第1章第02讲 幂的乘方与积的乘方（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）

第02讲幂的乘方与积的乘方课程标准学习目标①幂的乘方②积的乘方1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则；2.掌握幂的乘方与积的乘方法则的推导过程并能灵活运用.知识点01幂的乘方法则幂的乘方法则：(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：公式的推广：(，均为正整数)【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：．【即学即练2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：．知识点02幂的乘方法则逆用公式幂的乘方法则逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【即学即练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知那么的值为．【即学即练2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）当，则的值为．知识点03积的乘方法则积的乘方法则：(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：公式的推广：(为正整数).【即学即练1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算：．【即学即练2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算：．知识点04积的乘方法则逆用公式积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：(1)；(2)．【即学即练2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据下列条件回答问题(1)已知，求n的值；(2)已知，，求的值．题型01幂的乘方运算例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)．2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）计算：；（2）计算：．3．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算：(1)；(2)；题型02幂的乘方的逆用例题：（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．【变式训练】1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算：(1)若，，求的值．(2)若，求x的值．2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．(1)若，，求的值．(2)若，求x的值．题型03利用幂的乘方比较大小例题：（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．）解：，，且，，类比阅读材料的方法，解答下列问题：(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；A．同底数幂的乘法

B．同底数幂的除法

C．幂的乘方

D．积的乘方(2)比较的大小；(3)比较与的大小；(4)已知，，．求之间的等量关系．【变式训练】1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小：（填“”、“”或“”）．2．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题．材料一：比较和的大小．解：因为，所以，即．小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小．材料二：比较和的大小．解：因为，所以，即．小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小．(1)比较的大小；(2)比较的大小；(3)已知，比较的大小（均为大于1的数）．题型04积的乘方运算例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)．【变式训练】1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算：(1)；(2)．2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：(1)；(2)．3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：(1)(2)题型05积的乘方的逆用例题：（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知，求的值．（2）已知，求x的值．（3）计算．【变式训练】1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，……(1)发现规律：______，______．(2)应用规律：①填空：______，______；②计算：．2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．东东的作业计算：．解：原式．(1)计算：①；②；(2)若，请求出n的值．一、单选题1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算：，其中，第一步运算的依据是（

）A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则C．乘法分配律 D．积的乘方法则3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若成立，则（

）A．， B．，C．， D．，4．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知，，则的值为（

）A．14 B．126 C．24 D．1285．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，，，比较、、的大小（

）A． B． C． D．二、填空题6．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算的结果为．7．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算：．8．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知，则的值为．9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形，四边形；若，则．10．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知，则代数式的值为．（2）若均为正整数，且，则的值为．三、解答题11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算(1)(2)12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．13．（2025七年级下·全国·专题练习）计算：(1)(2)；(3)（m为正整数）．14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1），，求的值；（2）若，，求．15．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）计算：；（2）已知，求的值．16．（2024七年级上·全国·专题练习）若（且，，是正整数），则．利用上述结论，解决下列问题．(1)若，求的值；(2)请比较，，的大小，并说明理由．17．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，，求的值．18．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．东东的作业计算：解：原式计算：(1)(2)若，请求出n的值19．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题：(1)若，求的值；(2)已知为正整数，且，求的值；(3)若，，用含的代数式表示．20．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习