第2章第05讲 解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题（5类热点题型讲练）（原卷版）

2/10第05讲解题技巧专题：作辅助线解决平行线中的拐点问题目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一猪蹄模型（M型）与锯齿模型】 1【考点二铅笔头模型】 11【考点三牛角模型】 19【考点四羊角模型】 25【考点五蛇形模型（“5”字模型）】 35【考点一猪蹄模型（M型）与锯齿模型】【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例题：（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）问题发现：如图①，直线，连接，可以发现．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作，（已知），（辅助线的作法），（________________________________________）．．（_______________________________）．，（同理）．___________．即．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．（3）解决问题：如图③，是与之间的点，直接写出，，，，之间的数量关系______________________．巩固训练1．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，，，，，求．2．（23-24七年级下·全国·期末）探究：如图①，，试问、、有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：解：如图①，过点C作，∴（）．又∵，，∴（），∴（），∴，即；应用：如图②，直线，，垂足为O，与相交于点E，若，求的度数；拓展：如图③，，于点C，，，则．3．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程：证明：(1)如图1，过点作，则___________．（

），__________（

）____________（

）又，．(2)如图2，，请写出的和并说明理由；(3)如图3，，请直接写出图3中的和．4．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由；（2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论；（3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论．5．（24-25七年级上·山东青岛·期中）【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：

【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，．【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明；【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系．①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明；②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由．【应用拓展】（3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由．【考点二铅笔头模型】【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，四边形为一张长方形纸片．

(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°．(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°．(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°．(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________；如图②，，则________，请你说明理由；（2）如图③，，则________；（3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数．2．（22-23七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数．解：过点E作．（已作），（

）．又（已知），______________（平行关系的传递性），（两直线平行，同旁内角互补），（等式性质），即_______；（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______；（3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______；（4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）．3．（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）已知：（1），P为平行线内一点，请猜测、、的关系并说明理由．（2）若内部有两个点，，那么，和，又有怎样的数量关系（直接写出结果）（3）内部有n个点呢，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）（4）若内部有n个点的位置这样变化，你找到了怎样的规律？（直接写出结果）【考点三牛角模型】【模型解读】图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，，，则的度数为°．巩固训练1.（23-24七年级下·全国·期末）直线，P为直线上方一点，连接．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）；(3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值．2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：．证明：如图2，过点作，∴．∵，，∴，∴，∴．【类比应用】（1）如图3，，，，求的度数．（2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由．【拓展应用】（3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程）【考点四羊角模型】【模型解读】图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB图1图2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由．(1)填空：解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以(①___________)．因为，，所以(如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以(③___________)，所以④___________，即；(2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由；(3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由．巩固训练1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数．2．（22-23七年级下·广东揭阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系；(2)在图2中，，若，则的度数为；(3)在图3中，，若，则的度数为；(4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由．3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知(1)如图1，求证：(2)如图2，的平分线的反向延长线交的平分线于，若，，求的度数(3)如图3，若平分，平分，的反向延长线和的反向延长线交于点，且，求的度数4．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内．(1)探究与表达请直接写出：图中，，的数量关系；图中，，的数量关系；图中，，的数量关系：图中，，的数量关系；图中，，的数量关系；图中，，，，的数量关系；(2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数．【考点五蛇形模型（“5”字模型）】【模型解读】如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，∵AB