2024年江苏省南师附中新城校区特长生选拔考试数学试题含答案

2024年南师附中特长生选拔考试数学试题【综合部分】3.3已知正整数x，y满足xy=x2+3，则(x,y)=..一一一一一一5.已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为.6.已知二次函数y=x2-(2k+2)x+(k2+2)，其图像与x轴有两个交点，横坐标为x1，x2，且2a7（1）求证：(2a.2c2+d22.（2）已知41×53=2173，证明2173是两个正整数的平方之和.8.如图，已知梯形ABCD，ADⅡBC，AD=a，BC=b.（1）如图1，若EF过点O，且EFⅡAD，则EO=.第2页/共10页（2）如图2，若GHⅡAD，点G、H分别在AB、CD上，且GH=ab，比较EF和GH的大小关系，并说明理由.（3）已知对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形，则试说明梯形ADHG与梯形BCHG是否相似.答案与解析【答案】1【解析】【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元.根据①+②算出3x+y=5，再根据①×2-②算出y+z=5，代入即可求解；解：故答案为：1.2.若x23【答案】0【解析】【分析】该题主要考查了完全平方公式、绝对值的非负性，二次根式的性质等知识点，解题的关键是得出x=-y.根据题意得出x=-y，再代入求解即可；第3页/共10页又∴∴又∴∴x2x+y=0，3故答案为：0.【解析】【分析】本题考查了坐标与图形，等式的性质等知识，先利用等式的性质得出y=x+，根据x、y为正整数，可判定出为正整数，则得出x=1或3，即可求解.，x为正整数，∵y为正整数，∴为正整数，第4页/共10页【答案】3π【解析】【分析】延长BE交ΘO与H，连接OB，OC，利用垂径定理可得出=，利用圆周角定理等可得利用勾股定理得出2=BO2，求出BO，最后利用圆的面积公式求解即可.【详解】解∶延长BE交ΘO与H，连接OB，OC，第5页/共10页又BE2+OE2=BO2，故答案为：3π.【点睛】本题考查了垂径定理圆周角定理，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线是解题的关键.5.已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为.【答案】13【解析】【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可.【详解】解∶①当百位数字为1时，∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，∴十位数字可能为0，1，2，当十位数字为0时，个位数字可能为0，1；当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2；当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3，∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123；②当十位数字为1时，∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0，∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2，③当个位数字为1时，∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，第6页/共10页∴十位数字可能为0，1，2，当十位数字为0时，百位数字可能为1；当十位数字为1时，百位数字可能为1，2；当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3，∴三位数可能为101，111，211，121，221，321，∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个，故答案为：13.(2k+2)x+(k2+2)，其图像与x轴有两个交点，横坐标为x1，x2，且【答案】1【解析】【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，解题的关键是利用根与系数的关系，整体代入求解．令y=0，得方程x2一(2k+2)x+(k2+2)=0，x1，x2即为方程的两根，利用根与系数的关系求得x1+x2和x1.x2，然后整体代入求解即可.【详解】解∶∵二次函数y=x2一(2k+2)x+(k2+2)，其图像与x轴有两个交点，=0，x1，x2即为方程的两根，2.x2x2∴k222222222（2）已知41×53=2173，证明2173是两个正整数的平方之和.【答案】（1）见解析2）见解析第7页/共10页【解析】【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是∶（1）利用多项式乘以多项式计算左边，利用完全平方公式计算右边，然后验证即可；2求解即可.∴左边=右边，2222222222c2+d22，422222222，222222222222，即2173是正整数43，18的平方之和或正整数27，38的平方之和.8.如图，已知梯形ABCD，ADⅡBC，AD=a，BC=b.（1）如图1，若EF过点O，且EFⅡAD，则EO=.并说明理由.（3）已知对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形，则试说明梯形ADHG与梯形BCHG第8页/共10页是否相似.abab（2）EF<GH，理由见解析（3）梯形ADHG与梯形BCHG相似.【解析】【分析】（1）根据题意得到△ADO∽△CBO，进而得到设AO=ax，OC=bx，再证明VAEO∽VABC，得到==求解，即可解题；的大小；（3）利用平行线性质可得梯形ADHG与梯形BCHG对应角相等，作APⅡDC交BC于点P，交GH于(ba)m，得到,即可得到对应边成比例，证明梯形ADHG与梯形BCHG相似.,即可得到对应边成比例，证明梯形ADHG与梯形BCHG相似.【小问1详解】解：ADⅡBC，:△ADO∽△CBO，EFⅡAD，:EFⅡADⅡBC，:△AEO∽△ABC，EOAOAOaxa第9页/共10页故答案为：.【小问2详解】解：由（1）同理可得，:EF<GH；【小问3详解】解：:GHⅡAD，:ADⅡBC，:GHⅡBCⅡAD，且，作APⅡDC