高中数学高考第8节 圆锥曲线中的范围、最值问题 教案

高中数学高考第8节圆锥曲线中的范围、最值问题教案授课专业和授课专业和年级授课章节题目授课时间教学内容教材章节：人教版高中数学选修2-1第8节圆锥曲线中的范围、最值问题

内容：本节课主要探讨圆锥曲线中的范围、最值问题。包括椭圆和双曲线的范围、最值问题的求解方法，以及圆锥曲线在几何、物理等领域的应用。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算的核心素养。通过本节课的学习，学生能够理解圆锥曲线的性质，掌握解决范围和最值问题的方法，提高运用数学知识解决实际问题的能力，并增强对数学美的感知和欣赏。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在进入本节课之前，已经学习了椭圆和双曲线的基本性质，包括焦点、离心率、渐近线等概念，以及二次函数和导数的基本知识。此外，学生对坐标系和解析几何的基本原理也有一定的了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学的兴趣因人而异，部分学生可能对圆锥曲线的几何性质和数学应用表现出浓厚兴趣，而另一些学生可能觉得这部分内容较为抽象和难以理解。学生的学习能力方面，部分学生具备较强的逻辑推理和抽象思维能力，能够快速掌握新概念；而部分学生可能需要更多的时间来消化和理解。学习风格上，有的学生偏好通过图形直观理解问题，有的则更倾向于通过公式和计算解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习圆锥曲线的范围和最值问题时，可能会遇到以下困难：一是对圆锥曲线的几何性质理解不够深入，导致在解决问题时难以找到合适的解题思路；二是缺乏对导数在实际问题中的应用经验，难以将导数的概念与圆锥曲线的性质有效结合；三是解题技巧不足，难以灵活运用公式和定理解决复杂问题。此外，部分学生可能对数学符号和公式的记忆不够牢固，这也是学习过程中可能遇到的挑战。教学资源-软硬件资源：电子白板、投影仪、计算机、几何画板软件

-课程平台：学校内部教学平台、在线教学资源库

-信息化资源：圆锥曲线性质相关的教学视频、互动练习题库

-教学手段：多媒体课件、实物模型（如圆锥曲线模型）、教学卡片教学过程一、导入新课

1.老师提问：同学们，我们已经学习了椭圆和双曲线的基本性质，那么今天我们来探讨一下圆锥曲线中的范围和最值问题，这些问题在几何和实际应用中都有哪些意义呢？

2.学生回答，老师总结：圆锥曲线的范围和最值问题在几何中有着重要的应用，如求切线、求弦长等，在物理中也有广泛的应用，如卫星轨道、抛物线运动等。

二、新课讲授

1.老师讲解：首先，我们来回顾一下椭圆和双曲线的标准方程，以及它们的几何性质。

-椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$是半长轴，$b$是半短轴。

-双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$是实半轴，$b$是虚半轴。

2.老师提问：同学们，谁能告诉我，椭圆和双曲线的焦点在哪里？离心率是多少？

学生回答，老师点评：椭圆的焦点位于长轴上，离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是焦距；双曲线的焦点位于实轴两侧，离心率$e=\frac{c}{a}$。

3.老师讲解：接下来，我们来探讨一下椭圆和双曲线的范围和最值问题。

-椭圆的范围：椭圆上的点到两个焦点的距离之和是一个常数，即$2a$。因此，椭圆的范围可以表示为$x^2/a^2+y^2/b^2\leq1$。

-双曲线的范围：双曲线上的点到两个焦点的距离之差是一个常数，即$2a$。因此，双曲线的范围可以表示为$x^2/a^2-y^2/b^2\leq1$。

4.老师提问：同学们，谁能告诉我，如何求解椭圆和双曲线上的最值问题？

学生回答，老师点评：我们可以利用导数来求解椭圆和双曲线上的最值问题。具体步骤如下：

-求出椭圆或双曲线的导数。

-令导数等于0，求出可能的极值点。

-判断极值点的性质，确定最大值或最小值。

三、课堂练习

1.老师出示练习题：求椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的点到原点的距离的最大值和最小值。

学生独立完成，老师巡视指导。

2.学生展示解题过程，老师点评并总结：首先，我们求出椭圆的导数，然后令导数等于0，求出可能的极值点。最后，我们判断极值点的性质，确定最大值和最小值。

3.老师出示练习题：求双曲线$x^2-y^2=1$上的点到点$(2,0)$的距离的最大值和最小值。

学生独立完成，老师巡视指导。

4.学生展示解题过程，老师点评并总结：同样，我们求出双曲线的导数，然后令导数等于0，求出可能的极值点。最后，我们判断极值点的性质，确定最大值和最小值。

四、课堂小结

1.老师总结：今天我们学习了圆锥曲线中的范围和最值问题，掌握了利用导数求解椭圆和双曲线上的最值问题的方法。

2.学生提问，老师解答：同学们，对于今天的学习内容，你们还有哪些疑问？

3.老师解答，并强调重点：圆锥曲线的范围和最值问题在几何和实际应用中都有重要的意义，希望大家能够熟练掌握。

五、布置作业

1.老师布置作业：请同学们课后完成以下练习题：

-求椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$上的点到原点的距离的最大值和最小值。

-求双曲线$x^2-y^2=4$上的点到点$(0,1)$的距离的最大值和最小值。

2.老师提醒：请同学们认真完成作业，遇到问题可以互相讨论或向老师请教。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《圆锥曲线的几何性质与应用》：这本书详细介绍了圆锥曲线的几何性质，包括椭圆、双曲线和抛物线的性质，以及它们在工程、物理和天文等领域的应用。

-《解析几何在现代数学中的应用》：本书探讨了解析几何在数学各个分支中的应用，包括圆锥曲线的范围和最值问题，以及如何利用解析几何的方法解决实际问题。

-《数学之美》：这本书以生动的语言介绍了数学的基本概念和原理，包括圆锥曲线的几何性质，适合对数学有浓厚兴趣的学生阅读。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试通过几何画板等软件绘制圆锥曲线，观察它们的几何性质，如焦点、渐近线等。

-学生可以研究圆锥曲线在物理中的应用，例如卫星轨道的设计、抛物线运动的分析等。

-学生可以探究圆锥曲线在不同坐标系中的性质，如极坐标系中的圆锥曲线方程，以及它们在不同坐标系下的几何特征。

-学生可以尝试解决一些与圆锥曲线相关的实际问题，如设计一个抛物线天线，使其覆盖范围最大。

-学生可以查阅相关资料，了解圆锥曲线在现代数学和科学领域的研究进展，以及它们在新技术、新理论中的应用。

-学生可以小组合作，进行圆锥曲线性质的研究项目，如比较椭圆、双曲线和抛物线的几何特征，分析它们在不同场景下的应用差异。典型例题讲解例题1：求椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上到点$P(3,0)$的距离的最小值。

解答：设椭圆上任意一点为$M(x,y)$，则$M$到点$P$的距离为$d=\sqrt{(x-3)^2+y^2}$。由椭圆方程可得$y^2=4(1-\frac{x^2}{9})$，代入$d$的表达式中得$d=\sqrt{(x-3)^2+4(1-\frac{x^2}{9})}$。

对$d$求导得$d'=\frac{2(x-3)-\frac{8x}{9}}{2\sqrt{(x-3)^2+4(1-\frac{x^2}{9})}}$，令$d'=0$，解得$x=\frac{27}{25}$。将$x=\frac{27}{25}$代入$d$的表达式中得$d_{\text{min}}=\frac{12}{5}$。

例题2：求双曲线$x^2-y^2=1$上到点$Q(0,1)$的距离的最大值。

解答：设双曲线上任意一点为$N(x,y)$，则$N$到点$Q$的距离为$d=\sqrt{x^2+(y-1)^2}$。由双曲线方程可得$y^2=x^2-1$，代入$d$的表达式中得$d=\sqrt{x^2+(x^2-2x+1)}$。

对$d$求导得$d'=\frac{2x-2}{2\sqrt{2x^2-2x+1}}$，令$d'=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。将$x=\frac{1}{2}$代入$d$的表达式中得$d_{\text{max}}=\sqrt{2}$。

例题3：求椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上的点到直线$y=2x$的距离的最小值。

解答：设椭圆上任意一点为$R(x,y)$，则$R$到直线$y=2x$的距离为$d=\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$。由椭圆方程可得$y^2=9(1-\frac{x^2}{16})$，代入$d$的表达式中得$d=\frac{|2x-3\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}|}{\sqrt{5}}$。

对$d$求导得$d'=\frac{-6x}{\sqrt{5}(1-\frac{x^2}{16})^{3/2}}$，令$d'=0$，解得$x=0$。将$x=0$代入$d$的表达式中得$d_{\text{min}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。

例题4：求双曲线$x^2-y^2=4$上的点到直线$y=-x$的距离的最大值。

解答：设双曲线上任意一点为$S(x,y)$，则$S$到直线$y=-x$的距离为$d=\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$。由双曲线方程可得$y^2=x^2-4$，代入$d$的表达式中得$d=\frac{|x+\sqrt{x^2-4}|}{\sqrt{2}}$。

对$d$求导得$d'=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}}{\sqrt{2}}$，令$d'=0$，解得$x=2$。将$x=2$代入$d$的表达式中得$d_{\text{max}}=\sqrt{6}$。

例题5：求抛物线$y^2=8x$上的点到原点的距离的最大值。

解答：设抛物线上任意一点为$T(x,y)$，则$T$到原点的距离为$d=\sqrt{x^2+y^2}$。由抛物线方程可得$y^2=8x$，代入$d$的表达式中得$d=\sqrt{x^2+8x}$。

对$d$求导得$d'=\frac{2x+8}{2\sqrt{x^2+8x}}$，令$d'=0$，解得$x=-4$。将$x=-4$代入$d$的表达式中得$d_{\text{max}}=4\sqrt{3}$。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上积极参与讨论，能够认真听讲，对于提出的问题能够积极思考并回答。在解决圆锥曲线的范围和最值问题时，大部分学生能够按照步骤进行计算，表现出较强的逻辑推理能力。

2.小组讨论成果展示：在小组讨论环节，学生们能够有效地合作，共同探讨圆锥曲线的性质和应用。每个小组都能够提出自己的解题思路，并通过交流达成共识，展示出良好的团队协作能力。

3.随堂测试：通过随堂测试，了解学生对圆锥曲线基本性质和求解方法的理解程度。测试结果显示，大部分学生能够正确运用所学知识解决简单问题，但对复杂问题的处理能力还有待提高。

4.学生自评与互评：鼓励学生在课后进行自我评价，反思自己在课堂上的表现，包括对知识的掌握程度、参与讨论的积极性等。同时，学生之间可以进行互评，相互学习，共同进步。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现和随堂测试的结果，教师将给予以下评价与反馈：

-对课堂表现积极的学生给予肯定，鼓励他们在接下来的学习中继续保持；

-对在讨论和测试中表现较好的学生给予表扬，激发他们的学习兴趣；

-对在解决问题时出现错误的学生，教师将耐心讲解，帮助他们找到错误原因，并指导他们如何避免类似错误；

-对在小组讨论中表现不佳的学生，教师将提供更多参与讨论的机会，引导他们积极参与课堂活动；

-教师将根据学生的学习情况，调整教学策略，确保每个学生都能在课堂上有所收获。板书设计①重点知识点：

-椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

-双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

-焦点坐标：$(\pmc,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$（椭圆）或$c=\sqrt{a^2+b^2}$（双曲线）

-离心率：$e=\frac{c}{a}$

②关键词句：

-椭圆的定义：所有点到两焦点的距离之和为常数$2a$

-双曲线的定义：所有点到两焦点的距离之差为常数$2a$

-范围问题：求解椭圆或双曲线上点的坐标满足的条件

-最值问题：求解椭圆或双曲线上某点函数值的最大或最小值

③解题步骤：

-确定圆锥曲线的类型（椭圆或双曲线）

-写出圆锥曲线的标准方程

-标注焦点坐标和离心率

-根据题目要求，列出相关的不等式或方程

-利用导数求解极值点

-判断极值点的性质，确定最大值或最小值教学反思与总结嗯，今天这节课，我觉得还是挺有收获的。学生们对圆锥曲线的范围和最值问题的掌握情况比我预想的要好一些，大家都能按照步骤解题，这在一定程度上说明了我们之前的复习是有效