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§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示第三章第三章：空间向量与立体几何§3.1空间向量基本定理1.掌握共面向量的判断方法，体现数学抽象能力（重点）2.理解空间向量基本定理，会用空间三个不共面的向量表示其他向量，解决立体几何中的简单问题，体现逻辑脱离能力（难点）学习目标平面向量基本定理的内容是什么？如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.思考：根据平面向量基本定理，我们知道对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x,y)，使得p=xa+yb,特别地，当a,b为直角直角平面内的向量时，向量p就与坐标(x,y)建立了一一对应的关系，设a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c是来表示向量p？abcp复习回顾如图，过空间任意一点O作因为向量a，b，c不共面，所以O，A，B，C四点不共面.作当点P不在直线OC上时，过点P作与OC平行的直线交平面AOB于点Q，则

故存在实数z，使得PABCOQ在平面AOB内，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序实数对(x，y)，使得探索新知从而，存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得当点P在直线OC上，则p∥c，故存在唯一的实数x，使得p=zc.从而也存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)=(0，0，z)，使得p=xa+yb+zc.空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的．我们把{a，b，c}叫作空间的一组基，a，b，c都叫作基向量.探索新知思考：空间的基有多少个，需要满足什么条件？无数个，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．典例讲解

典例讲解3

例2:如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M是

A'B'C'D'的对角线的交点，点N是棱BC的中点.如果

试用a，b，c表示解：因为点M是

A'B'C'D'的对角线的交点，典例讲解

方法小结：用一组基表示向量的步骤：1.定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基.2.找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.3.下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.典例讲解典例讲解

典例讲解

典例讲

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