山东省德州市九校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

PAGEPAGE4页/52024级校际联考（五）时间：120分钟满分：150一､单选题.（8540分.在每小题四个选项中，只有一项是符合题 已知a(3,2,5),b(1,5,1)，则(ab)(ab) A.

C. D.若直线x2ay10与直线a1xay10平行，则a A.

3或 C.

D.1 若平面的法向量为u124，平面β的法向量为vm12，直线l B.若lα，则nC.若n20，则l/ D.若m10，则α

y1a0b0

x3y2

B.D.

已知椭圆C

1b0F1F2，点OP为椭圆C上一点，点PF2中点，若△QOF26，则椭圆C的离心率为（

D. 已知O00A3,0，圆Cx22y2r2r0PPA2PO的取值可以为 A.1或 B. C. D.1或PABCD2的正方形，△PADAD为斜边的等腰直角三ABPADEPD上的动点（不含端点ABF（不含端点，使得异面直线PA与EF成30o的角，则线段PE长度的取值范围是 2

6

2,2

6,2 2

3

二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）给出下列命题，其中正确的是（ 2

52a53,1b2t5t的取值范围为15 →→已知向量{abcmac，则{abm}

在向量–––→11(3,1下列说法正确的是

“a2xy10xay20互相垂直”是a1”的 4 Mx4)2y4)2r2r0N101r的取值范围是4P12xyxy1C：C：

21ab0F1F2，短轴长为

2， 圆C上异于长轴端点A,B的一动点，点Q与点P关于原点对称，则 PR为直径的ABR点的轨迹方程为4x23y216x椭圆CP，使得F1PF2三､填空题（本题共3小题.每小题5分，共15 设椭圆C

1a0b0)的左､右焦点分别为1，2

P是CF1PF2P，若VPF1F2的面积为4，则a 如图所示，在棱长均为2的平行六面体ABCD−ABCD中，AABAADBAD60，点M为BC与BC的交点，则AM的长为 P为直线lxy20上的P作圆Cx2+2x+y2=0PAPBA,B，则PAPB的最小值 ；当PCAB最小时，则直线AB的方程 四､解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分，16､17题每题15分，18､19题每题分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤E若直线l经过点Q3,5，且与圆E相交截得的弦长为 ，求直线l的方程PABCDPDABCDABCDADDPEPC的中点PABDEPBBDE所成角的正弦值 已知椭圆C

1(ab0)的上、下焦点分别为2，1M为椭圆C

25MF29.EC有公共焦点，它们的离心率之和为14求椭圆CEPABC中，∠ABC90ABBC2DEBCAC的中点，△PBC为PBCABC.PDPDABCBPACPC上是否存在异于端点的MPACMDE夹角的余弦值为7M的位置；若不存在，说明理由

已知椭圆G

1ab0

求椭圆GP

DBP点作椭圆G的两条切线（与坐标轴不垂直PAGE1PAGE1页/222024级校际联考（五）时间：120分钟满分：150一､单选题.（8540分.在每小题四个选项中，只有一项是符合题 已知a(3,2,5),b(1,5,1)，则(ab)(ab) A. 【答案】

C. D.a,【分析】先根据空间向量的线性运算得出a, 所以 a325b151，ab27,4ab4 所以 ab82124若直线x2ay10与直线a1xay10平行，则a A. 【答案】

3或 C.

1x2ay10与直线a1xay10平行，a2aa1，a0a3a0a3 若平面的法向量为u124，平面β的法向量为vm12，直线lPAGEPAGE2页/22B.若lαnC.若n20，则lD.m10，则α【答案】A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量A，由αβ，得uυm12m1A 对于B，由lα， →，则n24，解得n1，故B错误t/

→ C，由n20，得t2024tu204160tu，则lα或lαC2,u 对于D，由m10，得→10,1,→→1028 →→，则2,u

y1a0b0

x3y2

B.

D.【答案】x3y201，所以双曲线一条渐近线的斜率为-11即3，所以离心率e

10

【答案】DDAxDCyDD1zD100,1,A100C0,10B11,1,1→

nD1Axz 设平 1的法向量为nx,y,z，则→

1

2 D1B1cosπD1B12 2

1

311 已知椭圆C

1b0F1F2，点OP为椭圆C上一点，点PF2中点，若△QOF26，则椭圆C的离心率为（【答案】

D. 【详解】因为QPF的中点，而OFF中点，所以|OQ|1|PF| 1 即|PF1||PF2||F1F2|2a2c12ac6a4，所以c2ec1 已知O00A3,0，圆Cx22y2r2r0PPA2PO的取值可以为 A.1或 B. C. D.1或【答案】P在阿波罗尼斯圆上，且是圆C上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的PxyPA2PO，两边平方得x32y24x24y2整理得x12y24，圆心10圆Cx22y2r2r0的圆心为20r所以只能是两圆内切，即r21，r3r1时圆Cr3时圆C在外PABCD2的正方形，△PADAD角形，AB平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点，若线段AB上存在点F（不含端点，使得异面直线PA与EF成30o的角，则线段PE长度的取值范围是（ 2

6

2,2

6,2 2

3

【答案】

AD中点G，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角公式列出等式，结合二次函数PE长度的取值范围.AD中点GPGABPADABABCDABCDPADPGADPGPADABCDPADADPGABCD，如图分别以GAGP和过点GABxz,y轴建立空间直角坐标系.PAGE6页PAGE6页/22则G000A100D100B120P00,1F1y00y2DExDPx10,1x0x0x1，Ex10xEF2xyxPEx10x12x2y22x2y2PA

PAEFcos

，即2

2 即x1211y2因0y2则有x1201 3 2 6则 2x10,3,故得PE0,3 二､多选题（共3小题，每小题6分，共18分.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分给出下列命题，其中正确的是（ 2

52a53,1b2t5t的取值范围为15 →→已知向量{abcmac，则{abm}

在向量–––→11(3,1【答案】

【分析】由共线反向得到tABC；根D. 2 A，当t5a53,1b255A PAGEPAGE7页/22a,b, 对于C，若 a,b, →→所以{abm}也是空间的一个基底，CDA(1,12)B(224)C(320) 可得AC(4,3,2),AB(3,1,2)，则ACAB5,AB

ACABAB

所以向量AC在向量AB上的投影向量为 –––→

D错误 下列说法正确的是 “a2xy10xay20互相垂直”是a1” 4 Mx4)2y4)2r2r0N101r的取值范围是4P12xyxy1【答案】aA错误；根据直线的斜率为sinα计算斜率的取值范围，B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得CD0两种情况求解可判断；【详解】A.a211(a)0a0或a0或1”是a1”A错误B.xsinαy20yxsinα2k1sinα11k1，即1tanθ1， 4 PAGE8PAGE8页/22C.N(10)距离为1Nx1)2y21M(44)Mx4)2y4)2r2r0Nx1)2y214124124∴r15r1，

54r6r的取值范围是46C正确k2y2x，0x

a1xy10P12xyxy10y2xD

已知椭圆C：

1ab0的左、右焦点分别为 2，短轴长为

2P圆C上异于长轴端点A,B的一动点，点Q与点P关于原点对称，则 PRABR点的轨迹方程为4x23y216x椭圆CP，使得F1PF2【答案】为平行四边形，再结合基本不等式可求；CPABPABPRR点坐标，再利用消参思想求出轨迹方程；DP2b

，c1，a2b2c2，解得a2,b 3,c 则C：

1，F11,0,

1,0，A2,0,B2,0当点P位于短轴顶点时，aPFF的面积最大，最大值为12 ，故A错误1

41111111

PF

PF 1 2122

4 2

2BPABx2y2DxEyF0 Px0y0，且001x02y00 x2y2Dx

F0，42DF0，42DF0

444y2D0F4

4x2

30 yE 0 02y2y2y2y0y40M0y0 6MRx4y0 PRMP

xxy4y0

x,

3y

001，则

16x02R点的轨迹方程为4x23y216x2，CP位于短轴顶点时，此时aFPFFPFπD 三､填空题（本题共3小题.每小题5分，共15 设椭圆C

1a0b0)的左､右焦点分别为1，2

P是CF1PF2P，若aPF1F2的面积为4，则a 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解【详解】根据题意，离心率为3，所以c 3，所以3a24c2，设F1Pm，F2Pn 1mn2aFPFPm2n22c2，因为aPFF 11mn4mn8，所以mn22mn4c2，即4a2163a2a216a0a44如图所示，在棱长均为2的平行六面体ABCD−ABCD中，AABAADBAD60，点M为BC与BC的交点，则AM的长为 【分析】可以通过向量的加法 表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式

来求解 AMABBMAB

BCBB 1 1 1 即AMABADAA，即

ABAD

1 1 AMABADAAABADABAAADAA 运用数量积公式计算得到AM41122222211

故答案为 P为直线lxy20P作圆Cx2+2x+y2=0PAPBA,B，则PAPB的最小值 ；当PCAB最小时，则直线AB的方程 【答案 ①.

②.3x3y1【分析】由切线可知ABCPPAPBPAPBPC1PC2PCABPC2

，进而分析最值，利用两圆相交时公共弦的方程求法运算求解【详解】因为圆Cx2+2x+y2=0可化为(x1)2y21，可知圆心为C10r1，PAPB是圆CPAACPBBCA､P､B､CABCPPAPBPAPBPA2PC2r2PC1PClPCPCAB取得最小值，PCxyc0，代入点C10可得10c0，即c1PCxy10联立方程xy10x1y3P132xy22

2123 PC

32 PAPB的最小值为

1 PCAB

4Sa

41PA

2PA PC2PClPCPCABPC2113 23

13此时P,，

，且线段PC的中点为,22

443则以PC为直径的圆的圆心为1,3，半径 PC3 44 1

以PC为直径的圆的方程为xy，即x2+y2+x-y-=0

因为圆Cx2+2x+y2=0AB的方程3x3y1073x3y10四､解答题（本题共5小题共77分.其中15题13分，16､17题每题15分，18､19题每题分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤E若直线l经过点Q3,5，且与圆E相交截得的弦长为 ，求直线l的方程（1）(x1)2y1)2（2）xy20或7xy16（1）AB（2）按直线l的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解1A11,B1,1AB的中点坐标为00ABAByx

1111y x联立xy20，解得y1 (11)2圆E(11)2E的圆的标准方程是(x1)2y1)242因为直线l被圆E截得的弦长为 22(E22(

2①当直线lE到直线的距离为2，不符合题意k2k15②当直线l的斜率存在时，设ly5kx3，kxk2k15

k1或k7直线lxy20或7xy16PABCDPDABCDABCDADDPEPC的中点PABDEPBBDE所成角的正弦值（1）（2）（1）（2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可1ACBDFEF，ABCD是正方形，FAC的中点，EPC的中点，所以在aPACPAEFEFBDEPABDE，PA//BDE；2PABCDABCDADCD，PDABCDADCDABCD，PDADPDCDDDADCDPxyzADDP2D000B220E0,1,1P002BDEnx,yz，DBn 2x2y则–––→ ，即yz PBx1y1z1→1PB

12323PBBDE3 已知椭圆C

1(ab0)的上、下焦点分别为2，1M为椭圆C

25MF29.EC有公共焦点，它们的离心率之和为14求椭圆CEPE与椭圆的一个交点，求aF1PF2的面积（1）xy yx （1）设椭圆的焦距为2c.MF1MF2M在椭圆下顶点MF2aca2b2c2a2b2，得到椭圆CE与椭圆C有公共焦点且它们的离心率之和为E的标准方程.

1当F1MF2M由cosFMF

cosFMF12sin2FMO，sinFMO4c4

MF292a+c9a5c4

abc，可得b3

椭圆C

2E

x2

0a2b2c2

1，得到焦点坐标为

，椭圆的离心率为E与椭圆C有公共焦点，则c1c4因为椭圆与双曲线的离心率之和为144c114E

2c2a

a

则

，即

，所以b1

E的

c2c2 （1（2）

PF1

4

FF8，所以在aPFF

1 1

PF2PF2FF 7232 由余弦定理得cosF

12 2

27 所以sin

4311cos2F 故aF1PF2的面积为1PFPFsinFPF13743 PABC中，∠ABC90ABBC2DEBCAC的中点，△PBC为PBCABC.PDPDABCBPACPCMPACMDE夹角的余弦值为7M的位置；若不存在，说明理由（1）（2）2（3）MPC（1）PACMDE夹角的余弦值的表达式求出参数λ分析即可1PDmaPBCDBCPDBCmPBCABCPBCABCBCPDPBCPDABC2由（1）PDABCDBDEABCPDDB,PDDEmABC90DEBCACDE∥AB,ABBCBCDEDDBDEDPxyzmABBC2D000,B100C100,A120,P00,3,E0,10 PACnxyz PC·n

3zAC·n

z1n

3,

3302则点B到平面PAC的距离为 3由（1）n3,3,1PAC DMDPPM0,0,3λ,0,

DM·m

a

令cλ，则m

→n,

→ n MPACMDE夹角的余弦值为7MPC中点

19.已知椭圆G

1ab0

求椭圆