《简单的线性规划问题》教学设计

《简洁的线性规划问题》教学设计

一、教学内容分析

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，主要用于解

决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。简洁

的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。涉

及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

与其它部分学问的联系，表现在：

二、学情分析

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所

表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意

义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实

际问题转化为数学问题。

从数学学问上看，问题涉及多个己知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看,

学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困

难。所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的

过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。

三、设计思想

本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件

作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。留意引导帮助学生充分体验”从

实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思

想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。

四、教学目标

1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；

2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

3.了解线性规划问题的图解法，井能应用它解决一些简洁的实际问题

4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高

学生，，建模，，和解决实际问题的实力

5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新

五、教学重难点

教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题

教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。

六、教学支持条件分析

老师可借助计算机或图形计算器，从激励学生探究入手，讲练结合，精准的直观演示能

使教学更富趣味性和生动性.

通过让学生视察、探讨、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模、用模的思

想，让学生学会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的亲密联系.

七、教学过程

1、创设情境，提出问题

引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品.每生产一件甲产品运用4个A配件,

耗时lh：每生产一件乙产品运用4个A配件，耗时2h.已知该厂每天最多可从配件厂获得

16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂全部可能的日生产支配是什么？

问题1：该厂日牛产支配受哪些条件约束？

设甲、乙两种产品每日分别生产x,y件，得出二元一次不等式组：

X+2j/<8,

4x<16,

<4^>12,

xeN9

yeN.

♦［师生活动］学生读题，引导阅读理解

后，列表一建立数学关系式一画平面区域，老师关注有多少学生写出了线性数学关系式,

有多少学生画出了相应的平面区域，在巡察中并发觉代表性的练习进行展示，强调这是同一

事物的两种表达形式数与形。

［设计意图］:引导学生读题，完成实际问题数学化的过程.承前一课时，使学生进一步娴熟

如何从实际问题中抽象出不等式组(约束条件)并用平面区域表示。

2、分析问题，形成概念

问题2：可能的日支配，什么意思？

［师生活动］教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点,

对于边界旁边的点，如(3,3),(4,3,),(4,4)是否可行域中，需引导学生协作不

等式来推断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思索.

【设计意图1：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解（x,y）的实

际意义，并给出“可行解”、“可行域”概念。

问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何支配生产

利润最大？

利润函数模型的建立.设生产利润为z（万元），则z=2x+3y0

［师生活动］①引导学生分别求各种可能支配的利润（列举）：z=?

Xyz=2x+3y

000

0i3

•・・・・・

4111

4214

视察得到，当x=4,y=2时，z最大，z的最大值为14万元.引出最优解概念。

②以上过程计算繁琐，操作难度大，引导学生调整探究思路，找寻解决问题的新方法。由

22

y=--x+-

利润函数的解析式z=2x+3y,可变形为33,故求z的最大值，可转化为求

3的最大值，而3是直线z=2x+3y在y轴上的截距，只要找到直线系z=2x+3y与y轴

的交点（呜）的最高即可.

检

一

③示范解答

解：设甲、乙两种产品每日分别生产x,y件，依题意，得不等式组:

%+2”8,

4x416,

,4y212,

xwM

yeN.

（列出不等式）

平面区域（如图），（画出可行域）

依题意，得目标函数z=2x+3y.（求出目标函数）

作直线2x+3y=0,平移之，经过点M时，z最大。（平移目标函数表示直线）

由x=4,x+2y=8得点M的坐标（4,2）.（求（写）出最优解）

因此，当x=4,y=2时，z最大，Zmax=2x4+3x2=14（万元）.

［设计意图1：通过添加最优化问题转入对新学问的探究，借助计算机技术展示数学关系式平

面区域、表格等各种形态的表现形式，在数、图、表的关联中进行视察，培育学生数形结

合思想。

从笔算到计算，从点到直线再到平面（区域），从一个函数到多个函数，从特别到一般，

从详细到抽象的相识过程，使学生经验数学学问形成、发觉、发展的过程，获得问题的解

决，这有助于培育学生的科学素养

3、反思过程，提炼方法

问题4：什么线性规划问题是？求解简洁线性规划的步骤？

线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性

规划问题.线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可

行解是满意约束条件的解.使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优

解。

步骤：第1步：依题意，列出不等式组；

笫2步：画出可行域（事实上也就找到了可行解）；

第3步：依题意，求出目标函数；

第4步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并视

察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值.

第5步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值。

（建、画、移、求、答）

4、变式演练.深化探究

问题5：假如每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何支配生产

利润最大?

目标函数为z=2x+4y,直线z=2x+4y与y轴的交点的横坐标为

作出直线2x+4y=0,并平移，视察知，当直线z=2x+4y经过点（2,3）或（4,2）时，

直线与y轴的交点最高，即x=2,y=3或x=4,y=2时，z取最大值，且Zmax=16.

问题6：假如每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品亏损2万元，如何支配生产

利润最大？

让学生先揣测；留意：z的最大值一直线z=3x-2y在y轴上的截距一z的最小

值.

LMdAX-O'一司、

目标函数为z=3x-2y,直线z=3x-2y与y轴的交点的横坐标为I力.作出直线

3x-2y=0,并平移，视察知，当直线z=3x・2y经过点（4,0）时，直线z=3x-2y与y轴的交

点最低，即x=4,y=0时，Z取最大值，且Zmax=12.

［设计意图］进•步强调目标函数直线的纵截距与Z的最值之间的关系，有时并不是截距越大,

Z值越大。这样使学生产与思想上的学问的冲突，从而逆一步相识到目标函数直线的纵截距

与Z的最值之间的关系！

5、运用新知，解决问题

（1）求z=2x+y的最大值，使x,y满意约束条件

<X+^<1,

y>-1.

（2）求z=3x+5y的最大值，使x,y满意约束条件

5c+3”15,

<”x+L

A5”3-

［设计意图］：这里是两个练习都是