（人教A版）必修一高一数学上学期同步考点讲练3.1 函数的概念及表示（解析版）

20/203.1函数的概念及表示（精讲）考点一区间的表示【例1-1】将下列集合用区间表示出来．(1)；(2)；(3)；(4)或．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】(1)用区间表示为；(2)用区间表示为；(3)用区间表示为；(4)或用区间表示为.【例1-2】若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是________.【答案】【解析】由区间的定义知，解得.【【方法总结】用区间表示数集的原则有①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．【一隅三反】1．用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根据集合与区间的改写，可得．（2）由或．（3）由或．2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为，故答案为：D.2．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.【答案】.【解析】由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.故答案为：考点二函数概念的辨析【例2-1】设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【答案】C【解析】由题意，函数的定义域为，对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C【例2-2】下列是从集合A到集合B的函数的是（

）A．，对应法则B．，，对应法则C．，对应法则D．，，对应法则【答案】B【解析】A：当，，但，所以集合A中的一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；【一隅三反】1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B2．如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．【答案】④【解析】根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；①，②中函数的值域不是，故排除①②③；可知④符合题意.故答案为：④．3．有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．【答案】（1）(4)【解析】（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)考点三函数的定义域【例3-1】函数的定义域为（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】要是函数有意义，必须，解之得则函数的定义域为故选：D【例3-2】（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．(4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】（1）；（2）；（3）.(4)【解析】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.（4）由题函数的定义域为，在中，所以，在中，所以.【例3-3】（1）若函数的定义域为R，则a的范围是（

）A．B．C．D．（2）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是(

)A．B．C．D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）若的定义域为R，则当时，满足题意；当时，，解得：；当时，无法满足定义域为R．综上所述：，D正确．故选：D（2）由题意可知，的解集为，①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；②当时，若要的解集为，则只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，即，解得，综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.【一隅三反】1．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】使得函数的表达式有意义，则且，解得故选：D2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.3．已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以，则，所以，解得，所以的定义域为，故选：B4．已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，只需，即，所以函数的定义城是.故答案为：5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.【答案】【解析】函数的定义域为，即，所以，所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.6．已知函数，若的定义域为，则的取值范围是________．【答案】【解析】由已知得对恒成立，即，∴.故答案为：.7．函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由于，所以解得或.所以的取值范围是.故答案为：8．已知函数的定义域为，求实数的取值范围.【答案】【解析】由题意，函数的定义域为，即在上恒成立，当时，对任意恒成立；当时，要使恒成立，即方程无实根，只需判别式，解得，综上，实数的取值范围是.考点四函数的表示方法【例5-1】已知函数，部分与的对应关系如表：则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由表知，，则．故选：D．【例5-2】（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求函数的解析式；（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）∵，∴．（2）设，则，，即，∴，∴．（3）∵是二次函数，∴设．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，则，∴．【例5-3】作出下列函数的大致图像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】见解析【解析】（1），图象如图所示：（2），图象如图所示：（3），图象如图所示：（4），图象如图所示：（5），【一隅三反】1．已知函数，用列表法表示如下：则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由列表可知.故选：B.2．根据下列条件，求函数的解析式；（1）已知是一次函数，且满足；（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；（6）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．【解析】（1）设，则所以解得：所以；（2）设，解得：（3），令，由双勾函数的性质可得或，，或（4）因为对一切实数､都成立，且令则，又因为所以，即（5）将代入等式得出，联立，变形得：，解得（6）由题意得：定义域为设，则

．3．把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：（1）；（2）.【答案】（1）定义域为，值域为，图像见解析；（2）定义域为，值域为，图像见解析.【解析】（1），定义域为，值域为，图像如图所示：（2）定义域为，值域为.图像如图所示：考点五相等函数的判断【例5】下面各组函数中是同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】C【解析】A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．【一隅三反】1.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.故选：A.2．下列函数中与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数的定义域为R.对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.故选：D.3．下列各组函数的图象相同的是（

）A． B．

C． D．【答案】B【解析】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.A：的定义域为，的定义域为，故排除A；B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；D：与的解析式不相同，故排除D.故选：B考点六分段函数【例6-1】函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【答案】A【解析】若f(x)＝2，①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).综上，x＝.故选：A.【例6-2】已知函数，若，则a的值是（）A．3或 B．或4 C． D．3或或4【答案】B【解析】函数，当时，，解得，当时，，解得，综上：或，故选：B【一隅三反】1．已知函数(1)求的值；(2)若，求x的值.【答案】(1)(2)或4【解析】(1)，，.(2)当时，，，不符合；当时，，，其中，符合；当时，时，，符合.综上所述：x的值是或4.2．已知（1）画出的图象；（2）若，求x的取值范围；（3）求的值域.【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）[0，1].【解析】（1）利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.（2）由于，结合函数图象可知，使的x的取值范围是.（3）由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1].3.已知函数（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若，求a的取值集合；【答案】(1)详见解析;（2）{，，}.【解析】（1）函数的图象如下图所示：（2）当a≤﹣1时，f（a）=a+2=，可得：a=；当﹣1＜a＜2时，f（a）=a2=，可得：a=；当a≥2时，f（a）=2a=，可得：a=（舍去）；综上所述，a的取值构成集合为{，，}.3.1函数的概念及表示（精练）1区间的表示1.下列区间与集合相对应的是()A．

B．C．

D．【答案】C【解析】集合中的可以表示为区间，集合中的可以表示为区间，或是并集关系，所以集合表示为故选：C2.下列集合不能用区间的形式表示的个数为()①；②；③；④；⑤；⑥．A．2

B．3

C．4

D．5【答案】D【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②N是自然数集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合。⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为故答案为：D3.用区间表示下列集合：(1)；(2)且.（3）5x+15>4x-13；（4）.【答案】(1)(2)（3）；（4）【解析】(1)由题意，(2)由题意，且且（3）由解得，故不等式的解集为，数轴表示如下：（4）由解得，故不等式的解集为，数轴表示如下：4．用区间表示下列数集：（1）；

（2）；（3）；

（4）R；（5）；

（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）R=；（5）；（6）．2函数的判断1.如图，可以表示函数的图象的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求故选：D2.若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.3．下列图形能表示函数的图象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.故选：B4．（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD．5．（多选）下列选项中所给图象是函数图象的为（

）A．B．C． D．【答案】CD【解析】根据函数的定义，在定义域内作一条直线，将直线在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C，D选项所给图象是函数图象，故选：CD.3函数的定义域1．函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【解析】由题意知，，解得，即函数的定义域为.故选：B2．函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得且．函数的定义域为．故选：C．3．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得且，所以函数的定义域为，故选：B.4．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意可得，即，即，解得，即函数的定义域为；故选：A5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】【解析】因为函数的定义域为，所以，解得6．若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】【解析】函数的定义域为，则函数的定义域满足且，即，所以函数的定义域为7．已知的定义域为，则的定义域为【答案】【解析】由的定义域为，得，所以，所以，的定义域为，令，得，即，所以的定义域为.8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是【答案】【解析】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.当时，当时，，所以不等式在上恒成立显然不成立，当时，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.9.若函数的定义域为，则实数的取值范围是【答案】【解析】函数的定义域为等价于恒成立，当时，显然不恒成立；当时，由，得，综上，实数的取值范围为．故选：C．10.已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为【答案】{1}【解析】由可得，即的定义域为，所以，则实数a的取值集合为.选：A.11．若函数的定义城为R，则实数a的取值范围是【答案】[0，）【解析】要满足题意，只需在上恒成立即可.当时，显然满足题意.当时，只需，解得.综上所述，故选：D.12．已知函数的定义域为R，则a的取值范围是【答案】【解析】由题意，函数有意义，则满足，因为函数的定义域为，即不等式在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，恒成立，符合题意．当时，不符合题意，综上可得，实数的取值范围是．故选：D.13．求下列函数定义域（1）已知函数的定义域为，求的定义域.（2）已知函数的定义域为，求的定义域（3）已知函数的定义域为，求的定义域.（4）设函数的定义域为，则的定义域.（5）若的定义域为，求的定义域【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）.【解析】（1）由条件可知，得或，所以函数的定义域是；（2）函数的定义域为，即，，所以函数的定义域是；（3）函数的定义域为，即，即，所以函数的定义域是，令，即，解得：，所以函数的定义域是；（4）由条件可知，解得：，所以函数的定义域是.（5）由条件可知，解得：，所以函数的定义域是.14．已知函数的定义域为集合.(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题得恒成立，所以，所以.(2)由题得在上恒成立，即，当，即时，在上单调递增，则时，，所以；当，即，在上单调递减，在上单调递增，则时，，所以；当，即时，在上单调递减，则时，，又，所以此时无解.综上所述：.4函数的表示方法1．已知函数和的定义如下表格所示，则不等式的解为（

）x123f(x)231g(x)321A． B． C． D．【答案】C【解析】由表格知：当时，，则，当时，，则，当时，，则，综上，的解为.故选：C2．若函数如下表所示．x01232210若，则_______．【答案】0或1【解析】由函数列表可知：，而，∴，结合列表知：或.故答案为：0或13．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为___________.【答案】【解析】根据顶点为（-2，3），设，由f（x）过点（-3，2），得解得a=-1，所以故答案为：4．（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知是二次函数，且满足，求.（3）已知，求的解析式．（4）若对任意实数，均有，求.（5）已知，求的解析式；（6）已知，求的解析式.【答案】（1）或；（2）.（3）（4）；（5），；（6），.【解析】（1）设，则因为，所以所以解得或所以或（2）设由，得由得整理，得所以所以所以（3）设，则，所以．（4）∵（1）∴（2）由得，∴.（5）因为，所以，所以，（6）因为，①所以，②消去解得，5．已知函数f(x)=x+|2x+4|.(1)画出函数的图象；(2)求不等式f(x)<1的的解集.【答案】(1)图象见解析；(2)(-5,-1).【解析】(1)由题设，，-5-4-2010-214(2)由（1）得：，可得；，可得；综上，的解集为(-5,-1).5相等函数的判断1．以下各组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数；对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.故选：C．2．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是___________（填序号）．①；②；③．【答案】③【解析】对于①，与的定义域不同；对于②，的对应关系不同；对于③，其定义域相同，解析式化简后也相同，值域也相同，故是同一函数.故答案为：③3．（多选）下列各组函数是同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】AC【解析】对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；对于选项C：的定义域为，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；对于选项D：的定义域为，的定义域为，对应关系不同，