专题04 一元二次方程中含参数问题的五种考法（原卷版）-2025数学常考压轴题上册九年级湘教版

专题04一元二次方程中含参数问题的五种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 2类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8类型五、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题 12压轴能力测评（15题） 16解题知识必备1.一元二次方程的概念通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.3.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.4.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.压轴题型讲练类型一、利用一元二次方程的定义求参数例1.（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是．【变式训练1】（23-24八年级下·广西百色·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则k的值为．【变式训练3】（24-25九年级上·全国·课后作业）若是关于x的一元二次方程，则．【变式训练4】（23-24九年级上·四川内江·期中）已知是关于的一元二次方程，则等于．类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值例2.1.（2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是．例2.2.（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为．【变式训练1】（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是．【变式训练2】（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．【变式训练3】（2024·江苏常州·二模）已知m为方程的一个根，则代数式的值是．【变式训练4】（2024·福建·模拟预测）已知为方程的根，那么的值为类型三、根据一元二方程根的情况求参数例3.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知，是关于的方程的两个不等实数根．(1)求实数的取值范围：(2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长．【变式训练1】（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，使方程的两根为整数根，并求此时方程的两根．【变式训练2】（23-24九年级上·广东广州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根．(1)求的取值范围：(2)若方程有一个根为，求方程的另一根．【变式训练3】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）已知关于的方程，其中，，是的三边长．(1)若是方程的一个根，则是；(2)若方程有两个相等的实数根，则是；(3)若是等边三角形，试求方程的根．类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数例4.（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【变式训练1】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求实数的取值范围，(2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值．【变式训练2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根为，且，求m的值．【变式训练3】（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：材料：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c有如下关系：，；根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)类比：一元二次方程的两个实数根为m，n，则；；(2)应用：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；(3)提升：已知实数s，t满足，且，求的值．类型五、一元二次方程根与系数中的参数与新定义型问题例5：（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．(1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；(2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．【变式训练1】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．(1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于的方程，①证明：不论取何值，方程总有实数根；②若该方程是“差积方程”，求的值．【变式训练2】（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）请认真阅读，并根据理解，完成相应任务：阅读材料：定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”，例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．任务一：（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可）①；②；③．任务二：（2）关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；任务三：（3）若关于的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；(2)已知关于的方程．①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；②求该方程衍生点的坐标；③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值．压轴能力测评（15题）一、单选题1．（23-24八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（）A． B．2 C．2或 D．4或2．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（

）A． B．2 C． D．43．（2024·辽宁·模拟预测）已知a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（

）A． B． C．2024 D．20284．（23-24八年级下·山东烟台·期末）关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（

）A．且 B．C．且 D．且二、填空题5．（23-24九年级上·湖南永州·期中）若是关于的一元二次方程，则．6．（2024·四川眉山·模拟预测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为．7．（2024·山东临沂·模拟预测）若是关于x的方程的解，则的值为．8．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是．三、解答题9．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值．10．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程．(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根．(2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根．11．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．12．（22-23九年级上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．(1)求实数的取值范围；(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．13．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知关于x的方程．(1)当k是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根、满足：，求k的值．14．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．(1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根．(2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根．①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？15．（23-24八年级下·山东济南·期末）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另