2025-2026学年上海市普陀区曹杨二中数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025-2026学年上海市普陀区曹杨二中数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）A. B.C. D.2．据有关文献记载：我国古代一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数盏，底层的灯数是顶层的倍，则塔的底层共有灯（）A.盏 B.盏C.盏 D.盏3．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.4 B.C. D.94．在中，若，，则外接圆半径为（）A. B.C. D.5．抛物线的焦点到准线的距离是A. B.1C. D.6．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（）A.1 B.C.3 D.7．准线方程为的抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.8．三棱锥A-BCD中，E，F，H分别为边CD，AD，BC的中点，BE，DH的交点为G，则的化简结果为（）A. B.C. D.9．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．如图，过拋物线的焦点的直线与拋物线交于两点，与其准线交于点（点位于之间）且于点且，则等于（）A. B.C. D.11．已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.-4 B.4C.-2 D.212．抛物线的准线方程是A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在一村庄正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则村庄所在地大约有_______小时会受到台风的影响．（参考数据：）14．已知点为双曲线，右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，点为线段上一点，的角平分线与线段交于点，且满足，则________；若为线段的中点且，则双曲线的离心率为________15．下图是4个几何体的展开图，图①是由4个边长为3的正三角形组成；图②是由四个边长为3的正三角形和一个边长为3的正方形组成；图③是由8个边长为3的正三角形组成；图④是由6个边长为3的正方形组成若直径为4的球形容器（不计容器厚度）内有一几何体，则该几何体的展开图可以是______（填所有正确结论的番号）16．已知直线与平行，则实数的值为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.18．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数a的取值范围.19．（12分）如图，正方体的棱长为2，点，分别在棱，上运动，且.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值：（3）当，分别是棱，的中点时，求平面与平面的夹角的正弦值.20．（12分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.（1）求的公比；（2）求的通项公式及前n项和.21．（12分）求下列函数导数：（1）；（2）；22．（10分）已知p：，q：（1）若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据集合交集和补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据补集的运算，可得，所以.故选：C.2、C【解析】根据给定条件利用等差数列前n项和公式列式计算即可作答.【详解】依题意，层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列，，于是得，解得，，所以塔的底层共有灯盏.故选：C3、C【解析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值【详解】因为各项均为正数的等比数列满足，可得，即解得或（舍去）∵，，∴=当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立故的最小值等于.故选：C【点睛】方法点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，解题的关键是常量代换的技巧，所谓常量代换，就是把一个常数用代数式来代替，如，再把常数6代换成已知中的m+n,即.常量代换是基本不等式里常用的一个技巧，可以优化解题，提高解题效率.4、A【解析】根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.【详解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故选：A5、D【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.6、D【解析】由向量平行充要条件代入解之即可解决.【详解】由，可知，则有，解之得故选：D7、D【解析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.8、D【解析】依题意可得为的重心，由三角形重心的性质可知，由中位线定理可知，再利用向量的加法运算法则即可求出结果【详解】解：依题意可得为的重心，，，分别为边，和的中点，，，故选：D9、A【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.【详解】由题意得：在区间上恒成立，而，所以.故选：A10、B【解析】由题可得，然后结合条件可得，即求.【详解】设于点，准线交轴于点G，则，又，∴，又于点且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故选：B.11、B【解析】根据，利用等比数列的通项公式求解.【详解】因为，所以，则，解得，所以.故选：B12、C【解析】根据抛物线的概念，可得准线方程为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】结合勾股定理求得正确答案.【详解】如图，设村庄为A，开始台风中心的位置为B，台风路径为直线，因为点A到直线的距离为，∴村庄所在地受到台风影响的时间约为：（小时）.故答案为：本卷包括必考题和选考题两部分．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答14、①.②.【解析】过作，交于点，作，交于点，由向量共线定理可得；再由角平分线性质定理和双曲线的定义、结合余弦定理和离心率公式，可得所求值【详解】解：过作交于点，作交于点，由，得，由角平分线定理；因为为的中点，所以，由双曲线的定义，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及角平分线的性质定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题15、①【解析】根据几何体展开图可知①正四面体、②正四棱锥、③正八面体、④正方体，进而求其外接球半径，并与4比较大小，即可确定答案.【详解】若几何体外接球球心为，半径为，①由题设，几何体为棱长为3的正四面体，为底面中心，则，，所以，可得，即，满足要求；②由题设，几何体为棱长为3的正四棱锥，为底面中心，则，所以，可得，即，不满足要求；③由题设，几何体为棱长为3的正八面体，其外接球直径同棱长为3的正四棱锥，故不满足要求；④由题设，几何体为棱长为3的正方体，体对角线的长度即为外接球直径，所以，不满足要求；故答案为：①16、或【解析】根据平行线的性质进行求解即可.【详解】因为直线与平行，所以有：或，故答案为：或三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析，【解析】（1）若选①，则由题意可得，解方程组求出，从而可求得椭圆方程，若选②，，再结合离心率和求出，从而可求得椭圆方程，（2）由题意设直线MN的方程为，设，，，将直线方程代入椭圆方程中，消去，再利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，求出，结合前面的式子化简可得线过的定点，表示出的面积，利用基本不等式可求得其最大值【小问1详解】若选①：由题意知，∴.所以椭圆C的方程为.若选②：设圆与圆相交于点Q.由题意知：.又因为点Q在椭圆上，所以，∴.又因为，∴，∴.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】由题易知直线MN斜率存在且不为0，因为，故设直线MN方程为，设，，，∴，∴，，因为点N关于x轴对称点为，所以，所以直线方程为，令，∴.又，∴.所以直线过定点，∴.当且仅当，即时，取等号.所以面积的最大值为.18、（Ⅰ）单调递减区间为；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求函数的导函数，求的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为，即求，令，求的导函数判断的单调性求出最小值，可求出的范围.【详解】（Ⅰ）由题可知.令，得，从而，∴的单调递减区间为.（Ⅱ）由可得，即当时，恒成立.设，则.令，则当时，.∴当时，单调递增，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，∴.【点睛】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为或，转化为求函数的最值求出的范围.19、（1）证明见解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要条件是内积为零，建立空间直角坐标系，计算向量内积；(2)利用一元二次函数，求解体积的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小问1详解】如下图所示，以原点，，，所在直线分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，，因为，所以，即.【小问2详解】因为，所以故的最大值为【小问3详解】设平面的一个法向量，因为此时，，所以由得取，得，，又可取平面的一个法向量，所以故平面与平面的夹角的正弦值.20、（1）（2），【解析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：设数列公比为，因为为的等差中项，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比数列的公比为.【小问2