（人教A版）必修一高一数学上学期同步考点讲练1.4 充分、必要条件（解析版）

1/11.4充分、必要条件（精讲）考点一充分、必要条件的判断【例1】设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，，故充分性成立，，解得：或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】A【解析】当时，成立，即充分性成立，当时，满足，但不成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由得不到，如，，满足，但是，故充分性不成立；由则，故必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件；故选：B3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解方程可得或，，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．（多选）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件【答案】BC【解析】对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；对于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正确；对于C，的两个根为或，C正确；对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误．故选:BC．考点二充分、必要条件的选择【例2】若“”是“”的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，“”是“”的充分不必要条件故故故选：B【一隅三反】1．使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是（

）A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜0【答案】A【解析】设p:0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由:0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，故选：A2．“”成立的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以A为“”成立的充要条件；B为“”成立的充分不必要条件；C为“”成立的既不充分也不必要条件；D为“”成立的必要不充分条件．故选：D3．使成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据充分条件的定义，由可以得出，B正确；若，取，无法得到，A错误；C显然错误；若，取，无法得到，D错误.故选：B.考点三求参数【例3-1】若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，则需，解得，即实数a的取值范围是.故选：C.【例3-2】在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.（1）当a=2时，求；（2）若选，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，集合，，所以；（2）选择因为“”是“”的充分不必要条件，所以AB，因为，所以又因为，所以

等号不同时成立，解得，因此实数a的取值范围是.选择因为，所以.因为，所以.又因为，所以，解得，因此实数a的取值范围是.选择因为，而，且不为空集，，所以或，解得或，所以实数a的取值范围是或．【一隅三反】1．已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以或，所以解集为，又因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，所以，故选：C.2．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)或【解析】(1)当时，集合，集合，所以；(2)i.当选择条件①时，集合，当时，，舍；当集合时，即集合，时，，此时要满足，则，解得，结合，所以实数m的取值范围为或；ii.当选择条件②时，要满足是的充分条件，则需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；iii.当选择条件③时，要使得，使得，那么需满足在集合时，集合是集合的子集，即，解得，所以实数m的取值范围为或；故，实数m的取值范围为或.3．已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)(2)【解析】(1)当时，集合，因为，所以；(2)若选择①，则由A∪B＝B，得．当时，即，解得，此时，符合题意；当时，即，解得，所以，解得：；所以实数的取值范围是．若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；所以实数的取值范围是．考点四充分必要条件的证明【例4】证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【解析】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【一隅三反】1．求方程至少有一个负根的充要条件.【答案】且【解析】必要性：设，为方程的两根.∵，∴，∴方程至少有一个负根应满足：当正负根各有一个时，则，即，解得.当有两个负根时，则解得，充分性：当且，当时，，此时两根均为负；当时，，此时方程正负根各有一个,综上所述，方程至少有一个负根的充要条件是且.2．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.【解析】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=，所以a≥1，且0<≤1，故当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.再证充分性：因为b≥2，当x=时，函数有最小值y=a2·-2a·+b=b-1≥1，所以对于任意，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥2.3．已知，求证：成立的充要条件是.【解析】证明：（1）充分性（条件→结论）因为，而，所以成立；（2）必要性（结论→条件）因为，而，又，所以且，从而，且.所以，所以成立.综上：成立的充要条件是.1.4充分、必要条件（精练）1充分、必要条件的判断1．设P：，q：，则p是q成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分条件.故选：B.2．对于实数x，“”是“”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性：由，能推出，所以是的充分条件，必要性：由，不能推出，所以是的不必要条件.故选A．3．对于实数x，“0＜x＜1”是“x＜2”的（

）条件A．充要 B．既不充分也不必要C．必要不充分 D．充分不必要【答案】D【解析】若，则一定有，故充分性满足；若，不一定有，例如，满足，但不满足，故必要性不满足；故“0＜x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件.故选：.4．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可以推出，但反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选:A5．“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可推出，由，即或，推不出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：B.6．若条件p：，q：，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B.7．“”是“关于的方程有实数根”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A8．成立是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵x∈A∩B⇒x∈A，当x∈A时，不一定有x∈A∩B，x∈A∩B成立是x∈A成立的充分不必要条件．故选：A．9．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，或；时，或成立时，也成立，但成立时，不一定成立是的充分不必要条件，选项A正确故选：A.10．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】化简得，因为时，；而时，不一定得出.故“”是“”的充分不必要条件故选：A2充分、必要条件的选择1．（多选）使成立的一个充分条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】或，故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB.2．（多选）已知a，，则的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；故选：CD3．（多选）使，成立的充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由可得的集合是，A.由，所以是成立的一个必要不充分条件；B.由，所以是成立的一个充分不必要条件；C.由=，所以是成立的一个充要条件；D.由，所以是成立的一个充分不必要条件；故选：BD.4．（多选）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，解得：，对A，，是不等式成立的必要不充分条件；对B，，是不等式成立的必要不充分条件；对C，与没有互相包含关系，是不等式成立的既不充分又不必要条件；对D，，是不等式成立的充分不必要条件；故选：AB.5．“或”的一个必要条件是()A．

B．C．或

D．或【答案】C【解析】依据题意，只需要“或”的所有元素都在所求的范围里即可.所以A、B、D错，C对‘’故选：C3集合的表示方法1．已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，又是的必要不充分条件，所以，故选：D.2．（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】由解得：.因为“”是“”的必要不充分条件，所以只需，对照四个选项，a可以取1，2.故选：AB3．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．4．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】由不等式，当时，不等式的解集为空集，显然不成立；当时，不等式，可得，要使得不等式的一个充分条件为，则满足，所以，即∴实数a的取值范围是.故答案为：.5．已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】因为p是q成立的必要非充分条件，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.6．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【解析】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．7．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．【答案】0【解析】，则{x|}＝{x|}，即.故答案为：0.8．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)条件选择见解析，【解析】(1)当时，集合，，所以；(2)若选择①A∪B＝B，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是．9．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在时恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；②当，即时，解集，满足题设条件；③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，，此时.综上①②③可得10．已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）或；（2）【解析】（1），解得：，即，当时，，解得：，即，，或；（2），解得：，即，是的必要不充分条件，，，解得：.所以实数a的取值范围是.11．已知集合，.(1)若，求实数t的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由得解，所以，又若，分类讨论：当，即解得，满足题意；当，即，解得时，若满足，则必有或；解得.综上，若，则实数t的取值范围为.(2)解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，若，即，解得，若，即，即，则必有，解得，综上可得,，综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求．4充分必要条件的证明1．求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．【答案】或【解析】当开口向上，，所以,当开口向下，，所以满足充要条件故答案为：或.2．设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.【解析】充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程