2025-2026学年甘肃省多校高二上学期第一次月考考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省多校2025-2026学年高二上学期第一次月考考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则2025是这个数列的（）A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第4项【答案】C【解析】令，所以，解得.故选：C.2.在正项等比数列中，，则（）A. B.3 C.4 D.【答案】A【解析】在正项等比数列中，有，解得.故选：A.3.记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（）A.21 B.22 C.23 D.24【答案】B【解析】由题意知为等差数列，由，知数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当的取值为22时，取最小值.故选：B.4.在等比数列中，如果，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，则，得到，又，故选：D.5.已知数列满足，且，则数列的前50项和为（）A.24 B.26 C. D.【答案】C【解析】数列满足，，可得，，，⋯，所以，所以数列的前50项和为：．故选：C．6.已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，所以，整理得，解得或（舍去）.故选：C.7.已知单调递增数列满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，即，整理得，当时，单调递增，符合；当时，则是首项为，公比为的等比数列，所以，则，当时，则，，不符，当时，则，不符，当时，则，，不符，故选：A.8.设的整数部分为，则数列的前21项的和为（）A.250 B.253 C.255 D.258【答案】B【解析】因为，所以当时，，所以，当时，，所以为小于1的分数，此时，所以则数列的前21项和为.故选:B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列的通项公式可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确；对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误；对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误.故选:AC.10.设等差数列的前n项和为，若，则（）A.B.C最大时，D.的整数的最大值为【答案】ABD【解析】因为，所以，从而，因为，所以，A正确；，B正确；因为，所以，所以为的最大值，C错误；，令，解得，所以整数的最大值为，D正确.故选：ABD.11.在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则最大项为D.若，则的最小项为【答案】AC【解析】A.由题意得，，∵，∴，解得，故A正确.B.由题意得，，∵，，∴，即，故B错误.C.∵，，∴，故数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∵，∴，∴，，∵，，∴的最大项为，故C正确.D.∵，∴，∵，∴，∴，，∵数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴，∵，，∴当时，，此时，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前项和为.若，则_____________.【答案】12【解析】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得.故答案为：12.13.设公比为的等比数列的前项和为，若，则______.【答案】；0.5【解析】因为是公比为的等比数列，故，所以，故故答案为：.14.已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则______【答案】2或【解析】为等差数列，，又，知，所以，，即，解得或，结合，则，且为递增数列，故；又由得：，即，，即，解得或（舍去），当时，，解得；当时，，解得；综上，或.故答案为：2或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】解：（1）设公差为d，由得，解得故；（2）因为，由（1）可得：，故．16.（1）已知数列的前项和，求的通项公式；（2）在数列中，，求的通项公式.解：（1）由，当时，；当时，，所以的通项公式为.（2）由，得，当时，，显然满足上式，所以的通项公式为.17.在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求的通项公式；（2）若求数列的前项和.解：（1）∵是和的等差中项，∴，∵，∴，解得，故.设等比数列的公比为，则，解得或（舍），∴，∴.（2）由（1）得，∴.18.某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出万美元，以后每年比上一年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设表示前年的纯利润（=前年的总收入—前年的总支出—投资额）.（1）从第几年开始获得纯利润？（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以万美元出售该厂.问哪种方案较合算？解：（1）由条件可知：，即，令，所以，解得，所以从第年开始获得纯利润.（2）方案①：，当且仅当时，即取“”，此时出售总收入为（万美元）；方案②：因为，所以当时，，此时出售总收入为（万美元）；因为出售时的总收入相同，但是方案①需要年，方案②需要年，所以方案①比较合算.19.已知数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为，所以，又，所以；当时，，所以，所以，又，所以，又，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以；（3）因为，所以，所以，，两式相减得，所以，由，得，所以，令，所以，所以数列是递增数列，又，，所以不存在正整数，使得，即不存在正整数，使得成立．甘肃省多校2025-2026学年高二上学期第一次月考考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的通项公式为，则2025是这个数列的（）A.第1项 B.第2项 C.第3项 D.第4项【答案】C【解析】令，所以，解得.故选：C.2.在正项等比数列中，，则（）A. B.3 C.4 D.【答案】A【解析】在正项等比数列中，有，解得.故选：A.3.记为等差数列的前项和，已知，则取最小值时，的取值为（）A.21 B.22 C.23 D.24【答案】B【解析】由题意知为等差数列，由，知数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当的取值为22时，取最小值.故选：B.4.在等比数列中，如果，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，则，得到，又，故选：D.5.已知数列满足，且，则数列的前50项和为（）A.24 B.26 C. D.【答案】C【解析】数列满足，，可得，，，⋯，所以，所以数列的前50项和为：．故选：C．6.已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，所以，整理得，解得或（舍去）.故选：C.7.已知单调递增数列满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，即，整理得，当时，单调递增，符合；当时，则是首项为，公比为的等比数列，所以，则，当时，则，，不符，当时，则，不符，当时，则，，不符，故选：A.8.设的整数部分为，则数列的前21项的和为（）A.250 B.253 C.255 D.258【答案】B【解析】因为，所以当时，，所以，当时，，所以为小于1的分数，此时，所以则数列的前21项和为.故选:B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列的通项公式可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确；对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误；对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误.故选:AC.10.设等差数列的前n项和为，若，则（）A.B.C最大时，D.的整数的最大值为【答案】ABD【解析】因为，所以，从而，因为，所以，A正确；，B正确；因为，所以，所以为的最大值，C错误；，令，解得，所以整数的最大值为，D正确.故选：ABD.11.在公比为q的等比数列中，.记数列的前n项积为，则下列说法正确的是（）A.B.C.若，则最大项为D.若，则的最小项为【答案】AC【解析】A.由题意得，，∵，∴，解得，故A正确.B.由题意得，，∵，，∴，即，故B错误.C.∵，，∴，故数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∵，∴，∴，，∵，，∴的最大项为，故C正确.D.∵，∴，∵，∴，∴，，∵数列中的奇数项为负数，偶数项为正数，∴，∵，，∴当时，，此时，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列的前项和为.若，则_____________.【答案】12【解析】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得.故答案为：12.13.设公比为的等比数列的前项和为，若，则______.【答案】；0.5【解析】因为是公比为的等比数列，故，所以，故故答案为：.14.已知和都是等差数列，的公差为，记分别为数列的前项和，且，则______【答案】2或【解析】为等差数列，，又，知，所以，，即，解得或，结合，则，且为递增数列，故；又由得：，即，，即，解得或（舍去），当时，，解得；当时，，解得；综上，或.故答案为：2或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】解：（1）设公差为d，由得，解得故；（2）因为，由（1）可得：，故．16.（1）已知数列的前项和，求的通项公式；（2）在数列中，，求的通项公式.解：（1）由，当时，；当时，，所以的通项公式为.（2）由，得，当时，，显然满足上式，所以的通项公式为.17.在递增的等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求的通项公式；（2）若求数列的前项和.解：（1）∵是和的等差中项，∴，∵，∴，解得，故.设等比数列的公比为，则，解得或（舍），∴，∴.（2）由（1）得，∴.18.某台商到大陆一创业园投资万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费支出万美元，以后每年比上一年增加万美元，每年销售蔬菜收入万美元，设表示前年的纯利润（=前年的总收入—前年的总支出—投资额）.（1）从第几年开始获得纯利润？（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大时，以万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以万美元出售该厂.问哪种方案较合算？解：（1）由条件可知：，即，令，所以，解得，所以从第年开始获得纯利润.（2）方案①：，当且仅当时，即取“”，此时出售总收入为（万美元）；方案②：因为，所以当时，，此时出售总收入为（万美元）；因为出售时的总收入相同，