2026届山东省潍坊市高三上学期开学调研监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省潍坊市2026届高三上学期开学调研监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式，解得或，即或，又集合，所以.故选：C.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】因为复数对应的点的坐标是，所以复数，则的虚部是4.故选：C.3.已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，，，易知时无意义，故A错误；对于B，，，时，，时，，时，，故B正确；对于C，，，时，，故C错误；对于D，，，时，，故D错误.故选：B.4.若双曲线：过点，则C的焦距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：，所以，所以，故选：D.5.已知，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，，故选：A．6.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，为中点，则，因为，，所以为等边三角形，则，，而，则，由，，所以.故选：B.7.Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，两式相除可得，所以.故选：C.8.设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】定义域为：.或，若，此时，为使，则，则此时；若，则此时，为使，则，则此时，综上可得.则，当且仅当，即时取等号.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（）A.1月至7月全社会用电量逐月增加B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大【答案】BD【解析】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误；B：由图，用电量的极差为，故正确；C：数据从小到大有，又，所以第75百分位数是第六个数据，故错误；D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为，显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确.故选：BD.10.已知抛物线：的焦点为，过F的一条直线交于A，B两点（A位于第一象限），过A，B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若直线的倾斜角为，则D.记，，的面积分别为，，，则【答案】ABD【解析】如图所示，由题意可知直线为抛物线的准线，直线与抛物线必相交，设，，可得，对于选项A：因为抛物线：的焦点为，则，解得，故A正确；对于选项B：由选项A可知抛物线：，因为，即，则，即，所以，故B正确；对于选项C：若直线的倾斜角为，则直线的斜率，可得直线，联立方程，消去y可得，解得，结合图形可知，即，所以，故C错误；对于选项D：设直线，联立方程，消去x可得，则，可得，，由题意可知：，，可得，且，所以，故D正确；故选：ABD.11.在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，过E，F，G作正方体的截面，则（）A.B.截面多边形存在外接圆C.截面多边形的面积为D.截面所在平面与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】如图所示，根据正方体的性质可知，平面，底面对角线，因为为中线，则，又因为，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确.如图，延长交于，交于，连接交于，连接交于.根据正方体的性质可知，，即，且公用顶点，显然这两个三角形外心不重合，故这个五边形没有外接圆，B错误；如上图，因为，为中点，则，，，，，，，，所以，，所以，故C正确.如上图，因为，，由二面角定义可知，为截面与底面所成角（或补角），因为，，由余弦定理得，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.等差数列的前项和为，已知，，则_____．【答案】5【解析】由题设，即，则，，即，则.故答案为：5.13.袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．【答案】1【解析】记取出的两个球都是红球为事件A，则，，即解得或（舍），故的可能取值为，则，，故答案为：1.14.已知函数，则曲线在处的切线方程_____；若，则a的值为_____．【答案】①.②.2【解析】因为，则，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以所求切线方程为，即；若，可得，构建，则，注意到，则，可得；下证当时，，构建，则，构建，则，可知在内单调递减，且，当时，则，即；当时，则，即；可知在内单调递增，在内单调递减，则，即，且，整理可得，即，可知符合题意；综上所述：.故答案为：；2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和．【答案】（1）证明：因为，所以.由可知，，则，所以数列是等比数列，其公比为4，首项为，则，所以的通项公式为.（2）解：由于，所以，则，即的前项和.16.如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明：连接，因，，则，则，又，，则，则，即为线段的中点，因为中点，则为的中位线，则，因平面，平面，则平面；（2）解：设点到平面的距离为，因，，则，由（1）可知，则，即，因，则，则，因底面，平面，则，因，则，因，则，即，又底面，，则底面，又底面，则，则，则与平面所成角的正弦值为.17.在中，．（1）求A；（2）若的角平分线与边相交于点，且，，求的面积【答案】解：（1）由，可得，即，解得或，因为，可得，所以，所以.（2）由（1）知：，因为为的角平分线，且，，可得，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），设，由，可得，即，解得，即，所以的面积为.18.已知椭圆：的离心率为，右顶点为．（1）求的方程；（2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q．①求的最小值；②求的最大值．【答案】解：（1）因的离心率为，则，从而，又右顶点为，则，，则椭圆方程为：；（2）①因过点的直线不过点B，则直线斜率不为0，设：.将直线与椭圆联立，则，消去得：.因，设，则.则令，则.设,则，因函数在上单调递减，故,即,故得,即的最小值为；②由题，，则Q在以为直径的圆T上，B在圆T外，如图，过B作圆T切线，切点为J，连接JQ，JM，由弦切角定理可得，又，则，从而.又连接，则，.由（1），即，则，又由①得：，则因，则，此时.则的最大值为.19.已知函数．（1）讨论的极值；（2）若曲线有两条过原点的切线，求的取值范围；（3）设，若，证明：对任意正实数，存在唯一的，使得成立．【答案】（1）解：函数的定义域为，对求导得，当时，恒成立，在上单调递增，无极值；当时，令，即，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此在处取得极大值，极大值为，无极小值.综上，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.（2）解：设切点为，，则切线方程为，因为切线过原点，则，即，化简得，曲线有两条过原点的切线，等价于方程有两个不同的正实数根，令，则，当时，恒成立，在上单调递增，不满足有两个不同的正实数根，当时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，,当时，,要使有两个不同的正实数根，则，即，，，，解得，综上，的取值范围.（3）证明：先证存在性，，，，，，，则要证，即证，，，令，则，即，令，，令，则，所以在上单调递增，，所以，在上单调递增，因此存在使得，即存在使得，又，故，故，因此，故，即，即存在，使得；再证唯一性，假设存在，使得，即，显然，，因此唯一性得证.综上，对任意正实数，存在唯一的，使得成立．

山东省潍坊市2026届高三上学期开学调研监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式，解得或，即或，又集合，所以.故选：C.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（）A.3 B. C.4 D.【答案】C【解析】因为复数对应的点的坐标是，所以复数，则的虚部是4.故选：C.3.已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，，，易知时无意义，故A错误；对于B，，，时，，时，，时，，故B正确；对于C，，，时，，故C错误；对于D，，，时，，故D错误.故选：B.4.若双曲线：过点，则C的焦距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得：，所以，所以，故选：D.5.已知，则（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】，，故选：A．6.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，为中点，则，因为，，所以为等边三角形，则，，而，则，由，，所以.故选：B.7.Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，两式相除可得，所以.故选：C.8.设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】定义域为：.或，若，此时，为使，则，则此时；若，则此时，为使，则，则此时，综上可得.则，当且仅当，即时取等号.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（）A.1月至7月全社会用电量逐月增加B.1月至7月全社会用电量的极差是20.7C.1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3D.1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大【答案】BD【解析】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误；B：由图，用电量的极差为，故正确；C：数据从小到大有，又，所以第75百分位数是第六个数据，故错误；D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为，显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确.故选：BD.10.已知抛物线：的焦点为，过F的一条直线交于A，B两点（A位于第一象限），过A，B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.若直线的倾斜角为，则D.记，，的面积分别为，，，则【答案】ABD【解析】如图所示，由题意可知直线为抛物线的准线，直线与抛物线必相交，设，，可得，对于选项A：因为抛物线：的焦点为，则，解得，故A正确；对于选项B：由选项A可知抛物线：，因为，即，则，即，所以，故B正确；对于选项C：若直线的倾斜角为，则直线的斜率，可得直线，联立方程，消去y可得，解得，结合图形可知，即，所以，故C错误；对于选项D：设直线，联立方程，消去x可得，则，可得，，由题意可知：，，可得，且，所以，故D正确；故选：ABD.11.在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，过E，F，G作正方体的截面，则（）A.B.截面多边形存在外接圆C.截面多边形的面积为D.截面所在平面与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】如图所示，根据正方体的性质可知，平面，底面对角线，因为为中线，则，又因为，所以，又因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确.如图，延长交于，交于，连接交于，连接交于.根据正方体的性质可知，，即，且公用顶点，显然这两个三角形外心不重合，故这个五边形没有外接圆，B错误；如上图，因为，为中点，则，，，，，，，，所以，，所以，故C正确.如上图，因为，，由二面角定义可知，为截面与底面所成角（或补角），因为，，由余弦定理得，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.等差数列的前项和为，已知，，则_____．【答案】5【解析】由题设，即，则，，即，则.故答案为：5.13.袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．【答案】1【解析】记取出的两个球都是红球为事件A，则，，即解得或（舍），故的可能取值为，则，，故答案为：1.14.已知函数，则曲线在处的切线方程_____；若，则a的值为_____．【答案】①.②.2【解析】因为，则，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以所求切线方程为，即；若，可得，构建，则，注意到，则，可得；下证当时，，构建，则，构建，则，可知在内单调递减，且，当时，则，即；当时，则，即；可知在内单调递增，在内单调递减，则，即，且，整理可得，即，可知符合题意；综上所述：.故答案为：；2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，．（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求的前项和．【答案】（1）证明：因为，所以.由可知，，则，所以数列是等比数列，其公比为4，首项为，则，所以的通项公式为.（2）解：由于，所以，则，即的前项和.16.如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明：连接，因，，则，则，又，，则，则，即为线段的中点，因为中点，则为的中位线，则，因平面，平面，则平面；（2）解：设点到平面的距离为，因，，则，由（1）可知，则，即，因，则，则，因底面，平面，则，因，则，因，则，即，又底面，，则底面，又底面，则，则，则与平面所成角的正弦值为.17.在中，．（1）求A；（2）若的角平分线与边相交于点，且，，求的面积【答案】解：（1）由，可得，即，解得或，因为，可得，所以，所以.（2）由（1）知：，因为为的角平分线，且，，可得，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍去），设，由，可得，即，解得，即，所以的面积为.18.已知椭圆：的离心率为，右顶点为．（1）求的方程；（2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q．①求的