专题28.6 锐角三角函数全章专项复习【2大考点10种题型】（举一反三）（人教版）（原卷版）

专题28.6锐角三角函数全章专项复习【2大考点10种题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1锐角三角函数】 1【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】 2【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】 3【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】 4【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】 4【考点2解直角三角形】 5【题型5解直角三角形】 7【题型6构造直角三角形解斜三角形】 8【题型7与仰角、俯角有关的问题】 9【题型8与方位角有关的问题】 11【题型9与坡角、坡度有关的问题】 13【题型10方案设计问题】 15【考点1锐角三角函数】1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_.3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.正弦：余弦：；正切：。常见三角函数值：锐角α三角函数30°45°60°1【题型1利用设参法求锐角的三角函数值】【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=7，BC=9，现把矩形纸片折叠，使得点C落在AB边上的点C'处（不与A，B重合），点D落在D'处，此时，C'D'交AD边于点E，设折痕为PQ．若△PBA．35 B．37 C．45【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，cos∠ABC=255，则【题型2构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，MN为折痕，则sin∠A．255 B．55 C．3【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝72，CD＝142，则cos∠CBD＝【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A'重合，连接EA'并延长分别交BD，BC于点G（1）若∠AEB=55°，则∠（2）若ABBC=34，则【题型3锐角三角函数与一元二次方程的综合】【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0变形为x+a2=b的形式，那么以aA．45 B．35 C．43【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若cosα，1cosα是关于x的方程3x2A．33 B．3 C．13 D．3【变式3-2】（2024·云南临沧·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（）A．34 B．35 C．45 D．【变式3-3】（2024·四川成都·二模）关于x的方程2x2-5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于【题型4锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】【例4】（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为10,4，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABCA．y=3x B．y=-34x【变式4-1】（2024·山东德州·二模）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为(1,3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第【变式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知P0,-2，则Q点坐标为（

A．-23,3 B．-23,4【变式4-3】（2024·湖北武汉·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、D在第一象限内且点Aa-1,3a，点C-1,0点B2,0，∠【考点2解直角三角形】1.解直角三角形解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c（1）三边之间的关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：2.解直角三角形的类型已知条件解法两直角边(如a，b)由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝eq\r(a2＋b2)斜边、一直角边(如c，a)由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝eq\r(c2－a2)一锐角与邻边(如∠A，b)∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝eq\f(b,cosA)一锐角与对边(如∠A，a)∠B＝90°－∠A；b＝eq\f(a,tanA)；c＝eq\f(a,sinA)斜边与一锐角(如c，∠A)∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA3.锐角三角函数的实际应用1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．

4.锐角三角函数实际应用中的相关概念(1)仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．(2)坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα＝eq\f(h,l)，坡面与水平面的夹角α叫坡角．(3)方向角指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。(4)方位角从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.

5.三角函数常见模型图1图2如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，∴，；变式为图2，则结论为【题型5解直角三角形】【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD=12，tan∠A．30° B．45° C．60° D．90°【变式5-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinAA．4.8 B．9 C．7.5 D．10【变式5-2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC，EF的中点，点D在边AC上，则AD【变式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点【题型6构造直角三角形解斜三角形】【例6】（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm【变式6-1】（2024·江苏常州·一模）在锐角△ABC中，sinA=31010，cosB=【变式6-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，点E是∠BAC的平分线AD上的一动点，连接CE，将点E绕点C顺时针旋转60°得到点F，连接CF，BF．若△BCF

【变式6-3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=3，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，M，N分别是AD和

【题型7与仰角、俯角有关的问题】【例7】（2024九年级·山东青岛·专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若小智的目高OC为1.6m，求篮球筐距地面的高度AD．(结果精确到0.1m，参考数据：tan42°≈0.9,tan35°≈0.7,【变式7-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．【变式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度AB（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得BC与人行道的夹角为45°，测得龙头头顶A的仰角为28°；沿着人行道直行43m到达点D处，此时测得BD与人行道的夹角恰好也是45°．已知B，C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即AB⊥BC，AB⊥BD，测角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m；参考数据：sin28°≈0.47【变式7-3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．【问题探究】如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为3，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为79．斜坡CD的坡比为1:2.4，两观测点CD学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．任务1：计算C，D两点的垂直高度差．任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．【问题解决】为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为2小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为1任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．【题型8与方位角有关的问题】【例8】（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，【变式8-1】（2024·山东东营·一模）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度（结果用v表示）．【变式8-2】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图所示为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意图，B在A的正东方方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方向上，C、E均在B的正北方向．(1)填空：∠CAD=度，∠(2)求景点B、E之间的距离；(3)求景点A、C之间的距离．【变式8-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数，参考数值：sin73°≈1920，cos73°≈29100，tan73°≈

【题型9与坡角、坡度有关的问题】【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：(1)求水柱所在抛物线的解析式；(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．【变式9-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台ED上架设测角仪EF，从F处测得塔的最高点A的仰角为42°，测出DE=BC=23m，台阶可抽象为线段CD，CD=203m，台阶的坡角为30°(1)求测角仪EF与塔身AB的水平距离；(2)求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90【变式9-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O，B，C，(1)求P到OC的距离；(2)求山坡的坡度tanα．（参考数据∶sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50，sin【变式9-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，BE

【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1=2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE

【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测出坡比为

【题型10方案设计问题】【例10】（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：测量对象应县木塔测量目的学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题测量工具无人机测量方案1.先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P，测得塔的顶端A的俯角为16°2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行60m至点C，然后沿垂直方向上升20m至点Q，测得塔的顶端A的俯角测量示意图请根据以上测量数据，求应县木塔AB的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96【变式10-1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，AC在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东55°方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正