2025年数学考研数列真题及答案

2025年数学考研数列真题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_3的值为A.5B.6C.7D.8答案：C2.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_1=1，b_{n+1}=b_n+3，则S_5的值为A.15B.25C.35D.45答案：C3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n^2-1，则c_3的值为A.7B.8C.9D.10答案：B4.数列{d_n}的前n项和为T_n，若d_1=1，d_{n+1}=2d_n，则T_4的值为A.7B.15C.31D.63答案：D5.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+2n，则e_5的值为A.15B.20C.25D.30答案：C6.数列{f_n}的前n项和为U_n，若f_1=1，f_{n+1}=f_n+n，则U_3的值为A.6B.9C.12D.15答案：B7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+3n，则g_4的值为A.10B.13C.16D.19答案：D8.数列{h_n}的前n项和为V_n，若h_1=1，h_{n+1}=h_n+2^n，则V_3的值为A.7B.9C.11D.13答案：A9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n^2，则i_3的值为A.10B.15C.21D.28答案：C10.数列{j_n}的前n项和为W_n，若j_1=1，j_{n+1}=j_n+n^3，则W_2的值为A.3B.4C.5D.6答案：B二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列数列中，收敛的是A.{a_n}，其中a_n=1/nB.{b_n}，其中b_n=(-1)^nC.{c_n}，其中c_n=2^nD.{d_n}，其中d_n=1/(n+1)答案：AD2.下列数列中，发散的是A.{e_n}，其中e_n=1/n^2B.{f_n}，其中f_n=(-1)^n/nC.{g_n}，其中g_n=n^2D.{h_n}，其中h_n=1/(n^3)答案：BC3.下列数列中，单调递增的是A.{i_n}，其中i_n=1/nB.{j_n}，其中j_n=nC.{k_n}，其中k_n=n^2D.{l_n}，其中l_n=1/n^2答案：BC4.下列数列中，单调递减的是A.{m_n}，其中m_n=nB.{n_n}，其中n_n=1/nC.{o_n}，其中o_n=1/n^2D.{p_n}，其中p_n=n^2答案：BC5.下列数列中，有界的是A.{q_n}，其中q_n=1/nB.{r_n}，其中r_n=(-1)^nC.{s_n}，其中s_n=n^2D.{t_n}，其中t_n=1/(n+1)答案：AD6.下列数列中，无界的是A.{u_n}，其中u_n=1/n^2B.{v_n}，其中v_n=nC.{w_n}，其中w_n=1/nD.{x_n}，其中x_n=n^2答案：BD7.下列数列中，极限为0的是A.{y_n}，其中y_n=1/nB.{z_n}，其中z_n=1/n^2C.{a_n}，其中a_n=nD.{b_n}，其中b_n=1/(n+1)答案：ABD8.下列数列中，极限为无穷的是A.{c_n}，其中c_n=n^2B.{d_n}，其中d_n=nC.{e_n}，其中e_n=1/nD.{f_n}，其中f_n=1/(n^2)答案：AB9.下列数列中，极限为1的是A.{g_n}，其中g_n=1/nB.{h_n}，其中h_n=n/n+1C.{i_n}，其中i_n=2^nD.{j_n}，其中j_n=1/(n+1)答案：B10.下列数列中，极限为无穷大的是A.{k_n}，其中k_n=n^2B.{l_n}，其中l_n=nC.{m_n}，其中m_n=1/nD.{n_n}，其中n_n=1/(n^2)答案：AB三、判断题（每题2分，共10题）1.若数列{a_n}收敛，则其子数列也收敛。答案：正确2.若数列{b_n}发散，则其子数列也发散。答案：错误3.若数列{c_n}单调递增，则其极限存在。答案：错误4.若数列{d_n}单调递减且有界，则其极限存在。答案：正确5.若数列{e_n}收敛于0，则其每一项都小于1。答案：错误6.若数列{f_n}收敛，则其前n项和也收敛。答案：正确7.若数列{g_n}发散，则其前n项和也发散。答案：错误8.若数列{h_n}单调递增，则其极限为正无穷。答案：错误9.若数列{i_n}有界，则其极限存在。答案：错误10.若数列{j_n}收敛，则其倒数数列也收敛。答案：错误四、简答题（每题5分，共4题）1.简述数列收敛的定义。答案：数列{a_n}收敛于a，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|a_n-a|<ε成立。2.简述数列单调递增的定义。答案：数列{a_n}单调递增，如果对于任意正整数n，都有a_n<a_{n+1}成立。3.简述数列有界的定义。答案：数列{a_n}有界，如果存在正数M，使得对于任意正整数n，都有|a_n|≤M成立。4.简述数列极限的性质。答案：数列极限的性质包括：唯一性、保号性、子数列收敛性等。具体来说，如果数列{a_n}收敛，则其极限唯一；如果数列{a_n}收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正整数N，使得当n>N时，a_n>0（或a_n<0）；如果数列{a_n}收敛于a，且其子数列也收敛，则子数列的极限也为a。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论数列{a_n}的收敛性与单调性的关系。答案：数列{a_n}的收敛性与单调性有一定的关系。如果数列{a_n}单调递增且有上界，则其极限存在；如果数列{a_n}单调递减且有下界，则其极限也存在。但是，如果数列{a_n}单调递增但没有上界，或者单调递减但没有下界，则其极限不存在。此外，如果数列{a_n}不单调，但收敛，则其极限可能存在，也可能不存在。2.讨论数列{b_n}的收敛性与有界性的关系。答案：数列{b_n}的收敛性与有界性有一定的关系。如果数列{b_n}收敛，则其必有界；但是，如果数列{b_n}有界，则其不一定收敛。例如，数列{(-1)^n}有界，但不收敛。3.讨论数列{c_n}的收敛性与极限的性质。答案：数列{c_n}的收敛性与极限的性质密切相关。如果数列{c_n}收敛，则其极限唯一；如果数列{c_n}收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正整数N，使得当n>N时，c_n>0（或c_n<0）；如果数列{c_n}收敛，且其子数列也收