第09讲 图形的轴对称（原卷版）

第09讲图形的轴对称1．掌握轴对称与轴对称图形的概念，区别与联系；2．掌握生活中的轴对称问题；知识点一：轴对称与轴对称图形1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。轴对称和轴对称图形的性质轴对称的性质：垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同）新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.考点一：轴对称图形的识别例1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）下列图形中，是轴对称图形的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．共 B．力 C．齐 D．心2．（2022秋·广东广州·八年级广州市第四十一中学校考期末）轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称________、________、________．3．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图是由个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使整个图形成为轴对称图形．考点二：根据成轴对称图形的特征进行求解例2．（2023·河北唐山·统考二模）如图，点O为内部一点，且，E、F分别为点O关于射线BA，射线BC的对称点．当时，则EF的长为（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【变式训练】1．（2022春·七年级单元测试）如图，两个三角形通过适当摆放可摆成关于某条直线成轴对称图形，则等于(

)

A． B． C． D．2．（2023春·七年级单元测试）如图，与关于直线对称，则的度数为________．

3．（2023春·七年级单元测试）如图，P在内，点M，N分别是点P关于的对称点，分别交于E，F．(1)若的周长是，求的长；(2)若，试求的度数．考点三：台球桌面上的轴对称问题例3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（

）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________．3．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）操作题：台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方向．如图，目标球从A点出发经B点到C点，相当于从点出发直接击打目标球C，其实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球关于桌边的对称点的位置．(1)如下图，小球起始时位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于点处，仍按原来方向击球，那么在点A，B，C，D，E，F，G，H中，小球会击中的点是___________；(2)在下图中，请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边AB，BC反射后，撞到球Q．（不写作法，保留作图痕迹．）考点四：轴对称中的光线反射问题例4．（2023·河北廊坊·校考一模）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点射入，经镜面反射后经过的点是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（

）A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动2．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________．3．（2020秋·八年级课时练习）小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？考点五：折叠问题例5．（2023春·黑龙江黑河·七年级校考阶段练习）如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l与交于点P，且点P到的距离为，点Q为上任意一点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）将一张纸按如图所示折叠后压平，点在线段上，、为两条折痕．若，，的度数为___________．

3．（2023春·北京西城·七年级校考阶段练习）如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．

(1)求证：；(2)若，求的度数．1．（2023·广东·统考中考真题）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（

）A． B．

C．

D．

2．（2023·山西·统考中考真题）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·天津·统考中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（

）A．全 B．面 C．发 D．展4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

5．（2021·河北·统考中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（

）A．0 B．5C．6 D．76．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于_________．7．（2023·吉林长春·统考一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，画出的对称轴；(2)在图②中，点是线段上的一点，画出点关于直线的对称点；(3)在图③中，点是线段上一点，在线段上确定一点，使得．8．（2023·四川广安·统考二模）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．(1)请你写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：______；特征2：______．(2)请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征．（注意：新图案与以上四幅图中的图案不能相同）9．（2022·河南郑州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，D为BC边上一点，将△ABD沿AD折叠，点B落在AC边上的点E处．(1)若∠C=30°，求证：△ADE≌△CDE；(2)对于任意一个直角三角形，能否按照此种折叠方式将其分成三个全等的小三角形？请说明理由．10．（2022·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，于点E．(1)请用尺规作图法，作BFAD于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求证：BF=CE．1．（2023·浙江·一模）小明以四种不同的方式连接正六边形的两条不同的对角线，那么连接后的四个图形，不是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2022秋·山西吕梁·八年级统考期末）下列图片中不是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）下列是正方体的四种平面展开图，其中展开图是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．5．（2023·河北邯郸·校考三模）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则图中的的度数是（

）

A． B． C． D．6．（2023·河北保定·统考模拟预测）如图，小雨要用一个长方形纸片折叠一个小兔子，第一步沿折叠，使点落到边上的点处，若，则（）

A． B． C． D．7．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，E为AD上一点，将沿翻折得到点F在上，且，，则的度数为（

）A．56° B．34° C．48° D．62°8．（2022春·九年级单元测试）如图，在中，，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为（）

A． B．5 C．3 D．9．（2022春·七年级单元测试）粗圆体的汉字“口，品，土”等多是轴对称图形．请再写出至少三个以上这样的汉字________．10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，两个三角形通过适当摆放，可关于某条直线成轴对称，则________．11．（2023·湖南邵阳·统考二模）将长方形纸片按如图方式折叠，为折痕，则的度数为______．

12．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）如图，在中，，在上，将沿折叠，点落在边上的点处，若，则的度数为______．13．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，数据拓展课上，小聪将直角三角形纸片（，）沿向下折叠，点A落在点处，使，则______度．

14．（2023春·广东深圳·七年级校考期中）折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则______．

15．（2023春·广东佛山·七年级佛山市第十四中学校考期中）如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．

16．（2022秋·陕西西安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在正方形网格的格点上．(1)在图中画出关于轴对称的；(2)在图中画出关于轴对称的．17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，四边形与四边形关于对称．(1)与、、、的对称点分别是_____，线段、的对应线段分别是_____，_____，_____，_____；(2)连接、，与平行吗？为什么？(3)对称轴与线段的关系？18．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图所示，牧马人从A地出发，到一条直的河流l边的C处饮马，然后到达B地．牧马人到河边的