第23课时正方形

第23课时正方形1.下列说法错误的是(

)A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.四个角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直的菱形是正方形

DB3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,BC上,且DE=CF,连接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于点G.若∠AED=70°,则∠AGD的度数为(

)A.50° B.55° C.60° D.65°B4.如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边△AEF的顶点E,F分别在BC,CD上,则△EFC的面积为

.15.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F.若AD=4,则EF=

.26.(2025·长沙)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD且AB=CD.又∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF.∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.(2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.

7.如图,点E是正方形ABCD的边BC上的一点,∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F,交CD于点G.(1)若AB=4,BF=8,求CE的长;(1)解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=AB=4,∠B=90°,AD∥BC,∴∠DAG=∠F.∵AF平分∠DAE,∴∠DAG=∠EAF,∴∠EAF=∠F,∴AE=EF.设CE=x,则BE=4-x,AE=EF=4+x,在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,即(4+x)2=42+(4-x)2,解得x=1,∴CE=1.(2)求证:AE=BE+DG.(2)证明:如图,延长CB到点M,使BM=DG,连接AM.∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠ABM=90°,AD=AB,∴△ABM≌△ADG(SAS),∴∠MAB=∠GAD,∠AGD=∠AMB.设∠GAD=∠MAB=α,则∠AGD=∠AMB=90°-α.∵AF平分∠DAE,∴∠EAF=α,∴∠BAE=90°-2α,∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=90°-α,∴∠M=∠MAE,∴AE=ME=MB+BE=DG+BE.8.(2025·东营)如图,在△ABC中,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与点B,C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q.下列结论:①AC=FG;②S△FAB∶S四边形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC.其中正确结论的序号是(

)A.①②④ B.①②③C.①②③④ D.②③④C9.如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,CE=2EF,则△ABF的面积为

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10.(2025·扬州)问题:如图1,点P为正方形ABCD内一个动点,过点P作EF∥AD,GH∥AB,矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍,探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况.【从特例开始】(1)小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形(如图2),请你仅用无刻度的直尺连接一条线段,由此可得此图形中∠FAH=

°;解:(1)图略.45(2)小亮也画出了一个符合条件的特殊图形(如图3),其中PE=PF=6,PG=4,PH=8,求此图形中∠FAH的度数;

【一般化探索】(3)利用图1,探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况,并说明理由.(3)随着点P的运动,∠FAH的度数不变,且为45°,理由如下:如答案图2,延长CB至点T,使得BT=DF,连接AT,FH,同(2)可得△ABT≌△ADF(SAS),∴AT=AF,∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠4=∠TAH.易知四边形AEPG,PEBH,PGDF,PHCF为矩形.设正方形的边长为x,AG=a,PG=b,∴AG=PE=BH=a,PG=DF=BT=b,∴CH=BC-BH=x-a,CF=CD-DF=x-b,HT=BH+BT=a+b.∵S矩形PHCF=2S矩形PGAE,∴(x-a)(x-b)=2ab,整理,得x2=ab+ax+bx.在Rt△CHF中,HF2=CH2+CF2,即HF2=(x-a)2+(x-b)2=2x2-2ax+a2-2bx+b2=2ab+2ax+2bx-2ax+a2-2