（人教A版）必修一高一数学上学期同步考点讲练2.1 等式与不等式的性质（解析版）

1/12.1等式与不等式的性质（精讲）考点一用不等式（组）表示不等关系【例1-1】完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20000元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，可得，化简得，故正确答案为A.【例1-2】有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如表：轮船运输量飞机运输量粮食300150石油250100现在要在一天内至少运输2000粮食和1500石油.写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式组.【答案】【解析】设需安排艘轮船和架飞机，则，即.【一隅三反】1．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D2．如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故选：B．3．用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.【答案】(1);(2);(3)【解析】（1）；（2）；（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则考点二实数式比较大小【例2】已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【解析】，因为，所以，又，所以，即.故选：B【一隅三反】1．若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】因为，所以，故选：B2．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（

）A．y1>y2 B．y1＝y2C．y1<y2 D．随x值变化而变化【答案】A【解析】,故，故选：A3．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（

）A．M<N B．M>NC．M＝N D．无法确定【答案】B【解析】∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故选：B.考点三不等式的性质【例3】若，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则<【答案】C【解析】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，故选：C【一隅三反】1．下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A，若，由可得：，A错误；对于B，若，则，此时未必成立，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.2．（多选）下列命题是真命题的是（

）A．若，则B．若，且，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】对于A，若，当时，，故A错误；对于B，若，且，则，所以，所以，故B正确；对于C，若，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：BD.3．（多选）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】由不等式性质知若，则，即，A对，取，则，，，B错，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，因为，所以，，所以，D对，故选：ACD.考点四利用不等式求范围【例4】已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，，所以，所以的取值范围是，故选：D.【一隅三反】1．已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，，得故选：C2．已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，由，得.故选：A.3．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，解得，，，，，由不等式的性质可得，即，因此，的取值范围是，故选D.考点五不等式的证明【例5】利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明：，，又，；(2)证明：，，又，．【一隅三反】1．证明下面的结论：（1）如果，，且，那么；（2）如果，，那么；（3）如果，，那么；（4）如果，，，那么.【解析】（1），，则有；（2），，则有；（3），，；，，；那么；（4）由（3）可得，且，那么.2．（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵，∴；（2）∵，当且仅当时等号成立，∴2.1等式与不等式的性质（精练）1用不等式（组）表示不等关系1．用不等式表示，某厂最低月生活费a不低于300元（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】依题意：生活费a不低于300元，即.故选：B2．完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因请木工每人需付工资800元，木工人，则需付木工工资元，因请瓦工每人需付工资700元，瓦工人，则需付瓦工工资元，于是得完成这项装修工程，共需付工资()元，而工人工资预算为20000元，因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，所以，满足的关系式是：.故选：D3．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【解析】长、宽、高之和不超过Mcm，.故选：A.4．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】长、宽、高之和不超过，.故选：.2比较代数式的大小1．已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，当时，.故选：C.2．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（

）A．M>N B．M＝NC．M<N D．与x有关【答案】A【解析】因为，．故选：．3．设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为（

）A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定【答案】A【解析】M－N＝2a(a－2)＋4－(a－1)(a－3)＝＋1>0，故选：A.4．设，则M与N的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【解析】由，则，所以.故选：A.5．设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D6．设，则m，n的大小关系是___________．【答案】【解析】∵∴故答案为：7．已知，，则_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】因为，所以.故答案为：<.8．若x∈R，则与的大小关系为________.【答案】【解析】∵－＝＝≤0，∴≤.故答案为:9．比较与的大小．【答案】<【解析】,<.10．比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)；(2)【解析】(1)因为，所以，当且仅当时，取等号.即(2)因为，所以，当且仅当时，取等号.故.11．已知，试比较与的大小.【答案】【解析】，，.两数作商，.12．（1）设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；（2）已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n＞2时比较cn与an＋bn的大小．【答案】（1）(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)；（2）an＋bn＜cn.【解析】（1）(x2＋y2)(x－y)-(x2－y2)(x＋y)因为，则，故，即(x2＋y2)(x－y)-(x2－y2)(x＋y)>0(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y).（2）∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn＞0.而＝∵a2＋b2＝c2，则＝1，∴0＜＜1，0＜＜1.∵n∈N，n＞2，∴，.∴＝＜＝1.∴an＋bn＜cn.3不等式的性质1．若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故选：D.2．若，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，A错，B错；即，C错；，D正确．故选：D．3．如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，则，故A错误；若，，则，故B错误；若，则，故C正确；若，则，故D错误.故选：C.4．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为为非零实数，所以，因为，所以，即，所以D正确，故选：D5．若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A：当时，显然不成立；B：当时，显然没有意义；C：当时，显然不成立；D：根据不等式的性质，由能推出，故选：D6．若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，，故A正确B，C，D均不成立，可举反例，取，故选：A7．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】对于A选项，若，，则，故，A错；对于B选项，若，，则，所以，，故，B对；对于C选项，若，则，则，C错；对于D选项，若，则，所以，，D错.故选：B.8．对于任意实数，给定下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A：当时，若则，故A错误；对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；对于C：若，则，所以，故C正确；对于D：若，满足，但是，故D错误；故选：C9．（多选）已知，，满足，且，则下列选项一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】，且，可得对于A，，故，A正确对于B，，故，B正确，对于C，的符号不确定，无法比较，故C错误对于D，，故，D正确，故选：ABD10．设，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因为，故，故A错误，而，故，故B正确.又，故即，故D正确.取，此时，但，故C错误.故选：BD.11．（多选）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．故选：BCD12．（多选）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于A：因为，所以.所以，所以.故A错误；对于B、C：因为，所以.所以，所以.故B正确，C错误；对于D：因为，所以，所以.故

D正确.故选：BD4利用不等式求范围1．若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，．故选：A2．（多选）设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A，，即，故A正确；对于B，，则，即，故B错误；对于C，，即，故C正确；对于D，由题知，则，故D错误；故选：AC3．（多选）已知实数，满足，，则可能取的值为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意，实数，满足，，令，即，可得，解得，所以，则，，所以.故选：BC.4．已知，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，，则，所以，即的取值范围是．答案为：.5．若实数，满足，，则的取值范围是________.【答案】【解析】因为，所以