2025-2026学年黑龙江省龙东联盟高一上学期10月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，当时，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由，所以，故D正确.故选：D.4.设，，且，则的最小值为（）A. B.5 C. D.4【答案】C【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即时取等号.故选:C.5.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.7【答案】B【解析】根据题意，图中阴影部分区域表示为，因为，所以，则，所以其真子集的个数为.故选：B.6.对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得，因此或或，又因为表示不大于的最大整数，所以，要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其真子集，只有选项A满足要求.故选：A.7.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则，则集合的个数为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】因为，，由题意可知，若，则，若，则，若，则，若，则，3，7没有限制，综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、、、、、、、、、、、，共16个.故选:D.8.若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以当时，恒成立；当时，，则需；当时，，则需.设，则解得或，所以，当时，取得最小值，且最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题，，命题，，则（）A.是真命题 B.是假命题C.和都是真命题 D.和都是假命题【答案】AD【解析】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题；命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题，故A，D正确，B，C错误.故选:AD.10.当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（）A. B.0 C. D.1【答案】BD【解析】当时，，当时，，对于A：若，，此时，不满足；对于B：若，，此时，满足；对于C：若，，此时，不满足；对于D：若，，此时，满足.故选：BD.11.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.设关于的方程的解为，，则【答案】ABD【解析】因为不等式的解集为，所以和为方程的两根，且，所以，即，，所以，A正确；又（等号不成立），所以，所以，，B正确；，C错误；方程可化为，整理得，解得，，所以，又，且，所以，即，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】当时，显然恒成立；当时，由二次函数性质知，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为：.13.已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____.【答案】或【解析】若集合中的两个整数是3和4，则解得；若集合中的两个整数是2和3，则解得.综上所述，实数的取值范围是或.故答案为：或.14.已知，，，且，则实数的最小值为_____.【答案】81【解析】由，得，即，因为，，，所以，当且仅当时取等号，令，则，解得或（舍），即，，当且仅当时取等号，故实数的最小值是81.故答案为：81.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知命题：实数满足；命题：实数满足.（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）若，解，得，即命题.解，得，即命题.因为和都是真命题，所以，即实数的取值范围是.（2）由，得.因为是的充分不必要条件，所以且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是.16.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以或.当时，，故.（2）因为，所以.若，此时，解得；若，此时，且，解得，综上，实数的取值范围是.17.如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）.（1）写出关于的表达式；（2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.解：（1）依题意，新墙总长度，修建新墙费用为，维修旧墙费用为，因此，所以修建此矩形场地的总费用.（2）由（1）知，当时，，当且仅当，即时，，所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用3000元.18.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值；（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集.解：（1）由关于的不等式的解集为，得，且和是方程的两个实数根，即，解得，所以另一实数根为，即，所以，.（2）由，得，又，所以恒成立.当时，，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围为.（3）当时，不等式为，其解集为；当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.若，不等式解集为；若，不等式可化为，此时不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为.综上可知，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.19.已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中.（1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值；（2）若集合具有性质“跨度36”，求证：（ⅰ）；（ⅱ）.（3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.解：（1）根据性质“跨度4”的定义可得且，解得，所以集合中元素的最小值为12.（2）（ⅰ）根据性质“跨度36”的定义可得.因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证.（ⅱ）根据性质“跨度36”的定义可得，，因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得，所以，，，，，累加得，得证.（3）由（2）可知，所以，解得，同（2）证明得，所以，又由定义知，所以，所以在上成立，当时，取，则，解得，矛盾；当时，对任意，的最大值为，满足恒成立所以集合中元素个数的最大值为11.黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以.故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：B.3.已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又，当时，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由，所以，故D正确.故选：D.4.设，，且，则的最小值为（）A. B.5 C. D.4【答案】C【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即时取等号.故选:C.5.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.7【答案】B【解析】根据题意，图中阴影部分区域表示为，因为，所以，则，所以其真子集的个数为.故选：B.6.对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得，因此或或，又因为表示不大于的最大整数，所以，要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其真子集，只有选项A满足要求.故选：A.7.已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则，则集合的个数为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】因为，，由题意可知，若，则，若，则，若，则，若，则，3，7没有限制，综上所述，满足条件的集合可为：、、、、、、、、、、、、、、、，共16个.故选:D.8.若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以当时，恒成立；当时，，则需；当时，，则需.设，则解得或，所以，当时，取得最小值，且最小值为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题，，命题，，则（）A.是真命题 B.是假命题C.和都是真命题 D.和都是假命题【答案】AD【解析】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题；命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题，故A，D正确，B，C错误.故选:AD.10.当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（）A. B.0 C. D.1【答案】BD【解析】当时，，当时，，对于A：若，，此时，不满足；对于B：若，，此时，满足；对于C：若，，此时，不满足；对于D：若，，此时，满足.故选：BD.11.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.设关于的方程的解为，，则【答案】ABD【解析】因为不等式的解集为，所以和为方程的两根，且，所以，即，，所以，A正确；又（等号不成立），所以，所以，，B正确；，C错误；方程可化为，整理得，解得，，所以，又，且，所以，即，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】当时，显然恒成立；当时，由二次函数性质知，解得.综上，实数的取值范围是.故答案为：.13.已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____.【答案】或【解析】若集合中的两个整数是3和4，则解得；若集合中的两个整数是2和3，则解得.综上所述，实数的取值范围是或.故答案为：或.14.已知，，，且，则实数的最小值为_____.【答案】81【解析】由，得，即，因为，，，所以，当且仅当时取等号，令，则，解得或（舍），即，，当且仅当时取等号，故实数的最小值是81.故答案为：81.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知命题：实数满足；命题：实数满足.（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）若，解，得，即命题.解，得，即命题.因为和都是真命题，所以，即实数的取值范围是.（2）由，得.因为是的充分不必要条件，所以且等号不同时成立，解得，所以实数的取值范围是.16.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以或.当时，，故.（2）因为，所以.若，此时，解得；若，此时，且，解得，综上，实数的取值范围是.17.如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）.（1）写出关于的表达式；（2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用.解：（1）依题意，新墙总长度，修建新墙费用为，维修旧墙费用为，因此，所以修建此矩形场地的总费用.（2）由（1）知，当时，，当且仅当，即时，，所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用3000元.18.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值；（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求关于的不等式的解集.解：（1）由