《概率论与数理统计A》期末习题一答案

《概率论与数理统计A》期末习题一答案

一、简答题（本题满分30分，共含6小题，每小题5分）

1、设A,3为随机事件，A与3相互独立，P（A）=0.2,P（B）=0.4,求户口㈤。

解:P（AB）=P（A）P（B）=0.8x0.4=0.32.（5分）

\ex（）<%<1

2、设随机变量X的概率密度为/（x）=〈廿八，求常数。的值。

［0其他

解：「f（x）dx=£cxdx=—c=1,因此c=2。（5分）

o2

3、已知随机变量X~N（1,4）,求P{lvXv2}.

解.：P{1<X<2}=。{-<^^<彳}二中（3）-中（0）

（3分）

=0.6915-（）.5=0.1915。

4、设随机变量X和y相互独立，X〜N（3,4）,y〜W（2,9）,求变量2=2*-丫+1的

数学期望和方差。

解：E（Z）=E（2X-y+l）=2E（X）-E（r）+l=6-2+l=5；（2分）

O（Z）=O（2X—y+l）=4D（X）+O（y）=16+9=25。（3分）

5、已知10个产品中有3个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求所取的3个

产品中恰有2个次品的概率。

解：设X：所取得3个产品中次品的个数，则乂~8（3,』］（2分）

<1（））

P{X=2}=Cl\^~(71二189

（3分）

11U,lloJ_TOGO

v

6、设随机变量x、y相互独立，且都服从标准正态分布，则z=一服从什么分布（同时

炉

要写出分布的参数）？

v

解：］—~，⑴。（5分）

y/Y2

二、（本题满分10分）编号为1,2,3的三台仪器正在工作的概率分别为0.9,0.8和0.4,

从中任选一台。

（1）求此台仪器正在工作的概率;

（2）已知选到的仪器正在工作，求它编号为2的概率。

解：设事件A：任选一台仪器正在工作；8”选中第i台仪器；

（I）P（A）=P出）P（^B,）+P（B2）P（^|B2）+P（B3）P（^B3）

=0.9x1+0.8x14-0.4x1=0.7

（5分）

333

（2）。的A）=3=型"坐2=

（5分）

T尸（A）P（A）0.721

三、（本题满分12分）设二维随机变量（x,y）的联合概率密度为

4xy(0<x<l,0<y<l),

以x,y)=•

0(其他).

试求：（1）求随机变量x和y的边缘概率密度八（幻，/r（j）；

（2）判断x与丫是否相互独立，并说明原因。

］；4型/）,0cx<12x0<x<1

解：人（工）=匚/3,），）力=<=<（4分）

0else0else

()<y<l'2y0<y<l

=4（4分）

0else0else

（2）因为力为）/y（y）=f（苍y）,所以X与y相互独立。（4分）

四、（本题满分12分）设随机变量X的分布律如下，

X-112

Pk0.40.20.4

(1)求x的数学期望E(X)和方差o(x)；

(2)假设y=2X+5,求Cou(X,y)。

解：(1〉E(X)=(-l)x0.4+lx0.2+2x0.4=0.6；（2分）

E(X2)=1X0.6+4X0.4=2.2；（3分）

D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.2-(0.6)2=1.84；（3分）

(2)Cov(X,Y)=Cov(X,2X+5)=Cov(X,2X)+Cov(X,5)

=2£>(X)+0=3.68。（4分）

五、（本题满分10分）设总体X服从指数分布，概率密度为

5x>0

/(幻=<

0其他

其中参数冗未知，设X2、…、X”是来自总体X的一个样本，其中试求义的极大似然

估计量。

解：L(4)=立&一

（2分）

1-1

（2分）

InL(A)=n\nA-x.,（2分）

JinL（2）n/八

---------=——/苦=0，（2分）

dXAtr

n1□]

所以/l的最大似然估计值为A=--=最大似然估计量为2=（2分）

xX

1=1

六、（本题满分6分）设每分钟人的脉搏次数近似服从正态分布，正常人的脉搏平均为

72次/分，某医生测得16例慢性铅中毒患者的脉搏均值为67.4次/分，标准差为5.929。求铅

中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间。

解：在正态分布的总体方差未知的情况下，均值的双侧置信区间为

50395939、

67.4-2.1315x^—,67.44-2.1315x^—1=(64.24,70.56)(4分)

七、（本题满分10分）机器自动包装食盐，设每袋盐的净重服从正态分布X,

X~N（〃,16）,机器工作正常时，每袋盐的平均重量为500克。某天开工后，为了检验机

器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机抽取9袋，测得又=498。问这天自动包装

机工作是否正常（2=0.05）?

解：HQ:〃=500；H]:〃0500（2分）

又-500_498-500

=1.5<Z(),o2s=1.96（6分）

o7册4/囱

所以可以接受原假设，认为这天自动包装机工作正常。（2分）

八、（本题满分10分）设二维随机变量（x,y）的分布律为

Y

1o3

X

12]_

684

2

21_1_

n84

求|x-y|的分布律。

解：|x-y|的所有取值为0、1、2