第2章第04讲 平行线的性质（1个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

2/10第04讲平行线的性质课程标准学习目标①平行线的性质②平行线的判定和性质1.掌握平行线的性质，并利用平行线的性质求解。2.掌握平行线的判定和性质并应用。知识点01平行线的性质(1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补；(2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD，则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)；②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)；③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°).【即学即练1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）补全推理过程：如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，求的度数．解：，（已知）．（______）．（______），（已知）______．（同角的补角相等）．（______）．（______），（已知）．（等量代换），（已知）．（______），（平角定义）．（等式性质），（已证）______°．（______）【答案】垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等．【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键．根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答．【详解】解：，（已知）．（垂直于同一直线的两直线平行）．（两直线平行、同旁内角互补），（已知）．（同角的补角相等）．（内错角相等、两直线平行）．（两直线平行、内错角相等），（已知）．（等量代换），（已知）．（垂直的定义），（平角定义）．（等式性质）（已证），．（两直线平行、同位角相等）．故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等．【即学即练2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知：如图，，．(1)判断与的位置关系，并说明理由．(2)若平分，若，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义；（1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可．【详解】（1）解：．理由：∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．题型01利用平行线的性质求角度例题：（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若，，和互余，则，．【答案】【知识点】与余角、补角有关的计算、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴．∵和互余，∴．∴．∵，∴．∴．故答案为：；．【变式训练】1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为．【答案】【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据，，得出，再设，则，根据题意列式得求解即可．【详解】如图，，，，∴，且，∴，设，则，则的补角为，的余角为，∴，解得，的度数为，故答案为：．2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，若，则．【答案】/25度【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．根据邻补角的定义可求，利用平行线的性质结合角平分线的定义，得出，进而得出答案．【详解】解：，，，，平分，，，故答案为：．题型02利用平行线的性质求生活中的应用例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为．【答案】/122度【知识点】平行线的性质在生活中的应用【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图：∵水中的两条光线平行，，∴，∵水面和杯底互相平行，∴，∵，故答案为：．【变式训练】1．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则度．【答案】150【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案．【详解】解：过点B作，如图，∵平行地面，∴，∵，∴∵，，，∴，∴，故答案为：150．2．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，的一边为平面镜，，一束与水平线平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则的度数是，的度数为．【答案】/36度72°/72度【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，得到，，得到，又由得到．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：，．题型03根据平行线的判定与性质求角度例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图已知：，，，求的度数.解：，________（________）又，________________（________）________，（________），________.【答案】，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键；根据平行线性质推出，根据平行线判定推出，根据平行线判定推出，求出即可．【详解】解：，（两直线平行，同位角相等）又，，（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），；故答案为：，两直线平行，同位角相等；；，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；【变式训练】1．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定；（2）结合（1）可得，，从而可求的度数．本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：，．由（1）可得：，，，，．2．（23-24七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，，的平分线交的延长线于点，的平分线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)详见解析(2)【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由平行线的性质得出，再结合得出，即可得证；（2）由平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，推出，即可得解．【详解】（1）证明：，，∴；（2）解：，平分，平分，，，．题型04根据平行线的判定与性质证明例题：（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知：如图，于点G，于点H，．求证：．证明：∵于点G，于点H（已知），∴（）．∴（）．∴（）．∵（已知），∴（）．∴（）．∴（）．【答案】见解析【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．先证明，得到，然后证明出，然后由平行线的性质即可得出结论．【详解】证明：∵于点G，于点H（已知），∴（垂直的定义）．∴（同位角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，同位角相等）．∵（已知），∴（等量代换）．∴（内错角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，内错角相等）．【变式训练】1．（24-25七年级上·吉林·期末）完成下面的推理填空：已知：如图，、分别在和上，，与互余，于．求证：．证明：，（已知）．（垂直的定义），（已知）__________．（_____），（_____）又，_____．又与互余，（已知）．（同角的余角相等）．（_____）【答案】，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行；【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可．【详解】证明：，（已知）．（垂直的定义），（已知）．（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等）又，．又与互余，（已知）．（同角的余角相等）．（内错角相等，两直线平行）2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，、分别平分、，且．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质．掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．（1）由角平分线的定义得，由得，结合条件得，从而得出结论；（2）根据平行线的性质得，由可得结论．【详解】（1）证明：因为分别平分，所以，因为，所以，因为，所以，所以．（2）证明：因为，所以．因为，所以．题型05根据平行线的判定与性质探究角的关系例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），CE，CF分别平分和交射线于点E，F．(1)求的度数，若，请直接用含的式子表示；(2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；(3)当时，请直接写出的度数．【答案】(1)，(2)不改变，恒为，理由见解析(3)【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．（1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可；（2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答；（3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∵分别平分和，∴∴；若，∵，．∴，∴，∵分别平分和，∴，∴；（2）解：不变．恒为，理由如下：∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：∵，∴，，当时，则有，∴，∴，∴．【变式训练】1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若，，则_______；(2)如图2，试说明，；(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)见解析；(3)，理由见解析．【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．（1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到；（2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即；（3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明．【详解】（1）解：过点E作直线，∵，∴，∴，，∵，∴．（2）解：如图所示，过点E作，，，，，，即．（3）解：①，理由如下：由（1）可得，平分，平分，，，，由（2）可知，，．2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，．(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，．①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值；②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义结合题意得出，即可得出结论；（2）①由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而求出，再由平行线的性质即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时；分别求解即可得出答案．【详解】（1）解：，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：①∵平分，平分，∴，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；②如图，当点在点的左侧时，，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；如图，当点在点的右侧时，，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，综上所述，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，．题型06求平行线间的距离问题例题：（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为．【答案】或【知识点】求平行线间的距离【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键．【详解】解：当在和的同侧时，距离为；当在之间时，距离为，故答案为：或．【变式训练】1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为．【答案】【知识点】求平行线间的距离【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论．【详解】解：设与之间的距离为，则，，，，，设与之间的距离为，故答案为：．2．（22-23七年级下·广西来宾·期中）如图，，平分，平分，．(1)问：与平行吗？试说明理由．(2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离．【答案】(1)平行，见解析(2)8【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、求平行线间的距离【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离：（1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证；（2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可．【详解】（1）解：，理由如下：，，平分，平分，，，，，，；（2），，，，，四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，，即，，即，所在的直线之间的距离为．题型07利用平行线间距离解决问题例题：（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，，AC、BD交于点E，的面积等于10，的面积等于6，那么的面积等于．

【答案】4【知识点】利用平行线间距离解决问题【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，再根据计算求解即可．【详解】解：∵，，故答案为：4．【变式训练】1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，AD，的面积等于，，，则的面积是.【答案】10【知识点】利用平行线间距离解决问题【分析】此题考查了平行线间的距离和三角形面积求法，过作于点，过作于点，根据平行线间的距离相等得出，最后由等底等高的三角形面积相等即可，解题的关键是熟练掌握平行线间的距离和等底等高的三角形面积相等．【详解】如图，过作于点，过作于点，∵，∴，∴，，∵的面积等于，，，∴，∴，故答案为：10．2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与BD相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④AD与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是（填序号）【答案】②③④【知识点】利用平行线间距离解决问题【分析】本题考查了平行线间的距离，根据，得出间的距离相等，进而根据三角形的面积公式，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵，∴间的距离相等，①三角形与三角形周长不一定相等，故①不正确②三角形与三角形面积相等，故②正确；③∵∴即三角形与三角形面积相等，故③正确；④AD与之间的公垂线段相等，故④正确．故答案为：②③④．一、单选题1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，，若，则的度数是（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答．【详解】解：，，，，故选：D．2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果．【详解】解：过作，∵，∴，，，，∵，，，故选：C．3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）两个直角三角板和如图所示摆放，点F恰好在上，其中，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质知识．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由，可得，即，计算求解即可．【详解】解：∵，，，∴，即，解得，故选：C．4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案．【详解】解：，，，．故选：A．5．（23-24七年级下·广西柳州·期末）如图，已知，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系【分析】本题考查了平行线的性质，角平分的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．直接利用平行线的性质判断①；先求出的度数，然后利用角平分线的定义可得，即可判断②；利用平行线的性质和可证，然后结合角平分线定义可得，即可判断③；利用平行线的性质可得，，结合可得，即可判断④．【详解】解：∵，∴，故①正确；∵，，∴，∵、分别平分和，∴，，∴，故②正确；∵，∴，又，∴，∴，又，，∴，故③正确；∵，∴，，又，∴，∴，故④正确．故选：D．二、填空题6．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为．【答案】/130度【知识点】两直线平行同位角相等【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．根据两直线平行，同位角相等即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．7．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图，某人沿路线A→B→C→D行走，与方向相同，，则．【答案】【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的“两直线平行，内错角相等”的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据“两直线平行，内错角相等”即可求解．【详解】解：由题意得，，∴，故答案为：150．8．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，已知于点，CB的延长线与交于点，若，则的度数为．

【答案】/度【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，则，由平行线的性质得到，再由垂线的定义得到，则，据此可得答案．【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．

9．（23-24六年级下·山东烟台·期末）五线谱是一种记谱法，通过五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在之间的一条平行线上，若，则的度数是．【答案】90°/90度【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可．【详解】解：如图所示，

∵，，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．10．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是．【答案】①②③【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，垂直定义等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等得出，，再根据角的和差即可判断②；根据平行线的性质即可判断③；根据角的和差计算即可判断④．【详解】解：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴，①正确；∵，，∴，，，∴，∴，∴，②正确；∵，∴，∴，③正确；∵，∴，④错误；综上所述：正确的结论有①②③．故答案为：①②③．三、解答题11．（23-24七年级下·西藏拉萨·期末）如图，，，，求的度数．解：∵，（已知）∴____________．（______）∴．（______）∵，（已知）∴______．∴，（______）．∴______（两直线平行，同旁内角互补）∵，∴______．【答案】，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，内错角相等，两直线平行；，【知识点】根据平行线判定与性质求角度【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先由同旁内角互补，两直线平行证明，由两直线平行，同位角相等得到，由已知得到，根据内错角相等，两直线平行得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求出的度数．【详解】解：∵，（已知）∴．（同旁内角互补，两直线平行）∴．（两直线平行，同位角相等）∵，（已知）∴．∴，（内错角相等，两直线平行）．∴（两直线平行，同旁内角互补）∵，∴．故答案为：，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，内错角相等，两直线平行；，12．（23-24八年级上·四川达州·期末）将下面的推理过程及依据补充完整：如图，已知：平分，，求证：平分（证明注明理由）证明：∵（已知），∴（），即，∵，∴（）；∵（已知），∴（）；∴（），∴（）；∵平分（已知），∴（），∴（等量代换），∴平分（角平分线的定义）．【答案】见解析【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，灵活运用相关平行线的性质成为解题的关键．要证明平分，即证，由平行线的性质，只需证明，据此进行分析即可解答．【详解】证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等），即，∵，∴（两直线平行，内错角相等）；∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）；∴（等量代换），∴（等式性质）；∵平分（已知），∴（角平分线的定义），∴（等量代换），∴平分（角平分线的定义）．13．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)．【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．（1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明；（2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，即；（2）解：设，则，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，解得，∴．14．（2023·河北秦皇岛·一模）将北斗七星的位置画到纸上，分别标为，，，，，，，然后将，，，，，，顺次首尾连接（如图所示），设恰好经过点，且，，在一条直线上．已知，，．

（1）的度数为；（2）连接，若，则的度数为；【答案】【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题主要考查了平行线．添加平行线，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键．（1）过点C作，可得，从而求出，再根据即可求解；（2）先根据，求出，再相加即可．【详解】解：⑴过点C作

∴∵∴∵∴∴（2）

∵，∴∵∴15．（23-24七年级下·四川内江·开学考试）如图，已知，．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，且，求的度数．【答案】(1)；理由见解析(2)【知识点】根据平行线判定与性质求角度、对顶角相等【分析】此题考查了平行线的判定和性