第4章第12讲 章节复习专题：三角形（6个知识点+12大常考题型）（原卷版）

2/10第12讲章节复习专题：三角形目录TOC\o"1-1"\h\u【考点一判断三边是否能构成三角形】 3【考点二三角形的稳定性】 5【考点三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】 6【考点四利用三角形的三边关系化简绝对值】 8【考点五利用三角形的内角和求角的度数】 10【考点六判断是否三角形的高线】 13【考点七根据三角形的中线求解】 15【考点八在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】 18【考点九利用三角形的中线、高线、角平分线求解】 22【考点十利用全等三角形的性质求解】 27【考点十一全等三角形判定和性质多结论问题】 29【考点十二全等三角形的性质和判定】 36【考点十三全等三角形的性质和判定探究综合题】 41知识点01三角形的概念及分类1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.2.三角形的分类(1)按边分类可以分为；(2)按角分类可以分为知识点02三角形基本元素角与边的有关定理(1)三角形的内角和等于.(2)直接三角形两个锐角互余.(3)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.知识点03三角形的中线、角平分线、中线三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．知识点04全等三角形的概念和性质能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．知识点05全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）.特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点06全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．【考点一判断三边是否能构成三角形】例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（

）A．1、2、3 B．6、3、2 C．2、2、3 D．4、2、1【变式训练】1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．2，4，7 B．4，8，12 C．3，7，12 D．4，10，122．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下列长度的三根小木棒，把它们首尾顺次相接能摆成一个三角形的是（

）A．1，1，3 B．5，6，7 C．1，8，18 D．3，4，103．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（

）A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6【考点二三角形的稳定性】例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，其中所涉及的数学原理是（

）A．三角形任意两边之和大于第三边 B．三角形的稳定性C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线【变式训练】1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（

）A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（）A． B． C． D．3．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（

）A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于【考点三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围】例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围．【变式训练】1．（24-25八年级上·河南漯河·期末）若为三角形三边长，且满足，则第三边长可能是．2．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为和，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为，则x的取值范围是．3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个三角形的三边长为2，5，a，则a的取值范围是；若此三角形的周长为偶数，则，此时三角形的形状是三角形．【考点四利用三角形的三边关系化简绝对值】例题：（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知，，为三角形的三边，化简的结果是【变式训练】1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知等腰的三边长分别为5，11，，则．2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为．3．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）为三角形三边长，化简的结果是．【考点五利用三角形的内角和求角的度数】例题：（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为．【变式训练】1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知：如图，在中，，，若，则．2．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，为边上的高，，，则是度．可知，，故此种情况不存在，舍弃；③高在三角形外部，如图所示：3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为．【考点六判断是否三角形的高线】例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图所示，中边上的高线画法正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（24-25八年级上·北京·期中）已知，作边上的高，下列作图中正确的是（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（

）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（

）A．是的高 B．是的高C．是的高 D．是的高【考点七根据三角形的中线求解】例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差的值为．【变式训练】1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是．2．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则；若，则．（2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则．3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16．（1）的面积为；（2）设的面积为m，的面积为n，则．【考点八在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积】例题：（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．(1)画出边上的高和中线；(2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）．【变式训练】1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．(1)的面积______；(2)只用直尺画出的高；(3)只用直尺过点C画．2．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期中）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点均在格点上，按要求解答：(1)请画出的边上的高；(2)连接格点，用一条线段将分成面积相等的两部分（直接画图即可）；(3)直接写出的面积为__________．3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，在网格中按要求画图，保留作图痕迹．(1)的面积为______，(2)在图①中，过点C作线段，使点D为格点；(3)在图②中，过点B作的垂线段．【考点九利用三角形的中线、高线、角平分线求解】例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，．(1)求与的周长差．(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．【变式训练】1．（23-24七年级下·四川达州·期中）如图，中，，于，平分交于．(1)当，时，求的度数；(2)猜想：与有什么关系，并说明理由．2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，是高线．(1)如果，求的长；(2)如果，求的度数．3．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分）【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明．【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________；【考点十利用全等三角形的性质求解】例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，若，则．7．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，，在边上，，，则的度数为．【变式训练】1．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则°．2．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，，．点P在线段上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为．若与全等，则x的值为．【考点十一全等三角形判定和性质多结论问题】例题：（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．0个【变式训练】1．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（

）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，连接．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点A，，，在同一直线上，于点，于点，连接，交于点，且为的中点．若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．【考点十二全等三角形的性质和判定】例题：（24-25八年级上·北京·期中）如图，点在一条直线上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【变式训练】1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，，且．(1)求证：；(2)若，，试求的长．2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点在边上，，点，在线段上，．(1)求证：；(2)若的面积为，的面积为，求的面积．3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知和，，，，与交于点，点在上．(1)试说明；(2)若，，求的度数．4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，D、A、E三点均在直线上，且．(1)如图1，若，，，则线段的长为；(2)如图2，判断、、之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若将“”变为“”，其他条件不变，且，，则线段的长为．【考点十三全等三角形的性质和判定探究综合题】例题：（24-25八年级上·河北沧州·期中）已知，D，A，E三点在直线m上，在直线m上方有，且满足．【积累经验】（1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系并说明理由．【类比迁移】（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，与的面积之和为2，请直接写出的面积．【变式训练】1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．初步感知如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．（1）填空：________．（填“”“”或“”）（2）求证：．（3）试说明：．拓展应用（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．2．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（1）中线的取值范围是______．【类比迁移】（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．【拓展应用】（3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题情境】（1）如图1，