2025-2026学年河南省信阳市商城县高二上学期10月两校联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省信阳市商城县2025-2026学年高二上学期10月两校联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又因为所以，故选：B.2.已知向量，，且与互相垂直，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，，又与互相垂直，则，解得.故选：C.3.已知直线和互相平行，则实数的值为（）A. B.2 C. D.2或4【答案】C【解析】因为直线的斜率存在，当时，直线的斜率也一定存在，所以，解得，经验证满足题设.故选：C.4.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，在中，，在中，，则，由正弦定理，得，所以，在中，.故选：D.5.一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（）.A.1 B.2 C.3 D.【答案】D【解析】由题意可得，，故圆锥的高，，设圆柱的高为，底面半径，则，故，所以，圆柱侧面积，当且仅当即时取得最大值．故选：．6.已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程是，圆心，由题得，解得．故选：D.7.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】三棱锥中，过作平面，由，知，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，由平面，得，则，令，则，设，于是，当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.故选：B.8.已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；②中，由于，而平面，平面，故平面；③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；故选：B．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）9.设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（）A.若，则，相互独立B.若和相互独立，则和一定不互斥C.若和互斥，则和一定相互独立D.【答案】AB【解析】，为两个随机事件，且，，对于A：由两个事件相互独立的定义知：若，则，相互独立，故选项A正确；对于B：若和相互独立，则的发生对的发生的概率没有影响，所以和一定不互斥，故选项B正确；对于C：若和互斥，则，若，相互独立则，若和互斥，则和不相互独立，故选项C不正确；对于D：设，则，，则，，可得，而，故选项D不正确.故选：AB.10.如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（）A.当E与重合时，异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为定值C.在平面内的射影长为D.当E向运动时，二面角的平面角保持不变【答案】BCD【解析】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误；B：，易知点A到平面距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确；D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确.故选：BCD11.已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（）A.圆心C的坐标为B.点Q在圆C外C.若点在圆C上，则直线PQ的斜率为D.若M是圆C上任一点，则的取值范围为【答案】BD【解析】圆C：的标准方程为.所以圆心坐标为，故A错误；因为，所以点Q在圆C外，故B正确；若点在圆C上，则，解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误；，，因为M是圆C上任一点，所以的取值范围为，即，故D正确；故选：BD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12.数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为_______.【答案】【解析】小明随机地填涂了至少一个选项，共有=15种涂法，得分的涂法由3种，所以他能得分的概率为.故答案为：.13.若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为_____.【答案】8【解析】由题意的一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为.故答案为：8.14.在中，，，分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________.【答案】9【解析】如图所示：取的中点为，则，所以，所以，所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）.故答案为：9.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下：分组（重量）频数（个）1050x15已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为.（1）求出的值；（2）用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女解：（1）依题意可得，，解得.（2）若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，则体重在的个数为，记为，在的个数为，记为，从抽出的5个女生中，任取2个共有：共10种情况.其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有：种.设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”，则.从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为.16.已知，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.解：（1）因为向量，，所以，因为，所以，因为，所以，又函数图象的两条相邻对称轴间的距离为.所以，则，所以.（2）因为，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以，则，解得，所以实数的最大值.17.已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）证明：；（2）若，求的取值范围．（1）证明：因为，由正弦定理得，所以，所以，而，则或，即或（舍去），故．（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，所以的取值范围是，由正弦定理可得：，则，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因，所以，所以的取值范围是．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）若．判断直线AG否在平面AEF内，说明理由；（3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围.（1）证明：因为⊥平面，平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面.（2）解：在底面中，过作，交于，由题意可知，又平面，则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，、、、.，，，若平面，则且，使得，则有，解得，故.所以直线平面.（3）解：由（2）可知，.设，则，设平面的法向量为，则，即，令，有，故.故，令，则，而，，故.19.如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．（1）当为何值时，平面平面?（2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．解：（1）连接，由题意得，，则为等边三角形，，在中，，由余弦定理得，所以，由，则，故若平面平面，由平面平面，平面，，则平面，平面，则，所以.下面证明当时，平面平面.证明：由，则，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故当时，平面平面.（2）由（1）知，，则平面平面.在平面内过作，由平面平面，平面，则平面，平面，则.如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，由，，因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，化简得，解得或（舍去），故当时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为.（3）设点到平面的距离为，由，其中为定值，则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大，取中点，连接，则，当平面时，点到平面的距离最大，此时，由平面，则平面平面，由（1）知，，为直角三角形，.则，，，在中，，取中点，则，且，所以，设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知，其中，，故，故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为.河南省信阳市商城县2025-2026学年高二上学期10月两校联考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.已知点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又因为所以，故选：B.2.已知向量，，且与互相垂直，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，，又与互相垂直，则，解得.故选：C.3.已知直线和互相平行，则实数的值为（）A. B.2 C. D.2或4【答案】C【解析】因为直线的斜率存在，当时，直线的斜率也一定存在，所以，解得，经验证满足题设.故选：C.4.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，在中，，在中，，则，由正弦定理，得，所以，在中，.故选：D.5.一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱（下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上），则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为（）.A.1 B.2 C.3 D.【答案】D【解析】由题意可得，，故圆锥的高，，设圆柱的高为，底面半径，则，故，所以，圆柱侧面积，当且仅当即时取得最大值．故选：．6.已知直线的方程为，若直线与圆相交，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的标准方程是，圆心，由题得，解得．故选：D.7.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】三棱锥中，过作平面，由，知，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，由平面，得，则，令，则，设，于是，当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.故选：B.8.已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；②中，由于，而平面，平面，故平面；③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；故选：B．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）9.设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（）A.若，则，相互独立B.若和相互独立，则和一定不互斥C.若和互斥，则和一定相互独立D.【答案】AB【解析】，为两个随机事件，且，，对于A：由两个事件相互独立的定义知：若，则，相互独立，故选项A正确；对于B：若和相互独立，则的发生对的发生的概率没有影响，所以和一定不互斥，故选项B正确；对于C：若和互斥，则，若，相互独立则，若和互斥，则和不相互独立，故选项C不正确；对于D：设，则，，则，，可得，而，故选项D不正确.故选：AB.10.如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且.则下列结论正确的是（）A.当E与重合时，异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为定值C.在平面内的射影长为D.当E向运动时，二面角的平面角保持不变【答案】BCD【解析】A：当E与重合时，因为，此时F为的中点，记BD中点为O，连接，由正方体性质可知，，所以四边形为平行四边形，所以，又，，，所以，错误；B：，易知点A到平面距离和点B到直线的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，正确；C：易知，在平面内的射影在上，所以射影长为，正确；D：二面角，即为二面角，显然其平面角不变，正确.故选：BCD11.已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（）A.圆心C的坐标为B.点Q在圆C外C.若点在圆C上，则直线PQ的斜率为D.若M是圆C上任一点，则的取值范围为【答案】BD【解析】圆C：的标准方程为.所以圆心坐标为，故A错误；因为，所以点Q在圆C外，故B正确；若点在圆C上，则，解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误；，，因为M是圆C上任一点，所以的取值范围为，即，故D正确；故选：BD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12.数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为_______.【答案】【解析】小明随机地填涂了至少一个选项，共有=15种涂法，得分的涂法由3种，所以他能得分的概率为.故答案为：.13.若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为_____.【答案】8【解析】由题意的一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为.故答案为：8.14.在中，，，分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________.【答案】9【解析】如图所示：取的中点为，则，所以，所以，所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）.故答案为：9.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下：分组（重量）频数（个）1050x15已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为.（1）求出的值；（2）用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女解：（1）依题意可得，，解得.（2）若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，则体重在的个数为，记为，在的个数为，记为，从抽出的5个女生中，任取2个共有：共10种情况.其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有：种.设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”，则.从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为.16.已知，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值.解：（1）因为向量，，所以，因为，所以，因为，所以，又函数图象的两条相邻对称轴间的距离为.所以，则，所以.（2）因为，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以，则，解得，所以实数的最大值.17.已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（1）证明：；（2）若，求的取值范围．（1）证明：因为，由正弦定理得，所以，所以，而，则或，即或（舍去），故．（2）解：因为是锐角三角形，所以，解得，所以的取值范围是，由正弦定理可得：，则，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因，所以，所以的取值范围是．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．（1）求证：CD⊥平面PAD；（2）若．判断直线AG否在平面AEF内，说明理由；（3）设CG与平面AEF所成