2.2平方根与立方根第4课 教学设计 2025-2026学年数学北师大版（2024新版）八年级上册

2.2平方根与立方根第4课时教学设计学科数学年级八年级课型新授课单元一单元课题2.2平方根与立方根第4课时课时1课标要求依据2022新课标，本节课需引导学生掌握平方根与立方根的估算方法，能结合实际情境(如公园面积、梯子高度问题)进行近似计算，体会估算的现实意义。注重发展数感与运算能力，培养用数学思维分析实际问题的习惯，同时学会使用计算器进行开方运算，提升数学工具的应用能力，渗透数学建模思想，增强解决实际问题的意识与能力。教材分析本节是平方根与立方根的应用拓展课，教材通过“荒地规划”“梯子摆放”等真实情境，引导学生将实际问题转化为平方根、立方根的估算问题，同时引入计算器辅助运算，体现“精确计算—估算验证”的数学思维。内容衔接前3课时的概念与性质，为后续实数运算及几何问题解决奠定应用基础，突出数学与生活的联系。学情分析学生已掌握开方运算的基本方法，但在实际问题中常出现“机械套用公式而忽视情境分析”的现象(如不会将公园面积问题转化为平方根估算)。对估算的精度要求(如“精确到10m”)理解不深，易混淆估算与精确计算的区别，且计算器使用时可能过度依赖结果而忽略估算的验证作用，需通过情境化问题强化建模能力。教学目标1.能根据实际问题列出平方根或立方根算式，掌握估算方法，并能使用计算器验证结果。2.经历“实际问题→数学建模→估算求解→验证反思”的完整过程，培养数学抽象与运算能力。3.通过黄金矩形、梯子稳定等实例，感受数学在建筑、设计中的应用价值，增强数学应用意识。教学重点1.平方根与立方根的估算方法及在实际问题中的应用。2.计算器在开方运算中的规范使用及估算结果的合理性判断。教学难点将实际问题转化为平方根或立方根的数学模型，尤其是对“精确到某一位”的精度要求的理解与操作。教法与学法分析教法：采用“问题链教学法”，以教材中的荒地规划、梯子摆放等问题为载体，引导学生建立数学模型，结合计算器演示估算与精确计算的差异。学法：小组合作完成“估算—计算—验证”任务，记录估算误差，体会不同精度要求下的策略选择，强化“用数学”的实践能力。教学过程教学步骤教学主要内容教师活动学生活动设计意图环节一：依标靠本，独立研学复习引入：1.什么是平方根，什么是立方根？若一个数的平方等于a，则这个数是a的平方根；若一个数的立方等于a，则这个数是a的立方根。2.填空：(1)64的平方根是_____；它的立方根为______.(2)12的算术平方根为_____；它的整数部分是_____；它介于哪两个整数之间？(1)±8；4.(2)23；3；复习回顾，引导学生复习平方根和立方根，引出估算.思考问题，回顾旧知，为新课作铺垫。通过计算练习，使学生回顾平方根、立方根的有关知识，为本节课的学习作铺垫.探究活动一：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2.(1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？解:设公园的宽为x米，则它的长为2x米，由题意得:x·2x=400000，2x2因为160000<200000<250000，所以400<x<500，故没有1000m.(2)如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流.解:因为要求精确到10米，要看十位的数字，所以继续利用平方法进行估算.4102=168100，4202=176400，4302=184900，4402=193600，4502=202500，所以440<200000<450.所以根据四舍五入法得，200000≈440.所以花坛的边长大约为440米.(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m)解:设半径为rm，由题意列：π解得：r所以它的半径约为16m.创设情境，引发学生的学习兴趣，初步认识用平方法进行估算.思考问题，利用平方法进行估算.从现实情境引入，在教师引导中思考怎么估算值，一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学从而激发学习的积极性，培养学生用数学的眼光观察世界的能力.环节二：同伴分享，互助研学探究活动二：思考交流：(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.0.43≈0.066；3900≈96；2536≈60.4解:因为0.0662=0.004356<0.43，所以0.43≈0.066是错误的.因为963=884736>900，所以3900≈96是错误的因为60.42=3648.16>2536，所以2536≈60.4是错误的.(2)你能估算3900的大小吗？(2)因为93=729，103=1000，所以9<3900<10因为结果精确到1，要看十分位的数字，所以继续利用立方法进行估算.9.13=753.571，9.23=778.688，9.33=804.357，9.43=830.584，9.53=857.375，9.63=884.736，9.73=912.673，所以9.6<3900<9.7所以根据四舍五入法，得900≈10.总结归纳:估算无理数的一般步骤:(1)估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间；(2)确定无理数的整数位；(3)按要求估算，一般地，开平方估算到一位小数，开立方估算到整数.(3)宽与长之比为5−12的长方形称为“黄金矩形”。你能较5−1方法1：5−12与12的分母相同因为5>2，所以5−1方法2：5−1因为5>2，所以所以5−1归纳：比较无理数大小的方法：(1)估算法:一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较.(2)求差法:若a−b>0，则a>b；若a−b<0，则a<b；若a−b=0引导学生思考问题，学会对无理数进行估算和比较两个无理数的大小，归纳总结方法.积极思考，小组合作交流，总结归纳方法.培养学生养成检验计算结果合理性的习惯，并让学生在实践中学会估算的方法，会估算一个无理数的大致范围；会比较两个无理数的大小.环节三：全班展学，互动深入探究活动三：例题精讲：例7：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的13解:设梯子稳定摆放的高度为x米，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的13，根据勾股定理，有x2即x2因为5.62所以32>5.6因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头。探究活动四：除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算。尝试思考：(1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.0001）：①5.89：②3利用计算进行计算：①在计算器上输入”x”+”5.89”+”=”得出数，然后按0.0001精确，得出：5.89②在计算器上输入"3"+"−1285"+”

=”得出数，然后按(2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。随着开平方次数的增加，结果均接近1；是的，结果逐渐接近1.引导学生通过实际问题运用所学知识，将实际问题转化为数学问题，进行建立模型解决问题.积极思考，小组合作交流，建立数学模型.通过例题，体会估算在实际问题中的应用，从实际问题抽象出数学问题，体现出数学源于生活，应用于生活。环节四：巩固内化，拓展延伸巩固训练1.下列对于11的大小估算正确的是()A.0<11<2 B.C.2<11<3 2.一个正方体纸盒的体积为81cmA.6cm~8cm之间 C.3cm~4cm之间 D.3.已知实数a=9+5，A.3<a<4 B.4<a<5 C.5<a<6 D.6<a<74.若n<3+3<n+1(n为整数)，则A.4 B.5C.6 D.75.比较大小：2______3−16.下面是小李同学探索107的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是107，且10<107∴设107=10+x，其中0<x<1，画出如图示意图∵图中S正方形=10∴10当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即(1)76的整数部分是______；(2)仿照上述方法，探究76的近似值.(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)1.D；2.D；3.C；4.A5.解析：∵1<2<4,1<3<4，∴1<2<2，则0<3∴2>故答案为：>.6.解析：(1)∵64<76<∴76的整数部分为8故答案为：8；(2)∵面积为76的正方形边长是76，且8<76∴设76=8+x，其中0<x<1，如图所示∵图中S正方形=8∴8当x2较小时，省略x2，得16x+64≈76，得到x≈0.75，即巡视课堂迅速掌握学情当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答。学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的课堂小结通过本节课的学习你收获了什么？1.知识：估算无理数的一般步骤:(1)估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间；(2)确定无理数的整数位；(3)按要求估算，一般地，开平方估算到一位小数，开立方估算到整数.比较无理数大小的方法：(1)估算法:一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较.(2)作差法:若a−b>0，则a>b；若a−b<0，则a<b；若a−b=02.方法：类比探究法，小组合作法，观察归纳法，3.思想：类比思想，转化思想，方程思想，建模思想，数形结合思想.教师以提问的形式小结学生思考自由回答，自我小结课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。板书设计2.2平方根与立方根第4课时估算无理数的方法：比较无理数的方法：例7：利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。作业设计基础达标：1.估算19+3A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间2.黄金分割是一个跨越数学、自然、艺术和设计领域的概念，各个领域中无处不在.黄金分割是指将一个整体分为两部分，其中较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为5−12，通常人们把这个数叫做黄金分割数.请估计A.0和12之间 B.12和1之间 C.1和32之间 3.设5的整数部分是a，小数部分是b，则a−b的值为()A.4+5 B.4−5 C.54.下列实数中，最小的是()A.−3 B.−1 C.−12能力提升：5.整数a满足17<a<27，则A.3 B.4 C.5 D.66.若5<m<10，则整数A.2 B.3 C.4 D.57.若35介于两个连续整数a和a+1之间，则a=______.8.比较大小：−5+1______−32（填“>”、“拓展迁移：9.比较实数大小：7−3_________510.综合探究:表示无理数整数部分与小数部分的思路：∴4∴2<∴5的整数部分为2，小数部分为5根据观察上述的规律后试解下面的问题：(1)15的整数部分为______，小数部分为______；(2)已知14+3=a+b其中a是14+3是整数部分，b是14+答案以及解析1.C；2.B；3.B；4.A；5.C；6.B7.解析：52故a=5.8.解析：∵4<5<9，1<3<4∴2<5<3∴−3<−5∴−2<−5∴−故答案为：<