1.1 锐角三角函数 第一课时 正切函数的性质与应用（课件）数学北师大版九年级下册

北师大版·九年级下册1.1锐角三角函数第一章

直角三角形的边角关系第一课时：正切函数的性质与应用1.理解概念本质：深入理解正切函数的定义，明确其在直角三角形中“锐角对边与邻边的比值”这一核心属性；2.掌握性质与关联：熟练掌握正切函数的关键性质，能结合坡度与坡角的关系，快速建立正切值与实际场景中“陡缓程度”的联系，准确进行相关属性的辨析与应用；3.培养应用与转化能力：通过分析梯子倾斜、山坡坡度等实际问题中的数量关系，准确运用正切定义及性质求解实际问题，提升数学建模与推理计算能力。学

习

目

标学习过程010302目录1正切函数的定义与性质3题型训练2坡度与坡角的应用情境引入在生活中，我们常常遇到陡坡，你知道怎么对比陡坡的陡峭程度吗？互动新授

1.正切函数的定义：∠A的对边∠A的邻边互动新授正切值是由什么决定的？与直角三角形的边长是否有关？1.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求tanA2.将Rt△ABC的各边长度扩大2倍，得到Rt△A'B'C'，求tanA'

正切值与直角三角形的边长无关，仅由锐角的度数决定互动新授①无单位性：正切值是“对边长度”与“邻边长度”的比值，长度单位在比值中抵消，因此无单位。2.正切函数的性质：例1.某楼梯的踏步高度（对边）为15cm，踏步宽度（邻边）为30cm，求楼梯坡面与地面夹角的正切值0.5长度单位在比值中抵消，结果无单位互动新授②对应性：对于每一个确定的锐角α（0°<α<90°），都有唯一确定的正切值tanα与之对应；反之，对于每一个确定的正切值t（t>0），都有唯一确定的锐角α与之对应。例2.已知tanα=1，tanβ=1，且α、β均为锐角，判断α与β的关系α=β正切值唯一对应锐角互动新授③取值范围：当α接近0°时，对边接近0，tanα接近0（但不为0）​当α接近90°时，邻边接近0，tanα接近+∞（无最大值）​数轴表示：0+∞-∞取值范围互动新授④增减性：当锐角α在0°<α<90°范围内时，α越大，tanα的值越大；正切函数在0°<α<90°上单调递增。例3.比较tan35°与tan45°的大小tan35°<tan45°因35°<45°，正切单调递增互动新授性质类别具体内容关键应用场景无单位性正切值是直角三角形中锐角对边与邻边的长度比值，单位在计算中抵消，故无单位计算楼梯、坡面的正切值时，无需统一单位，直接输出数值与锐角的一一对应性①每个确定的锐角α（0°<α<90°），对应唯一确定的正切值tanα；②每个确定的正切值t（t>0），对应唯一确定的锐角α已知tanα=tanβ（α、β为锐角），可直接推出α=β；已知tanα的值，能唯一确定锐角α的度数取值范围tanα>0（α为锐角），且无最大值（α接近90°时，tanα接近+∞），无最小值（α接近0°时，tanα接近0）判断正切值合理性；求解含正切的不等式增减性在0°<α<90°范围内，锐角α越大，tanα的值越大（正切函数单调递增）比较两个锐角的正切值大小，已知tanα>tanβ，推出α>β学习过程010302目录1正切函数的定义与性质3题型训练2坡度与坡角的应用互动新授

3.坡度与坡角：h（高度）l（水平宽度）坡度是坡角的正切值互动新授

4.陡缓程度与正切的关系：通过比较正切值，可快速判断陡缓程度学习过程010302目录1正切函数的定义与性质3题型训练2坡度与坡角的应用典例解析

本题考查了锐角三角函数中正切函数的定义，掌握正切函数的定义是解题的关键D【分析】

本题需要根据正切函数的定义，在直角三角形中求出tanA的值。正切函数的定义是对边与邻边的比值，所以要先确定∠A的对边和邻边。典例解析例2.有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tana)是:__________

本题考查了坡度的定义，掌握坡度的定义是解题的关键

【分析】本题需要根据坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度和水平方向的距离的比值，即tana，利用已知的水平前进距离和升高高度来计算坡度。100m60m典例解析C例3.如图，梯子与地面所成的锐角为∠BAC，对于∠BAC的正切值与梯子倾斜程度的关系，下列叙述正确的是()A.tan∠BAC的值越大，梯子越缓

B.tan∠BAC的值越小，梯子越陡C.tan∠BAC的值越大，梯子越陡

D.梯子的陡缓程度与∠BAC无关典例解析

本题考查了正切函数的性质，掌握正切函数在锐角范围内随角度增大而增大的性质以及正切值与梯子倾斜程度的关系是解题的关键。【分析】

本题需要根据正切函数的性质，分析tan∠BAC的值与梯子倾斜程度的关系。正切函数在锐角范围内，函数值随角度的增大而增大，而角度越大，梯子越陡。典例解析例4.有一凉亭位于高度为500m的山顶上，一车从山脚A处直线行驶到山顶B点的时间为15min，已知车的平均速度为40km/h，则山的坡度约为_____________(精确到0.01).0.05典例解析

本题考查了坡度的计算以及勾股定理的应用，掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键。【分析】

本题需要先根据速度和时间求出车行驶的路程，再利用勾股定理求出水平距离AC，最后根据坡度的定义计算出山的坡度。典例解析

本题考查了锐角三角函数中正切函数的定义以及勾股定理的应用，掌握正切函数的定义和勾股定理解题的关键。

【分析】本题需要利用正切函数的定义求出AC的长度，再通过勾股定理求出AB的长度，最后根据正切函数的定义求出tan∠B的值。课堂小结正切函数的性质与应用无单位性在