江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设复数z满足，则（）A． B．2 C． D．12．已知，，，则（）A． B．4 C．1 D．3．已知函数，则下列选项中是的一个单调递增区间的是（

）A． B． C． D．4．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（）A． B． C． D．5．已知平面，直线，则下列结论正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（

）A．4 B．3 C． D．7．已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次是（

）A．丙、甲、丁、乙 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁 D．甲、乙、丁、丙8．，已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（

）A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为210．某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了500名用户进行问卷评分调查，将评分数据按[40，50），[50，60），……，[90，100]分组整理得知如下方频率分布直方图，记该样本的平均数为，三个四分位数分别为a，b，c，则下列判断正确的是（

）A． B．C．a，b，c成等差数列 D．11．已知函数，则以下说法正确的是（

）A．有对称中心 B．有对称轴C．的极小值为 D．三、填空题12．已知，则＝．13．如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为．

14．如图，在中，，D，E是线段上的两个点，为正三角形，，则．

四、解答题15．已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积．16．中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动；加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散．假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5，若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关研究小组能解决的概率均为0.4（假设各个阶段的每个问题均相互独立）．(1)求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；(2)在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为X，求随机变量X的分布列和期望；(3)第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得5（单位：亿元）费用．记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y（单位：亿元）．求随机变量Y的期望值．17．已知f（x）＝（a＞0）．(1)讨论f（x）的单调区间；(2)若a＞2，求证：f（x）有且仅有三个不同的零点．18．如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．

(1)若C是OQ的中点．（i）求六棱锥的体积；（ii）求二面角的余弦值；(2)设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值．《江西省南昌市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案ABBDCCABABCBD题号11答案BCD1．A【分析】根据复数乘法化简，再根据复数模的定义求解.【详解】因为，所以，故选：A.2．B【分析】根据向量垂直的坐标表示和向量的数量积进行求解即可.【详解】因为，所以.所以.故选：B.3．B【分析】先求出，再令求出的单调递增区间，再赋值即可判断.【详解】，令，则，则的单调递增区间为，当时，的一个单调递增区间是，故B选项正确；当时，的一个单调递增区间是，当时，的一个单调递增区间是，故A，C，D选项错误.故选：B4．D【分析】由条件结合关系，求出，由此可求.【详解】因为，又，，所以，又，所以，故选：D.5．C【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的性质、平行性的性质、面面平行的性质逐一判断即可.【详解】A：当时，也可以满足，，因此本选项结论不正确；B：当时，直线可以是异面直线，因此本选项结论不正确；C：设过直线的平面与平面相交于直线，根据直线与平面平行的性质定理可知，因为，且，所以，而，所以，因此本选项结论正确；D：当时，可以成立，所以本选项结论不正确，故选：C6．C【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项.【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列.所以，令，得.所以数列是公差为3，首项为1的等差数列.故，即.所以.故选：C.7．A【分析】根据三人的回答中各有一个正确，分别对甲的回答中正确说法进行分类讨论，得出相应矛盾即可判断出正确结论.【详解】若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时获得第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙；若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾，因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙.故选：A8．B【分析】利用导数分析函数的单调性，得到其极值，再对分类讨论即可.【详解】由题意，.由或；由.所以在和上单调递增，在上单调递减.由函数的极大值，极小值.当，解得或，当时，，而，没有最小值，不成立，当时，，则，所以的最小值为.故选：B9．ABC【分析】根据题意可得：所以，，计算可得A，B选项，设圆心C到直线的距离为,结合图形可知：当为直径时，，当时，,结合弦长公式即可求出的最小值和最大值.【详解】由于P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点,所以点在圆内，

所以，故A正确；所以，故B正确；设圆心C到直线的距离为,则,当为直径时，，所以,故C正确；由于时,所以,故D不正确；故选：ABC10．BD【分析】根据平均数的定义、三个四分位数的定义，结合频率直方图进行求解即可.【详解】，设第一四分位数为，则有；设第二四分位数为，则有；设第三四分位数为，则有，因为，所以；A：因为，所以本选项不正确；B：因为，所以本选项正确；C：因为，所以a，b，c不成等差数列，因此本选项不正确；D：显然，因此本选项正确，故选：BD11．BCD【分析】对于AB，通过判断是否为常数，以及是否可以恒等于可判断对称性；对于C，由题可得，然后由不等式性质可得，然后由对称性可得极小值；对于D，由对称性可得，然后注意到，，结合在上单调递减可判断选项正误.【详解】对于AB，由题，.注意到为与有关的变量，而当时，，则无对称中心，有对称轴，故A错误，B正确；对于C，，由AB分析，只分析其在上的单调性，当时，，又，则，当且仅当取等号，则在上单调递增，由对称性可得在上单调递减，则，故C正确；对于D，，由B分析可知，，时，，，结合在上单调递减，则，故D正确.故选：BCD12．12【分析】由二项式展开式通项求解.【详解】二项式的展开式通项为，当时，，所以，故答案为：12.13．/【分析】求出过右焦点垂直于渐近线的直线方程为，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出离心率.【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为.又直线过点，可得直线的方程为，联立直线与直线的方程，解得，则，所以点的坐标为.在直线的方程中，令，可得，所以点的坐标为.因为，所以为的中点，设点的坐标为，可得，解得.因为点在另一条渐近线上，所以将代入可得：.化简可得，即，又因为，所以，则.所以.故答案为：.14．/【分析】根据题意设，可证，得到，继而得到，由余弦定理可求，再利用正弦定理可得，然后求即可．【详解】设，则，又为正三角形，所以，则，又，所以，则，故，则，即，所以，即，所以，，即，在中，，即，解得，又，则为锐角，所以．故答案为：．15．(1)(2)【分析】(1)依题意分析当直线l⊥y轴时，用表示A、B两点坐标，根据,可求得的值,进而得到抛物线C的标准方程.(2)联立直线与抛物线方程，可得到两点坐标关系，进而求得△ABO的面积.【详解】（1）由题可知：.

当直线l⊥y轴时，可得，.所以.因为,所以2p＝4，解得p＝2，故抛物线C的标准方程为．（2）由（１）知：，所以直线.联立直线l与抛物线C方程，得，设点A，B,则，，所以.

所以△ABO的面积．16．(1)0.5(2)分布列见解析，1.2(3)4【分析】（1）根据该攻关小组在第一阶段解决2或3个问题求概率.（2）明确的分布类型为二项分布，可求其分布列和期望.（3）根据变量之间的关系求随机变量Y的期望.【详解】（1）该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率为：（2）因为，所以，（），所以随机变量X的分布列为X0123P0.2160.4320.2880.064其数学期望．（3）记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量（单位：亿元），则，所以（单位：亿元）．所以．17．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数法求函数的单调性；（2）解法一：通过构造函数，利用函数的单调性和零点的存在性定理得到零点的个数；解法二：利用函数的增减性得到函数的极值点，通过极大值，极小值与0的大小得到零点个数.【详解】（1），令，则，，当即时，，，此时在单调递增，无单调递减区间；当即时，方程有两根，，则或时，，单调递增；时，，单调递减．综上所述，当时，在单调递增，无单调递减区间；当时，在，单调递增，在（）单调递减．（2）因为（i＝1，2），所以（i＝1，2），所以，同理，因为，所以，设函数g（x）＝，则，当x≥1时，≤0，，此时；当0＜x＜1时，＞0，，此时．所以＞0，，即g（x）在（0，）单调递减，所以，，且x→0时，f（x）→，x→时，f（x）→，所以f（x）在，，各有一个零点，即f（x）有且仅有三个不同的零点．（2）解法二：因为（i＝1，2），所以（i＝1，2），所以，同理，因为，所以，所以，由（1）可知，当时，在，单调递增，在（）单调递减．为极大值点，为极小值点，，，，且x→0时，；x→时，，所以f（x）在（0，），（，），（，）各有一个零点，即f（x）有且仅有三个不同的零点．18．(1)（i）；（ii）(2)证明见解析【分析】（1）（i）先计算正六边形的面积，再根据锥的体积公式即可求解；（ii）建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解；（2）由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α．在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，由，得，又，代入