66=lo=3故答案为：﹣3．【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知log53＝a，b＝log57，若用a，b表示log521，则log521＝a+b．【考点】对数运算求值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】a+b．【分析】直接利用对数的运算性质可得出结果．【解答】解：由题意可知，log521＝log5（3×7）＝log53+log57＝a+b．故答案为：a+b．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．15．已知函数f（x）＝|lg（x﹣1）|，满足f（a）＝f（b），且a≠b，则a+4b的最小值为9．【考点】对数运算求值；运用基本不等式求最值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】9．【分析】根据对数的性质可得1a+1【解答】解：设0＜b＜a，如图，作出f（x）＝|lg（x﹣1）|的图象，由题知，f（a）＝f（b），可得|lg（a﹣1）|＝lg（a﹣1）＝﹣lg（b﹣1）⇒（a﹣1）（b﹣1）＝1，故ab＝a+b，即1a故a+4当且仅当4ba=故答案为：9．【点评】本题考查了对数的性质，属于基础题．16．已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a，b满足2a+3b＝m，求3a+2b的最小值【考点】幂函数的概念；基本不等式及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】24．【分析】结合幂函数性质求出f（x），利用基本不等式能求出3a【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，∴m2-4m+4=1∴正数a，b满足2a+3b＝1，∴3a+2b=（3a+2b）（2a当且仅当9ba=4ab，即2∴3a+2故答案为：24．【点评】本题考查幂函数的性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四．解答题（共4小题）17．（1）已知a=3-23+2，b=3（2）先化简，再求值：(x+2x【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．【专题】整体思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）97；（2）xx-2【分析】（1）分母有理化化简a，b，再利用完全平方公式求解即可；（2）通分，对分母进行因式分解，即可化简，再将x=【解答】解：（1）由题意知，ab=b=所以a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3＝97；（2）原式=(x=x=x当x=12时，【点评】本题考查了有理数指数幂的运算问题，是基础题．18．已知集合A＝{y|y＝|x﹣a|﹣|x+1|}，B={（1）当a＝1时，求∁R（A∩B）；（2）若A∪B＝A，求a的取值范围．【考点】求对数函数的定义域；集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）∁R（A∩B）＝（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）（2）（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．【分析】（1）当a＝1时，得到集合A，解分式不等式，得到集合B，然后由交集补集运算求解即可；（2）若A∪B＝A，即B⊆A，分类讨论求解参数的取值范围即可．【解答】解：（1）由x+13-x＞0，可得（x+1）（3﹣x）＞0，解得﹣1＜所以B={x|y=lnx+13-x当a＝1时，A＝{y|y＝|x﹣1|﹣|x+1|}，即y=2，x＜-1-2x，-1≤x≤1，-2，所以∁R（A∩B）＝（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．（2）若A∪B＝A，即（﹣1，3）⊆A，①当a＜﹣1时，A＝{y|y＝|x﹣a|﹣|x+1|}，y故A＝{y|a+1≤y≤﹣a﹣1}，只需要﹣a﹣1≥3即可，解得a≤﹣4；②当a＝﹣1时，A＝{0}，不符合；③当a＞﹣1时，A＝{y|y＝|x﹣a|﹣|x+1|}，y=故A＝{y|﹣a﹣1≤y≤a+1}，只需要a+1≥3即可，解得a≥2；综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查运算求解能力，属于中档题．19．已知幂函数f(x)=x4m-m2（m∈Z）的图像关于y（1）求m的值及函数f（x）的解析式；（2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求实数a的取值范围．【考点】幂函数的奇偶性与函数图象的对称性．【专题】函数思想；转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象；运算求解．【答案】（1）m＝2，f（x）＝x4．（2）（﹣∞，-13）∪（3，【分析】（1）根据幂函数的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）知f（x）在区间（0，+∞）为增函数，且是偶函数，由此求出m的值和f（x）的解析式；（2）根据函数的性质把不等式f（a+2）＜f（1﹣2a）化为|a+2|＜|1﹣2a|，两边平方求出a的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f(x)=x4m-m2的图像关于y所以f（x）在区间（0，+∞）为增函数，所以4m﹣m2＞0，即m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4；又因为m∈Z，f（x）是偶函数，所以4m﹣m2为偶数，所以m＝2；函数f（x）的解析式为：f（x）＝x4．（2）不等式f（a+2）＜f（1﹣2a），函数f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）为增函数，所以|a+2|＜|1﹣2a|，化简得3a2﹣8a﹣3＞0，解得a＜-13或a所以实数a的取值范围是（﹣∞，-13）∪（3，【点评】本题考查了幂函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．20．已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），若函数f（x）在区间[1，4]上的最大值与最小值之和为2．（1）求函数f（x）解析式，并求出关于x的不等式f(（2）求函数g(x)=f(x4)•f（2x），【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；函数的最值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】（1）f（x）＝log2x，{x|x＜﹣3或x＞1}；（2）[-94，0]，取最小值时x=【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出a，再利用单调性解不等式．（2）由（1）的结论求出g（x）并换元，转化为二次函数求解．【解答】解：（1）函数f（x）＝logax定义域为（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上单调，由函数f（x）在区间[1，4]上的最大值与最小值之和为2，得loga1+loga4＝2，解得a＝2，∴f（x）＝log2x，∵f∴log2x-解x-1x+1＞0，得x＜﹣解x-1x+1＜2，得x+3x+1∴x＜﹣3或x＞1，∴不等式f(x-1x+1)＜1的解集{x（2）由（1）知，g=(lo令log2x＝s，由x∈[1，4]，得s∈[0，2]，h(当t=12时，h(s)min=-94，此时x=2；当s＝2时，所以函数g（x）的值域为[-94，0]，取最小值时x=【点评】本题考查了函数的最值，属于中档题．

考点卡片1．集合的包含关系的应用【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】设m为实数，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B⊆A，∴当m＞2m﹣1时，即m＜1时，B＝∅，符合题意；当m≥1时，可得-3≤m2综上所述，m≤32，即m故答案为：(-∞，2．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）∁U（A∩B）；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅲ）A∩（∁UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．3．必要不充分条件的判断【知识点的认识】必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件．【命题方向】必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等．已知x∈R，设p：x2﹣x＜0，则p的一个必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜0B.-C.-D.0＜x＜1解：因为x2﹣x＜0，所以0＜x＜1，所以p的一个必要不充分条件是-1故选：B．4．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当x＝技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．5．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1当且仅当a＝b=1故答案为：6．6．函数的最值【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+8x的最小值，有2x+8x②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）=a-2x2x解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）=a-2x2x+1=-【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．8．幂函数的概念【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．解析式：y＝xa=定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．而只有a为正数，0才进入函数的值域．由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．9．求幂函数的解析式【知识点的认识】幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对于幂函数，我们只研究a＝1，2，3，12，﹣1【解题方法点拨】﹣根据已知条件设定幂函数的形式，代入已知条件，求解指数a．﹣写出幂函数的解析式，验证解析式的正确性．【命题方向】题目包括辨识幂函数的形式，分析幂函数的特征及应用题．若幂函数y＝f（x）的图像过点(22，2)，则函数y＝f（解：幂函数y＝f（x）＝xα的图像过点(2∴（22）α＝2解得α＝﹣2，则函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2．故答案为：f（x）＝x﹣2．10．幂函数的单调性与最值【知识点的认识】一、幂函数定义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．二、幂函数与指数函数的对比式子名称axy指数函数：y＝ax底数指数幂值幂函数：y＝xa指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y=x12；（5）y＝y＝xy＝x2y＝x3y=y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）四、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．幂函数的奇偶性与函数图象的对称性【知识点的认识】幂函数的奇偶性与图象的对称性密切相关，反映了函数在坐标系中的对称特点．五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y=x12；（5）y＝y＝xy＝x2y＝x3y=y＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）﹣【解题方法点拨】﹣偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称．﹣分析幂函数的解析式，确定其奇偶性和图象的对称性．﹣利用对称性分析函数图象的形态和性质．【命题方向】题目通常涉及幂函数的奇偶性与图象对称性的关系，结合图象分析函数的奇偶性及其应用．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm的图象关于y轴对称，则m的值为_____．解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm的图象关于y轴对称，∴m为偶数，且m2﹣m﹣1＝1，求得m＝2，故答案为：2．12．有理数指数幂及根式化简运算求值【知识点的认识】根式与分数指数幂规定：amn=nam（a＞0，m，n∈Na-mn=1amn=1nam（a＞0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义有理数指数幂（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：amn=nam（a＞0，m，n∈N②负分数指数幂：a-mn=1amn=1nam（a＞③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解题方法点拨】﹣利用a-mn=1amn=1nam（a＞﹣利用指数运算法则，如am⋅an=am+n﹣利用根式运算法则，如a⋅b=﹣验证化简和运算结果的正确性．【命题方向】题目通常涉及有理数指数幂及根式的化简和求值，结合具体问题进行运算和应用．计算：(214解：(21故答案为：474813．指数函数的图象【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象定义域R值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数2、底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax与函数y=(1a)x的【解题方法点拨】利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．14．指数函数图象特征与底数的关系【知识点的认识】1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y＝axa＞10＜a＜1图象指数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的指数函数图象形态不同．【解题方法点拨】﹣当0＜a＜1时，指数函数单调递减，图象从左上到右下．﹣当a＞1时，指数函数单调递增，图象从左下到右上．﹣分析底数a的取值，确定图象特征．【命题方向】题目通常涉及指数函数图象特征与底数的关系，结合具体问题分析函数图象及其应用．如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（）A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c解：结合指数函数的性质可知，c＞d＞1＞a＞b＞0．故选：B．15．指数函数的实际应用【知识点的认识】指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．16．指数式与对数式的互化【知识点的认识】ab＝N⇔logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法）（2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法）（4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）=1（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法）17．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n18．对数运算求值【知识点的认识】对数的性质：①alogaN=N；②logaaN＝N（a＞loga（MN）＝logaM+logaN；logaMN=logaM﹣logalogaMn＝nlogaM；loganM=1n