广西南宁市第十四中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页广西南宁市第十四中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．二次函数的常数项是（

）A． B． C．2 D．12．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．63．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．4．成语“守株待兔”是（

）A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是5．如图，四边形内接于，若，则的度数是（

）A． B． C． D．6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（

）A．3 B．2 C．1 D．07．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（

）A．25° B．35° C．40° D．85°8．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（

）A． B． C． D．9．学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（）A． B．C． D．10．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（）A．4 B．8 C．12 D．1611．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（

）A． B． C． D．12．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题13．点关于原点成中心对称的点的坐标为．14．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是．15．已知，是方程的两根，则的值为．16．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝．（结果保留）三、解答题17．（1）计算：；（2）解方程：．18．在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：抛掷次数2枚正面都朝上的频数2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．19．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．(1)请直接写出，两点的坐标；(2)求叶瓣①的面积．（结果保留）．20．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起．一个物体挂在距离点的左侧处，重量．在点的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即(1)求关于的函数表达式；(2)移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，求弹簧秤的示数的最小值．21．如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．

(1)求证：是的切线；(2)若的半径为4，，求的长．22．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“自对应点函数”，点为该函数图象上的一个自对应点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“自对应点函数”，点为该函数图象上的一个自对应点．某数学兴趣小组围绕该定义，对反比例函数和二次函数进行了相关探究．(1)对反比例函数进行探究后，得出下列结论：①是“自对应点函数”；②是“自对应点函数”，且自对应点是；③是“自对应点函数”，且有两个自对应点．以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）；(2)若反比例函数是“自对应点函数”，请直接写出应满足的条件；(3)对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个自对应点，求，满足的关系式；(4)某种商品每件的进价为20元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元，请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是“自对应点函数”，并说明理由：若该函数是“自对应点函数”，请联系以上情境说明该函数自对应点表达的实际意义．23．如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，．(1)请直接写出的形状；(2)在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转．①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积；②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值．《广西南宁市第十四中学2025-2026学年上学期九年级期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ADDADCBBCB题号1112答案DC1．A【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【详解】∵对应一般形式，∴常数项为．故选：．2．D【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r.解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符.故选D.“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.3．D【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确；故选：D．4．A【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件；必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指永远不会发生的事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行判断即可．【详解】解：“守株待兔”中兔子撞树是偶然发生的，可能发生也可能不发生，它是随机事件，故选：A．5．D【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答．【详解】解：四边形内接于，若，，故选：D．6．C【分析】根据一元二次方程根的判别式，当有两个相等实数根时，判别式为零，将方程化为标准形式后，计算判别式即可确定a的值．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程有两个相等的实数根，∴判别式．∵，∴，解得．故选：．7．B【分析】根据绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，可得，然后根据，可以求出的度数．【详解】∵绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，∴，又∵∴，故选B．【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键．8．B【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．【详解】解：设圆锥底面圆半径为，由题意得：，解得，因此，该圆锥的底面圆半径为，故选：B．9．C【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支，根据题意有：，故选：C．10．B【分析】设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可．【详解】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（），S△ABC=，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积．11．D【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，，，在中，有，即，解得，则该桨轮船的轮子直径为，故选D．12．C【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围．【详解】解：∵，∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点，当时，，∵当时取得最小值，∴，∴，∵当时取得最大值，，令，则，解得，即，∴，，．故选：C．13．【分析】根据点关于原点成中心对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数即可解答．此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【详解】解：根据点关于原点成中心对称的坐标变换规则，点的对称点为．因此，点关于原点的对称点为．故答案为：．14．【分析】直接利用概率求法进而得出答案．【详解】∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率公式是解题关键．15．【分析】根据根与系数的关系，先求出方程的两根之和与两根之积，再代入所求表达式进行计算．本题主要考查根与系数的关系，对要求的式子利用通分进行适当变形是解题的关键．【详解】解：由方程，得,,，根据根与系数的关系有，，则．故答案为：．16．【分析】本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定半径的长，得出花窗的周长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．【详解】解：如图所示：过点作交于点，∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，∴，，∴为等边三角形，∵圆心C恰好是的内心，∴，∴，∵，∴，∴，∴的长为，∴花窗的周长为．故答案为：．17．（1）；（2），【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．（1）先计算乘方，再计算加减即可得解；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解．【详解】解：（1）；（2），，或，，．18．(1)(2)见解析【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．（1）根据题意，用频率估计概率即可；（2）根据列表法求概率，即可求解．【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是，故答案为：．（2）解：列表如下，正反正正正正反反反正反反共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种，因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为．19．(1)(2)【分析】本题主要考查了求扇形面积，圆的基本性质：（1）证明四边形是正方形，即可求解；（2）根据叶瓣①的面积为等于，即可求解．【详解】（1）解：∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，∴，∴四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴点；（2）解：如图，连接，∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，∴两个圆是等圆，，∴，∴叶瓣①的面积为．20．(1)(2)弹簧秤的示数的最小值为【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键．（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解；（2）根据反比例函数图形的性质即可求解．【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得，∴关于的函数解析式为．（2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是，∵，∴随的增大而减小，∴把代入，得，∴弹簧秤的示数的最小值为．21．(1)见解析(2)【分析】（1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明；（2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可．【详解】（1）∵与相切于点A，∴，∵平分，，∴，∴是的切线；（2）∵的半径为4，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，即，∴．【点睛】此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．22．(1)③(2)(3)(4)，该函数是“自对应点函数”，自对应点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为元或元时，获得的总利润等于销售单价．【分析】（1）根据“自对应点函数”的定义，代入点，计算即可判断；（2）根据“自对应点函数”的定义，代入点，计算即可得解；（3）先求得顶点坐标为，根据“自对应点函数”的定义，即可得到；（4）根据题意得，令，解方程即可求解．【详解】（1）①对于，由于不存在自对应点，所以不是“自对应点函数”，原说法错误；②对于，代入点，得，解得，所以是“自对应点函数”，自对应点是，原说法错误；③是“自对应点函数”，且有两个不动点，说法正确．故答案为：③．（2）∵反比例函数是“自对应点函数”，∴代入点，得，整理得，∵，∴应满足的条件：．（3）∵抛物线的顶点为该函数图