2026届河北省保定市部分高中高三上学期开学考试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C.3 D.64.已知是抛物线上两点，则（）A.1 B.2 C.4 D.85.下列区间中，函数存在零点的是（）A. B. C. D.6.圆上的点到直线的距离可能为（）A.8 B.6 C.4 D.27.我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（）A.66个 B.55个 C.36个 D.28个8.在中，是关于的方程的两个实数根，则（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组数据，则（）A.该组数据的极差为70B.该组数据的众数为30C.该组数据的第60百分位数为40D.该组数据的平均数为6010.已知函数的最小正周期为，且，则（）A.B.C.在上恰有4个零点D.将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象11.如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，.现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接.下列结论正确的是（）A.B.直线与所成角的最大值为C.若，则三棱锥外接球的半径为D.若，则直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量.若，则__________.13.已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________.14.已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.

16.如图，在正三棱柱中，，是的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.17.某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.月份123456789101112销售量652331425228374544512538（1）求2024年月销售等级为“特优”的频率.（2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.（3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望.18.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）若，证明：.

19.已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线.（1）求的方程.（2）设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值.（3）已知为坐标原点，点，、是上异于A的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值.河北省保定市部分高中2026届高三上学期开学考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知实数满足，则的最小值为（）A. B. C.3 D.64.已知是抛物线上两点，则（）A.1 B.2 C.4 D.85.下列区间中，函数存在零点的是（）A. B. C. D.6.圆上的点到直线的距离可能为（）A.8 B.6 C.4 D.27.我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（）A.66个 B.55个 C.36个 D.28个8.在中，是关于的方程的两个实数根，则（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有一组数据，则（）A.该组数据的极差为70B.该组数据的众数为30C.该组数据的第60百分位数为40D.该组数据的平均数为6010.已知函数的最小正周期为，且，则（）A.B.C.在上恰有4个零点D.将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象11.如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，.现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接.下列结论正确的是（）A.B.直线与所成角的最大值为C.若，则三棱锥外接球的半径为D.若，则直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量.若，则__________.13.已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________.14.已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.

16.如图，在正三棱柱中，，是的中点.（1）证明：平面.（2）求点到平面的距离.17.某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示.月份123456789101112销售量652331425228374544512538（1）求2024年月销售等级为“特优”的频率.（2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率.（3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望.18.