双曲线基础专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

长郡中学2025年高二双曲线基础专项训练1，点的坐标（c,b2a）2，距离：焦点到渐近线的距离为b3，中点弦（点差法证明）：若双曲线与直线l交于AB两点，其中A(x1，y1)，B(x4，第三定义：椭圆（双曲线）上的点到两端点的斜率之积为定值（焦点在x轴上），b25，设、是双曲线的两个焦点，O是双曲线的中心，P是双曲线上任意一点，，则．6，焦点三角形面积双曲线的焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．7，双曲线焦半径设为双曲线上的一点，①焦点在轴：在左支，在右支；焦点在轴：在下支，在上支．8，双曲线上的点到渐进线的距离之积为b21．设椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1和双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于().A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,9) D．eq\f(3,5)2．已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为().A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)3．已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的一条渐近线l：y＝2eq\r(2)x，设F1，F2分别是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|＝|OP|，O为坐标原点，则下列结论错误的是().A．C的虚轴长为4eq\r(2)B．∠F1PF2＝90°C．||PF1|－|PF2||＝2D．△PF1F2的面积为6eq\r(2)4．已知双曲线C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝().A．eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3) D．45．(多选题)设双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的离心率e可以为().A．eq\f(\r(5),2)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\r(5)D．2eq\r(5)6．(多选题)已知双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1，则下列说法正确的有().A．焦点坐标为(eq\r(2)，0)，(－eq\r(2)，0)B．渐近线方程为eq\r(7)x±3y＝0C．离心率为eq\f(4,3)D．焦点到渐近线的距离为eq\f(\r(14),4)7．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，其中点O为坐标原点，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝．8．若双曲线C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则实数a的取值范围为．9．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6eq\r(3)，试判断△MF1F2的形状．10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))，实轴长为2eq\r(2).(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点Q(1，1)的直线l与双曲线C交于M，N两点，且点Q恰好为线段MN的中点，求线段MN的长度．11．已知F1，F2分别是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48eq\r(3)，求双曲线E的方程．答案1，B解析设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2eq\r(6)，①|d1－d2|＝2eq\r(3)，②由①2＋②2，得deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝18.由①2－②2，得2d1d2＝6.又c＝2，所以cos∠F1PF2＝eq\f(deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)－4c2,2d1d2)＝eq\f(18－16,6)＝eq\f(1,3).2，D解析由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0).将x＝2代入x2－eq\f(y2,3)＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.又点A的坐标是(1，3)，且PF与x轴垂直，故△APF的面积为eq\f(1,2)×3×(2－1)＝eq\f(3,2).3，解析双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的一条渐近线l：y＝2eq\r(2)x，可得b＝2eq\r(2)，所以双曲线的虚轴长为4eq\r(2)，所以A正确；点P在l上，且|OF1|＝|OP|，所以三角形F1PF2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，所以B正确；双曲线方程为x2－eq\f(y2,8)＝1，所以a＝1，因为P在双曲线的渐近线上，所以不满足||PF1|－|PF2||＝2，所以C错误；双曲线的半焦距为3，一条渐近线方程为y＝2eq\r(2)x，所以sin∠POF2＝eq\f(2\r(2),3).所以eq\f(1,2)×2c×c×sin∠POF2＝eq\f(1,2)×2×9×eq\f(2\r(2),3)＝6eq\r(2)，即△PF1F2的面积为6eq\r(2)，所以D正确．4，B解析因为双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝eq\f(\r(3),3)x交于点M，又△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°.又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)(x－2)，,y＝\f(\r(3),3)x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3.故选B.5，解析当焦点在x轴上时，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，所以e＝eq\f(\r(5),2)；当焦点在y轴上时，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋4＝5，所以e＝eq\r(5).6，解析双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1，可知a＝3，b＝eq\r(7)，c＝4，所以双曲线的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，所以A错误；渐近线方程为eq\r(7)x±3y＝0，所以B正确；离心率为eq\f(4,3)，所以C正确；焦点到渐近线的距离为eq\f(4\r(7),\r(9＋7))＝eq\r(7)，所以D错误．7，解析取B为双曲线的右焦点，如答图．因为四边形OABC为正方形，且边长为2，第6题答图所以c＝|OB|＝2eq\r(2)，又∠AOB＝eq\f(π,4)，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,4)＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.8，解析将y＝－x＋1代入双曲线方程eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0，,Δ＝4a4＋8a2(1－a2)＞0，))所以0＜a＜eq\r(2)且a≠1.9，解(1)椭圆方程可化为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦点在x轴上，且c＝eq\r(9－4)＝eq\r(5)，故设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(4,b2)＝1，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,b2＝2，))所以双曲线的标准方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1.(2)不妨设点M在右支上，则|MF1|－|MF2|＝2eq\r(3)，又|MF1|＋|MF2|＝6eq\r(3)，解得|MF1|＝4eq\r(3)，|MF2|＝2eq\r(3).又|F1F2|＝2eq\r(5)，所以在△MF1F2中，边MF1最长，又cos∠MF2F1＝eq\f(|MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2,2|MF2||F1F2|)＜0，所以∠MF2F1为钝角．故△MF1F2为钝角三角形．10，解(1)双曲线C的焦点为(0，－eq\r(3))，(0，eq\r(3))，实轴长为2eq\r(2)，则c＝eq\r(3)，2a＝2eq\r(2)，即a＝eq\r(2)，则b2＝c2－a2＝3－2＝1，所以双曲线C的标准方程为eq\f(y2,2)－x2＝1.(2)设点M(x1，y1)，N(x2，y2).因为点Q(1，1)恰好为线段MN的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(2,1),2)－xeq\o\al(2,1)＝1，,\f(yeq\o\al(2,2),2)－xeq\o\al(2,2)＝1，))两式相减可得eq\f(1,2)(y1－y2)(y1＋y2)＝(x1－x2)(x1＋x2).所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y2－2x2＝2，))消去y得2x2－4x－1＝0，所以x1x2＝－eq\f(1,2).所以|MN|＝eq\r(1＋22)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(5)×eq\r(4＋2)＝eq\r(30).11，解(1)因为双曲线的渐近线的方程为bx±ay＝0，所以点F2到渐近线的距离为eq\f(|bc±0|,\r(b2＋a2))＝b(其中c是双曲线的半焦距).由题意知c＋a＝2b，又因为a2＋b2＝c2，解得b＝eq\f(4,3)a，故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.(2)因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2－|PF