第十五章轴对称培优训练课件人教版数学八年级上册

第十五章轴对称培优训练人教版（2024）数学八年级上册1.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝3，ED＝6，则EB＋DC的值为

()A．7

B．8

C．9

D．10C一、选择题2.如图，已知在△ABC中，∠B＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N.若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为

()A．100°

B．105°

C．115°

D．120°C3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，分别以点A，B为圆心画弧，两弧相交于点E，F，直线EF交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长为

()A．21

B．24

C．27

D．30A4．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝18cm，AC＝8cm，则BE的长为

()A．2cm

B．3cm

C．4cm

D．5cmD5．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15.若在OA，OB上分别有动点M，N，则△PMN周长的最小值是

()A.5B．15C．20D．30B6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为

()A.7B．6C．9D．10D证明：(1)∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°.∵∠DAC＝∠BAC＋∠DAB，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，1.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE相交于点F，连接AF，BC.求证：(1)BE＝DC；三、解答题∴∠DAC＝∠BAE.在△BAE和△DAC中，∴△BAE≌△DAC(SAS).∴BE＝DC.由(1)可知△BAE≌△DAC，∴∠ABE＝∠ADC.∵∠BKD＝∠ABE＋∠BFK＝∠ADC＋∠DAK，∴∠BFK＝∠DAK＝60°.∴∠BFC＝180°－∠BFK＝180°－60°＝120°.(2)∠BFC＝120°；证明：(2)如图，设DC与AB相交于点K，∴∠DMA＝∠BNA＝90°.∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC＝∠ABE.在△DAM和△BAN中，∴△DAM≌△BAN(AAS).∴AM＝AN.∴FA平分∠DFE.(3)FA平分∠DFE.证明：(3)如图，过点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N，2．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为8cm.(1)求BC的长；解：(1)∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，∴AD＝BD，AE＝CE.∵△ADE的周长为8cm，∴BC＝BD＋DE＋CE

＝AD＋DE＋AE＝8(cm).(2)若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数；(2)∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB.∵∠BAC＝128°，∴∠ABC＋∠ACB＝52°.∴∠BAD＋∠EAC＝52°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠EAC)＝76°.(3)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为18

cm，求OA的长．(3)∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，∴OA＝OB，OA＝OC.∴OA＝OB＝OC.∵△OBC的周长为18cm，∴OB＋OC＋BC＝18(cm).又∵BC＝8cm，∴OB＝OC＝5cm.∴OA＝5cm.3.如图，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿线段BC方向，在线段BC上运动．在点M运动的过程中，连接AM，并以AM为边在线段BC上方，作等边△AMN，连接CN.(1)当∠BAM＝______°时，AB＝2BM；(2)请添加一个条件：______________________，使得△ABC为等边三角形；30AB＝AC(答案不唯一)(3)证明：∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°.∴∠BAC－∠MAC＝∠MAN－∠MAC，即∠BAM＝∠CAN.在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN(SAS).∴BM＝CN.∵BC＝BM＋MC，AC＝BC，∴CN＋CM＝AC.(3)当△ABC为等边三角形时，求证：CN＋CM＝AC.4．流经官渡古镇的宝象河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量宝象河平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表：(1)第一小组测得BC＝8m，则河宽AB为____m；解：(1)依题意，得∠DBC＝80°，∵∠ACB＝40°，∴∠BAC＝∠DBC－∠ACB＝40°.∴∠ACB＝∠BAC.∴AB＝BC＝8m.故答案为8.8(2)第二小组认为只要测得CD的长就能得到河宽AB.你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由；(2)我认为第二小组的方案可行．证明如下：依题意，得∠ABO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝∠DOC，OB＝OC，∴△ABO≌△DCO(ASA).∴AB＝CD.∴只要测得CD的长就能得到河宽AB.(3)如图，观察者从点B向东走到点C，此时恰好测得∠ACB＝45°.依题意，得∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°－∠ACB＝45°.∴AB＝BC，即要测量河宽AB，只需要测量线段BC的长度．(3)除上述方法外，请你运用所学知识再设计一种方案对河宽进行测量．5．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为平面内一点，连接AD，BD，CD.(1)如图1，若D是△ABC内一点，且∠BAD＝∠CAD，求证：BD＝CD；∴△ABD≌△ACD(SAS).∴BD＝CD.(1)证明：在△ABD和△ACD中，(2)如图2，若D是△ABC外一点，且∠ADC＋∠ADB＝180°，∠ACD＝60°，猜想AB，CD和BD之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)解：AB＝CD＋BD.证明如下：如图2，延长CD至点H，使得DH＝DB，连接AH.∵∠ADC＋∠ADB＝180°，∠ADC＋∠ADH＝180°，∴∠ADB＝∠ADH.在△ADH和△ADB中，∴△ADH≌△ADB(SAS).∴AH＝AB.∵AB＝AC，∴AH＝AC.∵∠ACD＝60°，∴△ACH为等边三角形．∴CH＝AH.∴AB＝CH＝CD＋DH＝CD＋BD.(3)如图2，在(2)的条件下，若BD＝1，AC＝4，求CD的长．(3)解：由(2)得AB＝CD＋BD，∵AB＝AC，BD＝1，AC＝4，∴CD＝AB－BD＝AC－BD＝3.6．已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F.(1)如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；解：(1)△ABC为直角三角形．理由如下：∵AE＝AC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CDF＝90°，∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD.又∵∠BAC＝2∠B，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，∴∠AFC＝90°－∠BCE＝60°.∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°.∴∠BCA＝90°.∴△ABC为直角三角形．(2)如图2，过点C作CG∥AB交AD的延长线于点G，则∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G.∴CA＝CG.又∵∠BAF＝∠B，∴∠BCG＝∠G.∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG.∴AG＝BC.在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，∴AG＝2AD＝2DG.∴BC＝2AD＝8.(2)如图2，若AD＝4，求BC的长．7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边AB，BC上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t

s．(1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4－2t，BQ＝t.(1)当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形，△PBQ为等边三角形．∴当t＝

时，即4－2t＝t，解得t＝

.(2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？(2)若△PBQ为直角三角形，有两种情况：①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4－2t＝2t，解得t＝1；②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，△PBQ为直角三角形．即t＝2(4－2t)，解得t＝

.∴当t＝

或t＝1时，8.

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P，CE是∠ACB的平分线，交BD于点O.(1)请求出∠BAC的度数；解：(1)∵CD＝AD，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形．∴∠ACD＝60°.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°.(2)试用等式表示线段BE，BC，CP之间的数量关系，并说明理由．(2)BC＝BE＋CP.理由如下：如图，在BC上截取BF＝BE，连接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBF.∴△BEO≌△BFO(SAS).∴∠BOE＝∠BOF.在△BEO和△BFO中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°.∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＋∠OCB＝60°.∴∠POC＝∠BOE＝60°.∴∠COF＝60°.∴∠COF＝∠POC.又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，∴△CPO≌△CFO(ASA).∴CP＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CP.9.

已知△ABC是等边三角形，E，F分别是边BC，AC上的点，AE与BF相交于点G，且BE＝CF.(1)如图1，求证：△ABE≌△BCF，并直接写出∠AGF的度数；(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS).∴∠BAE＝∠CBF.∴∠AGF＝∠BAE＋∠ABG＝∠CBF＋∠ABG＝∠ABC＝60°.(2)如图2，若DF⊥AE，垂足为D，且DG＝2，BF＝7，求BG的长；(2)解：由(1)得∠AGF＝60°.∵DF⊥AE，∴∠DFG＝30°.∵DG＝2，∴GF＝2DG＝4.又∵BF＝7，∴BG＝BF－GF＝3.(3)如图3，以AB为边在其左侧作等边△ABD，连接DG，DG＝10，AG＝7，求BG的长．(3)解：如图3，延长GE至点H，使GH＝GB，连接BH.∵∠AGF＝60°，∴∠BGE＝∠AGF＝60°.∴△BGH为等边三角形．∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°.∵△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠GBH＝∠ABD.∵∠ABH＝∠GBH＋∠ABG，∠DBG＝∠ABD＋∠ABG，∴∠DBG＝∠ABH.∴△DBG≌△ABH(SAS).∴DG＝AH.∵AH＝AG＋GH，∴DG＝AG＋BG.∵DG＝10，AG＝7，∴BG＝DG－AG＝3.在△DBG和△ABH中，10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB交AB于点E.(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°＝∠A.∴DA＝DB.∴BC＝BE.∴△EBC是等边三角形．∴∠ABC＝60°，BC＝

AB.∵DE⊥AB，∴AE＝BE＝

AB.(2)如图2，M是线段CD上一点(不与点C，D重合)，以BM为一边，在BM下方作∠BMG＝60°，MG交DE的延长线于点G，延长ED使得DF＝DM，连接MF.请直接写出线段AD，DG，DM之间的数量关系；(不用证明)(2)解：AD＝DG＋DM.证明