甘肃省兰州市五校联考2025-2026学年度九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年度第一学期交大附中五校联考九年级数学期中考试试卷一．选择题（共11小题,，共33分）1．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为（）A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×1072．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．3．如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝105°，则∠1的度数是（）A．35° B．30° C．60° D．45°4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．5．下列投影中，不是中心投影的是（）A．路灯下行人的影子 B．舞台上演员的影子 C．台灯下书本的影子D．太阳光下旗杆的影子6．根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“G、D”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，列出方程为（）A． B． C． D．7．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且△ABC∽△AED，若，S△ADE＝1，则S△ABC值为（）A．9 B．6C．3D．18．关于一次函数y＝4x+1的性质及其图象，下列说法正确的是（）A．y的值随x值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限 C．点（﹣1，﹣3）一定在函数图象上 D．（﹣2，y1）和（3，y2）是图象上两点，则y1＞y29．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE＝5，CE∥BD．若AC＝6，BD＝10，则四边形OCED的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．2010．若下列反比例函数的表达式均为，则图形的面积为4的是（）A． B． C． D．11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6二．填空题（共4小题，共12分）12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝4，则∠B的度数为13．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0.5，4），则点D的坐标为．第13第13题第15题14．三张背面完全相同的数字牌，正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张记为a，将数字牌放回洗匀，再随机抽取一张记为b，则a≤b的概率是．15．如图，BC、AE是锐角△ABF的高，相交于点D，若AD＝BF，AF＝6，CD＝2，则BD的长为三．解答题（共11小题，共75分）16．（5分）计算：2sin60°+|﹣1|+（12）﹣1-17．（5分）解方程：（1）x2﹣4x＝5．18．（5分）解方程组:x-219．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．（1）求AB的长；（2）求cos∠ADC的值．20．（7分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝mx（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求不等式kx+b﹣mx＜021．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，在AB边上取点E，连接CE，作EF⊥CE交AD边于点F．（1）求证：AEBC（2）若EB＝2，求DF的长．22．（7分）【阅读材料】老师的问题：如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求作菱形ADCE．小丽的做法：（1）取CD的中点M；（2）连接BM并延长到点E，使ME＝MB；（3）连接AE，CE．四边形ADCE即为所求作的菱形．【解答问题】（1）请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图痕迹；（2）请根据材料中的信息，证明四边形ADCE是菱形．23．（7分）母爱如诗，润物无声．某校在全校学生中组织开展了“感恩慈母，从家务开始”主题劳动活动，让孩子们在母亲节这个特殊的日子里，通过帮妈妈做家务的方式感恩母亲，在实践中感受劳动带来的幸福感．为了解此次活动的开展情况，校团委随机抽取该校部分学生母亲节这天家务劳动时间，形成了如下调查报告：××学校学生“感恩慈母，从家务开始”劳动活动调查报告调查主题××学校学生母亲节家务劳动时间调查方式抽样调查调查对象××学校学生数据收集、整理调查结论…请根据以上调查报告，解答下列问题：(1)补全条形统计图，所调查学生母亲节家务劳动时间的众数为______小时，中位数为______小时；(2)求所调查学生母亲节家务劳动时间的平均数；(3)若该校有1200名学生，请你估计该校母亲节家务劳动时间不少于1.5小时的学生有多少24．（8分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：课题测量四门塔的高度测量工具测角仪、无人机等测量示意图测量过程如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；（2）求四门塔DE的高度．25．（9分）课本再现如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG）（1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段BG＝BE，构造出≌，进而得到AE＝EF．类比迁移（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB＝2BC，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交矩形的外角平分线CF于点F，请判断AE与EF的数量关系，并说明理由．拓展探究（3）如图3，四边形ABCD是边长为3的菱形，∠B＝60°，点E为射线BC上一动点，连接AE，作∠AEF＝60°，且EF与菱形外角∠DCG的平分线交于点F．当CF=23时，请直接写出26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图．（1）若A点坐标为（2，0），①当B点坐标为（5，1）时，点A，B的“合成矩形”的面积是；②若点P在直线y＝﹣2x+2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标；（2）点O的坐标为（0，0），点D为直线y＝x+b（b≠0）上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围．

2025-2026学年度第一学期交大附中五校联考九年级数学期中考试参考答案一．选择题（共11小题）题号1234567891011答案B．CDDDAACCCB二．填空题（共5小题）12．60°．13．（5.5，4）．．14．215．2三．解答题（共8小题）16.解：2×32+1+2-2=3-317．解方程：解：（1）x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x+1）（x﹣5）＝0，∴x+1＝0或x﹣5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5；18．解：x-2y=5①3x+2y=7②①+②，得：4x＝12，即x＝3，将x＝3代入x﹣2y＝5，得3﹣2y＝5，解得：y＝﹣1，∴方程组的解为：x=319．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，∴＝tanB＝，解得：AC＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4；（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2＝CD2+AC2，即（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝3，∴CD＝3，AD＝5，则cos∠ADC＝＝．20．解：（1）∵y2＝过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：y2＝，当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），则，解得，∴y1＝x+1；（2）由图象可知，不等式kx+b﹣＜0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．21．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∵∠AFE+∠AEF＝90°，∠CEB+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴∠AFE＝∠CEB，又∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△BCE，∴AEBC（2）解：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，且EB＝2，∴AE＝AB﹣BE＝6，由（1）知AEBC∴64解得：AF＝3，∴DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．22．解：（1）如图所示，四边形ADCE即为所求；（2）证明：∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=1∵ME＝MB，∴DM=12CD=1∴CD＝AE∴四边形AECD是平行四边形，∵CD＝AD，∴四边形AECD是菱形．23．（1）解：抽取学生的总人数为：（人），故所调查学生母亲节家务劳动时间为小时的人数为：（人），补全条形统计图如图所示：，因为所调查学生母亲节家务劳动时间为小时的人数最多，故众数为；所调查学生母亲节家务劳动时间处在第、位分别为、，故中位数为；（2）解：由题意可得（小时），故所调查学生母亲节家务劳动时间的平均数为小时；（3）解：（名），故估计该校母亲节家务劳动时间不少于1.5小时的学生有名．24．解：（1）由题意可知：AB＝10×8＝80（m），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝80m，答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80m；（2）如图，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，∴EF＝AB＝80m，设DE＝xm，则DF＝（80﹣x）m，在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，则FC＝DF＝（80﹣x）m，∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，∵tan∠FBD=DF∴DF＝BF•tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36，∴80﹣x＝57.6﹣0.36x，x﹣0.36x＝80﹣57.6，x＝35，25.解：（1）△GAE，△CEF；（2）AE＝3EF．理由：在AB上取点H，使BH＝BE，连接HE，由（1）同理可得△HAE∽△CEF，∴AEEF∵AB＝2BC，∴ABBC=设BC＝2x，则BH＝BE＝CE＝x，AB＝4x，∴AH＝3x，∴AEEF=即AE＝3EF．（3）如图所示，过点E作EH⊥BC，交AB于点H，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝3，AB∥CD，∠BHE＝30°，∠B＝∠DCG＝60°，∠BCD＝120°，∠BAE+∠BEA＝120°，∴∠AHE＝150°，BH＝2BE，HE=3EC∵CF是角平分线，∴∠DCF＝30°，∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝120°+30°＝150°＝∠AHE，∵∠AEF＝60°，∴∠BEA+∠CEF＝120°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△AHE∽△ECF，∴AHEC设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝3﹣x，AH＝AB﹣BH＝3﹣2x，∴3-2x3-x解得，x2﹣7x+6＝0，解得，x1＝1，x2＝6，当x＝1时，点E在BC上，CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2；当x＝6时，点E在BC延长线上，如图所示，∴CE＝BE﹣BC＝6﹣3＝3；综上所述，CE的长为2或3．26.解：（1）①：3．②如图2，A的坐标为（2，0），点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形时，当C在x轴上方时，∵点A，C的“合成矩形”为正方形AMCO，∴OA＝OC＝2，∴C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+b，将A（2，0），C（0，2）代入表达式得：，解得．∴直