第1章第06讲 平方差公式（1个知识点 5类热点题型讲练 习题巩固）（解析版）

第06讲平方差公式课程标准学习目标①平方差公式的推导②平方差公式的运算③平方差公式的应用1.理解并掌握平方差公式的推导和应用；2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形平方差公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)【即学即练1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查整式乘法，平方差公式．根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故不符合题意；B、，能用平方差公式计算，故符合题意；C、，不能用平方差公式计算，故不符合题意；D、，不能用平方差公式计算，故不符合题意；故选：B．【即学即练2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；（1）直接运用平方差公式展开；（2）先根据平方差公式展开得到原式，然后根据幂的乘方法则运算；（3）先提负号得到原式，然后根据平方差公式计算．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【即学即练3】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算(1)(2)【答案】(1)8800(2)12.1【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式，运算律在有理数运算中的应用，对于（1），先提出11，再根据平方差公式计算即可；对于（2），逆用乘法分配律计算即可．【详解】（1）原式；（2）原式．题型01判断是否可用平方差公式运算例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）下列各式能用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时的关键是要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，据此即可解答．【详解】解：A、中只有相同的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；B、只有互为相反数的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；C、能用平方差公式计算，故本选项正确；D、中不存在相同的项与互为相反数的项，，故本选项错误．故选：C．【变式训练】1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可．【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式；B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式；C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式；D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式．故选：C．2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）下列各式不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查平方差公式：，根据平方差公式逐项分析即可．【详解】解：A、，故能够用平方差公式计算；B、不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算；C、，故能够用平方差公式计算；D、，故能够用平方差公式计算；故选：B．3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【详解】解：A.，不符合平方差公式的形式，故该选项不符合题意；B.，不符合平方差公式的形式，故该选项不符合题意；C.，能用平方差公式计算，故该选项符合题意；

D.，不符合平方差公式的形式，故该选项不符合题意；故选：C．题型02运用平方差公式进行运算例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键；（1）逐步利用平方差公式计算即可；（2）逐步利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式训练】1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查的是平方差公式的灵活运用，熟记平方差公式是解本题的关键；（1）先化为平方差公式的形式，再利用平方差公式计算即可；（2）先变形，再逐步利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：．（2）．2．（2024八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式计算下列各题：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；（1）利用平方差公式进行计算即可得解；（2）利用平方差公式进行计算即可得解；（3）二次利用平方差公式进行计算即可得解；（4）先把第一项和第三项利用平方差公式计算，然后再次利用平方差公式进行计算即可得解．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．题型03利用平方差公式进行简便运算例题：（24-25七年级上·上海·期中）简便计算：．【答案】【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可．【详解】解：【变式训练】1．（24-25七年级上·上海·期中）简便方法计算：．【答案】4【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解．【详解】解：．2．（2024八年级上·全国·专题练习）利用平方差公式计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)899(2)99.99(3)9996(4)999991【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式的运用，两个二项式相乘，把这两个二项式转化为有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（1）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（2）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（3）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（4）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算：(1)；(2)．(3)【答案】(1)9999(2)1(3)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．（1）根据平方差公式运算即可；（2）先根据平方差公式计算，再算加减；（3）利用平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：原式．（3）解：原式．题型04与平方差公式有关的化简求值例题：（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中．【答案】；【知识点】已知字母的值，求代数式的值、整式的混合运算【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值；根据单项式乘多项式的法则和平方差公式计算化简，然后代入数据计算即可．【详解】解：，当时，原式．【变式训练】1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【知识点】运用平方差公式进行运算、多项式乘多项式——化简求值【分析】本题主要考查了平方差公式、整式的乘法．根据平方差公式和多项式的乘法化简，然后把a的值代入计算即可．【详解】解：，当时，原式．2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【知识点】零指数幂、运用平方差公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、合并同类项【分析】本题考查了整式的运算，代数式求值，零整数指数幂，根据平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项可得化简结果，最后通过零整数指数幂求出的值，然后求出的值，最后代值求解即可，熟练掌运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，∵，，∴原式．3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）化简求值：求代数式的值，其中．【答案】，25【知识点】整式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．先化简题目中的式子，再利用整体思想建立与已知式子之间的关系即可解答本题．【详解】解：，，，原式．题型05平方差公式在几何图形中的应用例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用含的等式表示）；【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：①已知，，则的值为；②计算：．【拓展】（3）计算：．【答案】（1）；（2）①4；②；（3）【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查平方差公式的应用．（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出，代入求值即可；②可将写成，再利用平方差公式求值；（3）利用平方差公式将写成，以此类推，然后化简求值．【详解】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，所以，得到乘法公式，故答案为：；（2）①由得，，∵，，∴；故答案为：4；②；（3）．【变式训练】1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；(2)【应用】利用“平方差公式”计算：；(3)【拓展】计算：．【答案】(1)①②③(2)(3)【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形【分析】本题考查平方差公式的几何背景，（1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可；（2）利用平方差公式进行计算即可；（3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可；解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：①左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；②右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；③公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式；图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式；图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式；图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图④不能验证平方差公式；综上所述，能验证平方差公式的有①②③，故答案为：①②③；（2）；（3）．2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）．(1)上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）．A．

B．C．(2)若，，求的值．(3)计算：．【答案】(1)B(2)3(3)【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．（2）利用平方差公式计算即可．（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为；验证的等式是，故答案为：B．（2），且，，解得：；（3）．一、单选题1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可．【详解】解：．故选：D．2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．【详解】解：A、不符合平方差公式的形式，故不符合题意；B、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意；C、原式，符合平方差公式的形式，故符合题意；D、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意．故选：C．3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式的结构特征变形即可．【详解】解：故选：B．4．（24-25八年级上·河南开封·期中）如果，则的值为（

）A．4 B．16 C．24 D．32【答案】B【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式整理，然后代入数据计算即可得解．【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．5．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用代数式表示拼接前、后的面积可得答案．【详解】解：阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得：，可以验证平方差公式；故选：A．二、填空题6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算：．【答案】/【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：故答案为：．7．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个长方形的长为，宽为，则长方形的面积为．【答案】【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查平方差公式的应用，先根据面积公式列式，再根据直接求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，长方形的面积为：，故答案为：．8．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为．【答案】【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可．【详解】解：，∵，∴，∴原式，故答案为：．9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若，，，则、、的大小关系是（用“”连接）．【答案】【知识点】积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算、同底数幂乘法的逆用【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算，根据有理数的乘方法则求出a的值，根据平方差公式即可求出b的值，根据同底数幂乘法的逆运算法则与积的乘方的逆运算法则即可求出c的值，从而得出比较结果．【详解】解：，，，∴，故答案为：．10．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．【答案】/【知识点】平方差公式与几何图形【分析】本题考查了平方差公式的几何表示，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键．结合图形，根据梯形的面积公式（上底下底）高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算．【详解】解：由题意得菜地的面积为．故答案为：．三、解答题11．（2024八年级上·全国·专题练习）运用平方差公式计算．(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)(2)(3)(4)3599.96(5)【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）利用平方差公式进行计算即可得解；（2）利用平方差公式进行计算即可得解；（3）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解；（4）把原式进行变形，然后利用平方差公式进行计算即可得解；（5）利用平方差公式进行计算即可得解，然后合并同类项即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解：原式．12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、整式的加减运算、单项式乘多项式的应用【分析】本题考查了平方差公式，整式的乘法和加减，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．（1）先变形，再根据平方差公式计算即可；（2）直接根据平方差公式计算即可；（3）先变形，再根据平方差公式计算即可；（4）先根据平方差公式和单项式乘以多项式计算，再计算加减即可；（5）先根据多项式乘以多项式和平方差公式计算，再计算加减即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解：原式．13．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算：(1)(2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用平方差公式进行运算、两个有理数的乘法运算、含乘方的有理数混合运算【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，含乘方的有理数混合运算，平方差公式等知识点，运用平方差公式简化运算是解题的关键．（1）将写成，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）先提取公因数，将原式写成，然后对括号内的部分使用平方差公式即可．【详解】（1）解：；（2）解：．14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【知识点】运用平方差公式进行运算【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．【详解】（1）；（2）15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）先化简再求值：，其中，．【答案】，【知识点】运用平方差公式进行运算、多项式乘多项式——化简求值【分析】此题考查了整式乘法的混合运算化简求值，掌握平方差公式以及多项式乘多项式的法则是解题的关键．原式利用平方差公式，以及多项式乘多项式的法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】，∵，∴原式．16．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．(1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；(2)当，，求绿化的总面积；(3)在（）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若根据施工队的工期需要，甲队的工作时间比乙队的工作时间少小时，则甲、乙两队各工作多少小时？【答案】(1)；(2)平方米；(3)甲队工作小时，乙队工作小时．【知识点】多项式乘多项式与图形面积、运用平方差公式进行运算、已知字母的值，