第十三章三角形培优训练课件人教版数学八年级上册

第十三章三角形培优训练人教版（2024）数学八年级上册1．

如图，在△ABC中，点D在边BC上．(1)若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数；解：(1)∵∠1＝∠2＝35°，∴∠3＝∠1＋∠2＝70°.∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠3＝70°.∵∠DAC＋∠3＋∠4＝180°，∴∠DAC＝180°－∠3－∠4＝180°－70°－70°＝40°.(2)若AB2－AC2－6AC－9＝0，AD为△ABC

的中线，△ABD的周长与△ACD的周长之比为5∶4，求△ACD的周长．(2)∵AB2－AC2－6AC－9＝0，∴AB2＝AC2＋6AC＋9＝(AC＋3)2.∴AB＝AC＋3.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵△ABD的周长与△ACD的周长之比为5∶4，解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝AB·DE，S△ACD＝AC·DF.∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝6，AB＝AC＝4，2.如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，且DE⊥AB，DF⊥AC.若AB＝4，△ABC的面积为6，求DE＋DF的值．∴S△ABC＝AB·DE＋AC·DF＝×4·DE＋×4·DF＝×4·(DE＋DF)

＝6.解得DE＋DF＝3.∴(AB＋AD＋BD)∶(AC＋AD＋CD)＝5∶4.∴AD＋CD＝4AB－5AC.∴AD＋CD＝4(AC＋3)－5AC＝12－AC.∴AD＋CD＋AC＝12.∴△ACD的周长为12.3．

如图，在△ABC中，AC⊥BC，F是边AC上的点，连接BF，作EF∥BC且交AB于点E，过点E作DE⊥EF，交BF于点D.求证：∠1＋∠2＝180°.下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理结论或推理依据．证明：∵AC⊥BC(已知)，∴∠C＝90°(垂直的定义).∵EF∥BC(已知)，∴∠AFE＝_____＝90°(________________________).∵DE⊥EF(已知)，∴∠DEF＝90°(垂直的定义).∴∠AFE＝∠DEF(等式的基本事实).∴_____∥_____(_________________________).∴∠2＝∠EDF(_________________________).又∵∠EDF＋∠1＝180°(邻补角互补)，∴∠1＋∠2＝180°(等量代换).∠C两直线平行，同位角相等ACDE内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等4．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．(1)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线．求证：△ABD是“奇妙互余三角形”．(1)证明：∵∠C＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABD.∴2∠ABD＋∠A＝90°.∴△ABD是“奇妙互余三角形”．(2)关于“奇妙互余三角形”，有下列结论：①在△ABC中，若∠A＝130°，∠B＝40°，∠C＝10°，则△ABC是“奇妙互余三角形”；②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．其中，结论正确的有______．(填序号)(3)在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝52°，P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APB的度数．①③(3)解：①如图1，当点P在线段BC上时，图1∵∠C＝90°，∠ABC＝52°，△ABP是“奇妙互余三角形”，∴2∠PAB＋52°＝90°.∴∠PAB＝19°.∴∠APB＝180°－52°－19°＝109°；②如图2，当点P在CB的延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”，2∠APB＋∠BAP＝90°时，图2∵∠ABC＝52°，∴∠BAP＝52°－∠APB.∵2∠APB＋∠BAP＝90°，∴2∠APB＋(52°－∠APB)＝90°.∴∠APB＝38°；③如图3，当点P在CB的延长线上，△ABP是“奇妙互余三角形”，∠APB＋2∠BAP＝90°时，图3∵∠ABC＝52°，∴∠BAP＝52°－∠APB.∵∠APB＋2∠BAP＝90°，∴∠APB＋2(52°－∠APB)＝90°.∴∠APB＝14°.综上所述，∠APB的度数为109°或38°或14°.5.如图，点A在B处的北偏东40°方向，点C在B处的北偏东85°方向，点A在C处的北偏西55°方向，求∠BCA及∠BAC的度数．∴∠DBC＋∠BCE＝180°.∴∠BCE＝180°－∠DBC＝180°－85°

＝95°.∴∠BCA＝95°－55°＝40°.又∵∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝85°－40°＝45°，∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠BCA)＝180°－(45°＋40°)

＝95°.解：如图，∵BD∥CE，解：(1)依题意，得∠ABD＝∠A＋∠ACB，∠ABD＝∠P＋∠ACB.∴∠P＋∠ACB＝(∠A＋∠ACB)

＝∠A＋∠ACB.∴∠P＝∠A＝20°.6.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线与△ABC的外角平分线相交于点P.(1)若∠A＝40°，求∠P的度数；(2)请写出∠P与∠A的数量关系，并说明理由．解：(2)∠P＝∠A.理由同(1).7.我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．例如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(点C不与点O，B重合).(1)∠ABO的度数为______，△AOB______(填“是”或“不是”)“和谐三角形”；(2)若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”.30°不是解：(2)∵∠ACB是△AOC的一个外角，∴∠ACB＝∠O＋∠OAC.又∵∠O＝60°，∠ACB＝84°，∴∠OAC＝24°，∠ACO＝180°－∠ACB＝96°.∴∠ACO＝4∠OAC.∴△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】(3)如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．(3)∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°,∴∠EFC＝∠ADC.∴AD∥EF.∴∠DEF＝∠ADE.又∵∠DEF＝∠B，∴∠B＝∠ADE.∴DE∥BC.∴∠CDE＝∠BCD.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠B＝∠BCD.∵△BCD是“和谐三角形”，∴∠BDC＝4∠B或∠B＝4∠BDC.∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，∴∠B＝30°或∠B＝80°.8．

【初步认识】(1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.若∠A＝100°，则∠P＝_________；如图2，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是_____________．140°∠A＝2∠M解：(1)依题意，得∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝80°，∴∠P＝180°－(∠CBP＋∠BCP)

＝180°－

(∠ABC＋∠ACB)＝140°.依题意，得∠CBM＝∠ABM＝∠ABC，∠DCM＝∠ACM＝∠ACD，∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠DCM＝∠M＋∠CBM，∴2∠DCM＝∠A＋2∠CBM＝2(∠M＋∠CBM)，整理，得∠A＝2∠M.故答案分别为140°，∠A＝2∠M.【性质探索】(2)如图3，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关系．(2)∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，∴∠CBN＝∠EBN＝∠CBE，∠BCN＝∠FCN＝∠BCF.∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠CBE＋∠BCF＝180°－∠ABC＋180°－∠ACB＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°＋∠A.∴∠N＝180°－(∠CBN＋∠BCN)＝180°－

(∠CBE＋∠BCF)＝90°－ ∠A，即∠N＝90°－∠A.【拓展应用】(3)如图4，P是△ABC两内角平分线的交点，N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP，NC相交于点M.在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．(3)依题意，得∠NBM＝∠CBN＋∠CBP＝∠CBE＋∠ABC＝90°，由(1)(2)，得∠N＝90°－∠A，∠A＝2∠M，∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，有四种情