《22.2 二次函数与一元二次方程》教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上学期

上课时间上课时间《22.2二次函数与一元二次方程》教学设计-2024-2025学年人教版九年级数学上学期2025年12月任课老师任课老师魏老师设计意图设计意图本节课旨在帮助学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系，通过具体实例和图形演示，让学生掌握二次函数的性质及其与一元二次方程的解法。同时，通过实际问题解决，提高学生的数学应用能力。核心素养目标核心素养目标培养学生数学建模能力，通过二次函数与一元二次方程的关联，引导学生运用数学语言描述现实问题，并能够运用函数思想解决实际问题。提升逻辑推理能力，通过探究二次函数的性质，发展学生的抽象思维和推理能力。增强数学运算能力，通过方程求解和函数图像分析，提高学生准确、高效地进行数学运算的能力。学习者分析学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已学习了一元二次方程的基本解法，包括因式分解、配方法和求根公式。此外，他们应已具备函数图像的基本知识，包括直线函数和一次函数的图像与性质。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对数学仍保持较高的兴趣，特别是与实际应用相关的数学问题。他们在解决问题时倾向于逻辑分析和抽象思维。部分学生可能更偏向于视觉学习，通过图形直观理解函数性质；而另一些学生可能更擅长逻辑推理，偏好通过公式和计算解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解和应用二次函数的性质时可能遇到困难，如解析函数图像、判断函数的增减性、求解最值等。此外，将二次函数与一元二次方程结合时，学生可能难以找到两者之间的联系，以及如何将方程的解与函数的图像对应起来。这些困难可能源于对概念理解的不足或缺乏足够的练习。教学资源准备教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，特别是人教版九年级数学上学期《22.2二次函数与一元二次方程》的相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如二次函数图像的动态演示，以及一元二次方程求解过程的动画展示。

3.教学工具：准备计算器、白板或投影仪等教学工具，以便进行课堂演示和互动。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如设置分组讨论区，准备实验操作台，以便进行小组合作和实际操作练习。教学过程教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们已经学习了一元二次方程的解法，今天我们来探究一下二次函数与一元二次方程之间的关系。请同学们回顾一下，一元二次方程的一般形式是什么？

（学生）一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0。

（教师）很好，那么今天我们要学习的二次函数y=ax^2+bx+c与一元二次方程有什么联系呢？接下来，我们将一起揭开这个神秘的面纱。

二、新课讲授

1.二次函数的性质

（教师）首先，我们来探讨二次函数的性质。同学们，请看屏幕上的函数图像，观察并分析它的特点。

（学生）我注意到，这是一个开口向上的抛物线，它有两个交点。

（教师）非常好，这是一个二次函数的标准图像。二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，它的开口方向由二次项系数a决定。如果a>0，抛物线开口向上；如果a<0，抛物线开口向下。

2.二次函数的顶点坐标

（教师）接下来，我们来探究二次函数的顶点坐标。同学们，谁能告诉我，二次函数的顶点坐标是什么？

（学生）顶点坐标是(-b/2a,f(-b/2a))。

（教师）正确！二次函数的顶点坐标就是x=-b/2a，将这个值代入函数表达式，就可以求出y坐标。

3.二次函数与一元二次方程的解

（教师）现在，我们知道了二次函数的顶点坐标，那么它与一元二次方程有什么关系呢？请同学们思考一下。

（学生）二次函数的图像与x轴的交点就是一元二次方程的解。

（教师）非常棒！确实如此。当二次函数与x轴相交时，对应的x值就是一元二次方程的解。我们可以通过解方程来找到这些交点。

4.实例分析

（教师）为了更好地理解，我们来分析一个实例。已知一元二次方程x^2-4x+3=0，请同学们求解这个方程。

（学生）我们可以通过因式分解来解这个方程。

（教师）很好，因式分解后得到(x-1)(x-3)=0。解得x1=1，x2=3。这两个解就是二次函数y=x^2-4x+3与x轴的交点坐标。

5.应用拓展

（教师）现在，我们来拓展一下，如果给定的二次函数是y=2x^2-8x+3，请同学们找出它的顶点坐标，并分析它的图像。

（学生）首先，我们可以通过计算得到顶点坐标。将x=-b/2a代入函数表达式，得到顶点坐标为(2,-1)。由于二次项系数a>0，抛物线开口向上。因此，这个函数图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(2,-1)。

三、课堂练习

1.完成教材中的例题

（教师）同学们，请完成教材中的例题，巩固所学知识。

2.小组讨论

（教师）请同学们分成小组，讨论以下问题：

（1）二次函数的图像与x轴的交点有什么特点？

（2）如何根据一元二次方程的解来画出二次函数的图像？

四、课堂小结

（教师）今天我们学习了二次函数与一元二次方程的关系。通过探究，我们知道了二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由二次项系数a决定。我们还学习了如何根据一元二次方程的解来画出二次函数的图像。希望大家能够将所学知识应用到实际问题中。

五、布置作业

（教师）请同学们完成以下作业：

1.完成教材中的练习题；

2.选择一个实际问题，运用所学知识进行解答。

六、板书设计

（教师）本节课的板书如下：

1.二次函数的性质：开口方向由二次项系数a决定，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

2.二次函数与一元二次方程的解：二次函数与x轴的交点就是一元二次方程的解。

（教师）今天的课程就到这里，下课！学生学习效果学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度

学生通过本节课的学习，对二次函数与一元二次方程之间的关系有了深入的理解。他们能够准确地识别二次函数的图像特征，如开口方向、顶点坐标等。同时，学生能够熟练地运用公式和算法求解一元二次方程，并能够将方程的解与函数图像上的点相对应。

2.思维能力提升

在学习过程中，学生通过观察、分析、比较和归纳，提高了逻辑推理能力和抽象思维能力。他们能够从具体实例中抽象出一般规律，并能够将所学知识应用于新的问题情境中。

3.数学运算能力

通过对二次函数与一元二次方程的运算练习，学生的数学运算能力得到了显著提升。他们在求解方程、化简表达式、计算函数值等方面更加熟练，能够迅速准确地完成相关运算。

4.数学应用能力

学生在本节课中学习了如何将数学知识应用于实际问题中。他们能够通过分析实际问题，建立数学模型，并运用所学知识解决实际问题，如优化问题、预测问题等。

5.学习兴趣和积极性

通过本节课的学习，学生对数学产生了更浓厚的兴趣。他们意识到数学在生活中的广泛应用，从而提高了学习数学的积极性，愿意主动探究数学问题。

6.团队合作能力

在课堂练习和小组讨论环节，学生需要与同伴合作完成任务。这有助于培养学生的团队合作能力，提高他们在团队中沟通、协作和解决问题的能力。

7.自主学习能力

学生在课堂学习的基础上，能够自主查阅资料，进行拓展学习。他们通过课后练习和自主学习，巩固所学知识，并能够将知识应用于新的问题情境中。

8.反思与总结能力

学生在学习过程中，能够对所学知识进行反思和总结。他们能够发现自己在学习过程中的不足，并采取措施进行改进，从而提高学习效果。内容逻辑关系内容逻辑关系①本文重点知识点：

-二次函数的定义和图像特征

-一元二次方程的解法

-二次函数与一元二次方程的相互关系

②本文重点词句：

-二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0）

-一元二次方程：ax^2+bx+c=0

-顶点坐标：(-b/2a,f(-b/2a))

-对称轴：x=-b/2a

-开口方向：由二次项系数a决定

③内容逻辑关系阐述：

①首先介绍二次函数的定义和图像特征，包括开口方向、顶点坐标和对称轴等。

②接着讲解一元二次方程的解法，包括因式分解、配方法和求根公式。

③然后分析二次函数与一元二次方程之间的关系，即二次函数的图像与x轴的交点对应一元二次方程的解。

④通过实例演示，让学生理解如何将一元二次方程的解与二次函数的图像对应起来。

⑤最后，引导学生运用所学知识解决实际问题，如优化问题、预测问题等。教学反思教学反思八、教学反思

今天的课结束了，我想对这节课进行一下反思。这节课我们学习了二次函数与一元二次方程的关系，我觉得整体上学生们掌握得还不错。但是，在教学中我也发现了一些问题。

首先，我发现有些学生对二次函数的性质理解不够透彻。比如，抛物线的开口方向和对称轴的确定，这些是理解二次函数图像的关键。我需要在今后的教学中加强对这些基础知识的讲解和练习。

其次，学生在运用一元二次方程的解法时，有些细节处理得不够到位。例如，在使用求根公式时，对系数的符号判断不够准确。这说明我在教学中对基本概念和公式的讲解还需要更加细致和反复。

再者，我在课堂上注意到，学生们在讨论和解决实际问题时，缺乏一定的创新思维。这可能是因为我们没有足够的时间和空间让他们去发散思维。在未来的教学中，我会尝试设计更多开放性的问题，鼓励学生从不同角度思考问题。

另外，我在课堂管理上也存在一些问题。比如，有些学生在课堂上注意力不够集中，我需要找到更有效的办法来吸引他们的注意力，确保课堂教学的效率。课堂小结，当堂检测课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了二次函数与一元二次方程之间的关系，重点掌握了以下几点：

1.二次函数的定义和图像特征，包括开口方向、顶点坐标和对称轴等。

2.一元二次方程的解法，包括因式分解、配方法和求根公式。

3.二次函数的图像与x轴的交点对应一元二次方程的解。

4.如何将一元二次方程的解与二次函数的图像对应起来。

-独立识别二次函数的图像特点。

-运用不同的方法求解一元二次方程。

-将二次函数与一元二次方程相互关联。

当堂检测：

1.判断题：二次函数y=4x^2-12x+9的开口方向是向下的。（）

2.填空题：一元二次方程2x^2-5x+2=0的解是________和________。

3.实践题：已知二次函数y=-x^2+4x-3，求该函数的顶点坐标和与x轴的交点坐标。

请同学们在纸上完成以上题目，下课后我将进行批改和讲解。希望大家能够通过今天的检测，巩固所学知识。典型例题讲解典型例题讲解例题1：

已知二次函数y=-2x^2+4x-1的图像经过点(1,3)，求该函数的解析式。

解答：

由于点(1,3)在函数图像上，代入函数表达式得：

3=-2*1^2+4*1-1

3=-2+4-1

3=1

所以，函数解析式为y=-2x^2+4x-1。

例题2：

一元二次方程x^2-4x+3=0的解是x1和x2，求二次函数y=x^2-4x+3的顶点坐标。

解答：

首先，解一元二次方程得x1和x2。通过因式分解，得到：

(x-1)(x-3)=0

所以，x1=1，x2=3。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中a=1，b=-4，所以顶点坐标为：

x=-(-4)/(2*1)=2

代入函数表达式得y坐标：

y=2^2-4*2+3=4-8+3=-1

顶点坐标为(2,-1)。

例题3：

二次函数y=x^2-6x+8的图像与x轴的交点坐标是多少？

解答：

要找图像与x轴的交点，需要解一元二次方程x^2-6x+8=0。通过因式分解，得到：

(x-2)(x-4)=0

所以，交点坐标为x=2和x=4。

例题4：

二次函数y=2x^2-8x+12的图像的开口方向是什么？它的顶点坐标是多少？

解答：

由于二次项系数a=2>0，所以图像的开口方向是向上的。顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中a=2，b=-8，所以：

x=-(-8)/(2*2)=2

代入函数表