辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．3．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（

）A．，21 B．，11 C．4，21 D．，694．若点A(3，﹣2)与点B关于原点对称，则B点坐标为（

）A．(3，2) B．(﹣3，2) C．(3，﹣2) D．(﹣3，﹣2)5．已知二次函数（为常数），点在该函数图象上，则（）A． B． C． D．6．为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅，如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是72°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（

）台．A．5台 B．4台 C．3台 D．2台7．如图，在⊙O中，点C是的中点，若，则∠D的度数是（）A． B． C． D．8．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（

）A． B． C． D．9．如图，的半径为，点、、、在上，且四边形是矩形，点是劣弧上一动点，、分别与相交于点、点．当且时，的长度为（）A． B． C． D．10．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．抛物线y＝2x2﹣4x+8的对称轴是．12．如图①是教室门锁的局部图，图②是其示意图，其中门把手，点到门框的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点顺时针旋转，点到达点的位置，此时点到门框的距离为．13．关于x的方程x2﹣m2x+3m＝0的两个实数根的和为4，则m的值是．14．约公元前300年，数学家欧几里得在《几何原本》一书中给出了形如（，）的方程的图解法：如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画圆，交于点，由此可以得出该方程的正实数根等于图中线段的长．15．如图，在菱形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点G，E是对角线BD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60得到CF，连接EF，FG，在点E运动过程中，线段FG长度的最小值是．三、解答题16．解方程：(1)（公式法）(2)（因式分解法）17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点A，B的坐标分别为，．(1)画出坐标轴，画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后；(2)求四边形的面积．18．如图，已知四边形内接于，，，连接，E为上一点，且．(1)求的度数；(2)求证：．19．阅读材料，回答问题：如何确定桥下行船能否安全通过如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为．任务一确定拱桥的半径求出拱桥所在的半径．任务二确定桥下行船能否安全通过有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，且高出水面，则此货船能否顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．20．如图，等腰中，，，将绕点A逆时针旋转一定角度（）得到，点B、C的对应点分别是D、E．连接交于点F，连接交于点G．(1)用含的代数式表示的度数；(2)当时，求的长．21．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？22．（1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接．填空：①的度数为；②线段，之间的数量关系为．（2）如图2，和均为等腰三角形，，A，D，E三点在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，的数量关系，并说明理由．（3）图1中的和，在旋转中当点A，D，E不在同一直线上时，旋转角，设直线与相交于点，尝试在图中探索的度数，不必说明理由．23．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当二次函数的自变量满足时，函数的最小值为，求的值；(3)点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段；若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请求出的取值范围；《辽宁省铁岭市部分学校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案BAABDCCBAC1．B【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，运用定义辨析法．解题关键是准确理解两个图形的定义，逐一分析选项；易错点是混淆两种图形的定义，尤其是对中心对称图形“旋转重合”的条件判断错误．首先明确轴对称图形（沿直线折叠重合）和中心对称图形（旋转重合）的定义．再对选项A、B、C、D分别按定义判断，选B．【详解】选项A：是轴对称图形，不是中心对称图形．选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形．选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形．选项D：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：B．2．A【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析各选项是否一定满足条件．【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；B、，展开之后二次项抵消，是一元一次方程，不符合题意；C、等号左边不是整式，不是一元二次方程，不符合题意；D、，未强调，即不一定是一元二次方程，不符合题意；故选：A．3．A【分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：移项得，配方得，即，∴a=-4，b=21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．4．B【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数求解即可．【详解】若点A(3，﹣2)与点B关于原点对称，则B点坐标为(﹣3，2)故选B【点睛】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．5．D【分析】根据题意和二次函数的性质，可以判断的大小关系，本题得以解决．【详解】解：∵二次函数，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，函数有最小值，顶点坐标为，∵点两点都在二次函数的图象上，，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握利用函数的增减性来判断函数值的大小是解题的关键．6．C【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．【详解】解：根据圆周角定理，一台监视器所对应的弧的度数为：，∵，∴至少需要3台．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理的实际应用，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．7．C【分析】利用等弧对相等的圆周角可求得，然后在中利用三角形的内角和即可求得，最后利用同弧所对的圆周角相等即可求解．【详解】解：∵点C是的中点，∴，∴AC＝BC，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．B【分析】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，即得结果．【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，，∴，，，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故选：B9．A【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP=∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ACP，进而得到AF=FC．根据矩形的四个角都是直角得∠ABC=90°，AE=EF=FD得FC=2FD，∠DCF=30°，得出∠ACB=30°，求出BC的长，AD的长，再三等分即可．【详解】解：连接AC、BD．∵PA=AB，∴∠ABP=∠APB．∵∠ABP=∠ACP，∠APB=∠ACB，∴∠ACB=∠ACP．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ACP=∠DAC，∴AF=FC．∵AE=EF=FD，设FD=x，则FC=AF=2x．∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∠ABC=∠ADC=90°，∴AC为⊙O的直径．在Rt△DFC中，FC=2FD，∴∠DCF=30°，∴∠ACB=∠ACP=30°．∵⊙O的半径为1，∴AC=2，∴AB=1，BC=，∴AD=BC=．∵AE=EF=FD，∴AE=．故选：A.【点睛】本题是圆的综合题．考查了矩形，直角三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．10．C【分析】根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④；【详解】∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为∴A、B两点关于直线对称．∵B(1，0)，∴A(-3，0)，∴．故①正确；∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即．故②正确；根据图象开口向上可知，∵二次函数对称轴为，即，∴．∴．故③错误；根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0，即，∵，且，∴，即．故④正确；综上，正确的结论有①②④，共3个．故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．11．直线x＝1【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴．【详解】解：y＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6，故对称轴是直线x＝1，故答案为直线x＝1．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，能运用配方法把抛物线的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质确定对称轴是解题的关键12．【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，，垂足分别为点，则可得四边形为矩形，那么，然后解求出，再由即可求解．【详解】解：过点作，，垂足分别为点∵，∴，∴四边形为矩形，∴，由旋转得，，，∴，∴故答案为：．13．﹣2【分析】关于x的方程x2﹣m2x+3m＝0的两个实数根的和为4，得到m＝±2，把m＝2代入x2﹣m2x+3m＝0得，x2﹣4x+6＝0，由△＝16﹣24＜0，得到方程x2﹣m2x+3m＝0无实数根，把m＝﹣2代入x2﹣m2x+3m＝0得，x2﹣4x+6＝0，方程x2﹣m2x+3m＝0有实数根，于是得到结论．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣m2x+3m＝0的两个实数根的和为4，∴m2＝4，解得：m＝±2，把m＝2代入x2﹣m2x+3m＝0得，x2﹣4x+6＝0，∵△＝16﹣24＜0，∴方程x2﹣m2x+3m＝0无实数根，把m＝﹣2代入x2﹣m2x+3m＝0得，x2﹣4x+6＝0，方程x2﹣m2x+3m＝0有实数根，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根的和的关系，掌握韦达定理是解题的关键14．【分析】本题考查了勾股定理及公式法解一元二次方程，圆的基本性质，熟记求根公式是解题关键．根据勾股定理先求得的长，再表示出的长，然后解一元二次方程可得其中的正根与的长相等，即的长是该方程的正根．【详解】解：∵，，，而对于方程，整理得，，应用求根公式得：，∴的长是该方程的正根，故选：．15．【分析】取的中点，连接，过作于，证明出，由性质得，即知线段长度最小即是线段长度最小，此时运动到，最小值即是的长度，根据是的中位线，即可得答案．【详解】解：取的中点，连接，过作于，如图：菱形中，，是等边三角形，，，，将线段绕点逆时针旋转得到，，，，，，线段长度最小即是线段长度最小，当运动到时，最小，即是最小，最小值即是的长度，是中点，，而，是的中位线，，最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查菱形中的旋转问题、等边三角形、中位线，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．16．(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键．（1）先将方程化为一般式，再求出的值，然后利用求根公式求解即可；（2）先移项，然后利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解求解．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：或∴，．17．(1)见解析(2)8【分析】（1）把三角形的A、B顶点绕点C顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；（2）把四边形分成三个三角形和一个正方形，分别计算面积，相加即可．【详解】（1）解：所画图形如下所示：（2）解：如图，把四边形分成三个三角形和一个正方形，故四边形的面积为：．【点睛】本题综合考查了旋转变换作图及利用网格计算面积的能力，难度不大，掌握旋转作图的步骤是关键．18．(1)(2)见详解【分析】该题考查了圆周角定理，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据四边形为的内接四边形，，得出，证明为等边三角形，得出，再根据圆周角定理即可求出．（2）如图，连接，由（1）知，证明为等边三角形，得出，从而得，根据圆周角定理得出，证明，即可证明．【详解】（1）解：∵四边形为的内接四边形，，，，∴为等边三角形，，．（2）证明：如解图，连接，由（1）知，又，∴为等边三角形，，∴，又，，，，在和中，，，．【点睛】19．（1）半径为；（2）能通过，见解析【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．（1）连接并延长至点，连接，使得，根据垂径定理推论可得为中点，设，则，勾股定理建立方程，解方程即可求解；（2）在中，勾股定理求得，进而求得，与比较即可求解．【详解】解：连接并延长至点，连接，使得，∵是的中点，为半径，∴，，又∵，设，则．在中，根据勾股定理得：，解得；（2）能通过，理由如下：如图，连接，∵，船舱顶部为长方形并高出水面，∴，∴，在中，，∴．∴．∴此货船能顺利通过这座拱桥．20．(1)(2)【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可求解；（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求，由等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质可求解．【详解】（1）∵将绕点A逆时针旋转一定角度α（）得到，∴，，，，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形ABFE是平行四边形，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．21．(1)(2)6元(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，即可解答．【详解】（1）解∶根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，将代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为，（2）解；根据题意可得：，∴，整理得：，解得：，∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；（3）解：设利润为w，，∵，函数开口向下，∴当时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w有最大值，此时，∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．22．（1）①；②；（2）；，理由见解析；（3）的度数是或【分析】（1）①由条件易证，从而得到：．由点，，在同一直线上和等边三角形性质可求出，从而可以求出的度数．②由①得，即可得出；（2）由“”可证，可得，，根据直角三角形中线的性质及各角之间的关系求解即可；（3）分两种情况求解，由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知∠．【详解】解：（1）①如图，

和均为等边三角形，，，．．在和中，，∴，为等边三角形，．点，，在同一直线上，．．．故答案为：．②≌，．故答案为．解：（2）；，理由如下：∵和均为等腰直角三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，，∵为等腰直角三角形，∴，∵点A，D，E在同一直线上，∴，∴，∴，∵为