第四单元第3节特殊三角形

大单元复习第四单元

三角形第1节相交线与平行线第3节第4节三角形全等、相似三角形特殊三角形第2节一般三角形第5节几何测量问题第3节特殊三角形单元复习规划目录以题练考点考向精练课堂小结

上节课我们知道了三角形的分类，并且分别从构成三角形的因素：角、边，以及重要线段三个方面复习了三角形的性质，具体如下：

三边关系内角和、内外角关系边角关系三角形重要线段

三边都不相等的三角形

底≠腰的等腰三角形

等边三角形按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三角形的分类等腰三角形

按边分

本节课将从以上几个方面研究特殊三角形：等腰三角形、直角三角形，这些图形又有哪些性质，如何判定？以题练考点(2)若△ABC的一个角为50°，则∠A的度数为______________；1.在△ABC中，AB＝AC．(1)若顶角为30°，则底角度数为_________；75°50°或80°【点拨】：顶角和底角不确定时，需要分类讨论.(3)如图，点D为BC边上的中点，连接AD，AD＝4，AB＝5，则BC的长为____；6【点拨】：“三线合一”．ABCD

1.在△ABC中，AB＝AC．(4)如图，在(3)的条件上，过点D作DE//AB交AC于点E，已知∠B=60°.①判断△CDE的形状，并证明；解：△CDE为等边三角形，理由如下：∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形.∴∠C=∠CAB=60°.又∵DE//AB，∴∠CDE=∠B=60°，∠CED=∠CAB=60°.∴△CDE为等边三角形.ABCDE

1.在△ABC中，AB＝AC．(4)如图，在(3)的条件上，过点D作DE//AB交AC于点E，已知∠B=60°.ABCDE②若DE=3，求AC的长及△DEC的面积.解：∵点D为BC的中点，DE//AB，∴点E为AC的中点.∵在Rt△ADC中，E为AC的中点，∴DE=AC=3.∴AC=6.∴S△DEC=·DE2=.1.在△ABC中，AB＝AC．(5)若△ABC的周长为12，一边长为5，则AB＝______________.5或3.5【点拨】：已知边为腰还是底边不确定分两种情况：①AB=AC=5②BC=5ABC图形名称等腰三角形等边三角形图形边两腰相等三边相等角两底角相等每一个角都等于60°边角关系等边对等角；等角对等边/对称性是轴对称图形，有1条对称轴是轴对称图形，有3条对称轴面积S＝_________S＝ah＝_________a2图形名称等腰三角形等边三角形判定60°90°相等2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是AB上的一点，连接CD.(1)若AB＝10，则△ABC的面积为___；(2)若∠B＝30°，则AB的长为___；(3)若CD⊥AB，BC＝8，则CD的长为

；(4)若D为斜边AB的中点，CD＝5，则△ABC的周长为___；24124.824ABC∟DE2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点D是AB上的一点，连接CD.(5)若CD为AB的垂直平分线，则∠A的度数为___；(6)若BC＝8，E为AC上的中点，当△ADE为直角三角形时，AD的长为_______.45°5或点拨：①分两种情况：∠DEA=90°；∠ADE=90°

②利用相似求解.ABC∟DE①两锐角之和等于____②斜边上的中线等于_____________③30°角所对的直角边等于__________④勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则有_________性质：90°斜边的一半斜边的一半a2＋b2＝c2判定：①有一个角为

的三角形或有两个角

的三角形③勾股定理的逆定理：若三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，

则该三角形是直角三角形90°互余直角三角形1.(2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(

)CA．2个B．3个C．4个D．5个考向精练BA．πB．

πC．

πD．

π2.(2025浙江)如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为点E．若AB=2，则

的长为(

)

A．

B．6C．

D.3B【点拨】：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，由tanC==，求出DC=3，由线段的中点定义得到AC=2DC=6.

E5.(2025四川南充)如图，∠AOB＝90°，在射线OB上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D，连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1，则OE的长是_____.证明：如图，延长AE交BC的延长线于点H，∵点E是CD的中点，∴CE=DE.∵∠D=∠ECH=90°∠AED=∠HEC，∴△ADE≌△HCE(ASA).∴AD=CH，∠DAE=∠H.∵AB=BC+AD，BH=BC+CH，∴AB=HB.∴∠BAH=∠H.∴∠DAE=∠BAH.∴AE平分∠DAB；6.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠C=90°．(1)若E为CD的中点，AB=BC+AD，求证：AE平分∠DAB；H(2)若E为AB的中点，AB=2AD，CA=CB，试判断三角形ABC的形状，并说明理由．解：△ABC是等边三角形，理由如下：∵点E是AB中点，∴AB=2AE=2BE.∵AC=BC，AE=BE，∴CE⊥AB，∠ACE=∠BCE.∴∠AEC=90°=∠D.∵AB=2AD，∴AB=2AE.∴AD=AE.∵AC=AC，∠AEC=∠D=90°，∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL).∴∠ACD=∠ACE.∴∠ACD=∠ACE=∠BCE.又∵∠DCB=∠ACD+∠ACE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠ACE=∠BCE=30°.∴∠ACB=60°.又∵CA=CB，∴△ABC是等边三角形．7.(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．解：△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠EDB＝∠ABD.∴EB＝ED.∴△BDE是等腰三角形；图1方法应用(2)如图2，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.①图中一定是等腰三角形的有(

)A.3个B.4个C.5个D.6个解法提示：共有四个等腰三角形．分别是：△ABE，△ABG，△AFD，△CGF.B图2解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.∴∠ABE＝∠AEB.∴△ABE是等腰三角形，则AB＝AE.∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF.∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB.∴∠BAF＝∠AGB.∴AB＝BG＝3.∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG.∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG.∴CG＝CF，∵CG＝BC

－BG＝5－3＝2，∴CF＝2.②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长图2图形名称等腰三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形性质角：两底角______;边：两腰_______;重要线段：等腰三角形“三线合一”;对称性：轴对称图形，有1条对称轴，是顶角平分线、底边中线/高所在的直线

角：三个角相等，且每一个角都等于____边：三边相等;对称性：是轴对称图形，有___条对称轴，是顶角平分线、底边中线/高所在的直线1.两锐角之和等于____2.斜边上的中线等于__________;3.30°角所对的直角边等于__________;4.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则____